Конспект лекций

Визначити таке розміщення підприємств, при якому забезпечуються потреби в продукції у кожному з пунктів її споживання при якнайменших загальних затратах, пов’язаних із виробництвом і доставкою продукції.

5. Задача про раціональний розкрій матеріалів

Модель цієї задачі має важливе значення для економії матеріалів та

сировини.

Приклад 7. На швейній фабриці тканина може бути розрізана кількома способами для виготовлення потрібних деталей швейних виробів. Нехай при j -му

тканину так, щоб було одержано необхідну кількість деталей кожного виду при мінімальних загальних відходах. Скласти математичну модель задачі.

6. Задача динаміки виробництва і створення запасів

Ця задача полягає в оптимальному розподілі деякої продукції та її запасів. В

умовах діючого підприємства всяка зміна об’єму випуску продукції пов’язана з додатковими витратами. Зберігання готової продукції також вимагає певних витрат. У випадках, коли попит на готову продукцію в окремі відрізки часу не постійний, виникає потреба пошуку такого компромісного плану випуску, при якому сумарні затрати на розширення і згортання виробництва, а також на зберігання залишків продукції були б мінімальними за умови своєчасного і повного задоволення потреб.

7. Стохастична задача комплектування парку устаткування

Приклад 8. На авторемонтному підприємстві протягом деякого часу надходять замовлення на виконання ремонтних робіт. Наперед невідомі час надходження замовлень і їх кількість. Однак зрозуміло, що якщо верстатів для виконання різноманітних замовлень недостатньо, то це призведе до затримки у

22

здійсненні ремонту, а замовники звернуться за послугами до інших, більш укомплектованих підприємств, і підприємство зазнає збитків у зв’язку з недоотриманням прибутку.

З другого боку, якщо набір різних верстатів занадто розширити, то більшу частину часу вони будуть простоювати, а підприємство, витративши гроші на їх закупівлю, змушене буде і далі терпіти збитки у зв’язку з утримуванням надлишкової кількості оснащення.

У даному випадку прибуток, що отримується, є випадковою величиною, а

тому говорити про його максимізацію немає сенсу. Тому на практиці як цільова функція вибирається або математичне сподівання прибутку, обчислене на основі відомих ймовірностей надходження замовлень (цей випадок зводиться до звичайної задачі лінійного програмування), або ймовірності того, що розмір доходу буде не меншим заданої величини (тут потрібні спеціальні методи досліджень).

4) Методи вирішення задач лінійного програмування в економіці.

Шляхом визначення найкращого рішення є оптимізація (від лат. optimum –

найкраще), тобто процес знаходження екстремуму – глобального максимуму або мінімуму певної функції, або вибору оптимального варіанту з безлічі можливих.

Найбільш надійним способом знаходження найкращого варіанту є порівняльна оцінка всіх можливих альтернатив. Якщо їх число велике, при пошуку найкращої комбінації варіантів зазвичай застосовують методи математичного програмування. Використовувати ці методи можна при наявності строгої постановки задачі, коли заданий набір змінних, встановлена область їх можливої зміни, тобто обмеження, і визначений вигляд цільової функції від цих змінних.

Остання є кількісною мірою (критерієм) оцінки ступеню досягнення поставленої мети. У так званих динамічних задачах, коли обмеження, накладені на змінні,

залежать від часу, для знаходження оптимального варіанту дій використовують методи динамічного програмування [13; 14].

23

Розглянемо декілька основних методів вирішення задач лінійного програмування, які використовуються на практиці в ході вирішення оптимізаційних економічних задач.

І. Графічний метод. У разі якщо невідомих змінних не більше двох (х1, х2),

то вирішення задач лінійного програмування можна наочно представити графічно на площині. При цьому виконуються наступні етапи розв’язання.

1.Будують прямі, рівняння яких отримуються в результаті заміни в обмеженнях типу (1) і (4) знаків нерівностей на знаки точної рівності.

2.Знаходять півплощини, що визначаються кожним з обмежень задачі.

3.Знаходять багатокутник розв’язків.

точка (точки) лінії рівня і багатокутника розв’язків і є точкою, в якій цільова функція набуває максимального значення. Або встановлюють необмеженість зверху функції на множині планів.

7.Визначають координати точки максимуму функції Z і обчислюють значення цільової функції в цій точці.

8.Знаходження мінімального значення лінійної функції при даній системі обмежень вирізняється від знаходження її максимального значення за тих же

прикладу 1 (табл. 2). Припустимо, що підприємство виготовить x1 виробів виду А і x2 виробів виду В. Оскільки виробництво продукції обмежене кількістю сировини кожного виду і кількість виробів, що виготовляється, не може бути від’ємною, то повинні виконуватися нерівності (1):

24

Таким чином, ми приходимо до наступної математичної задачі: серед усіх невід’ємних розв’язків даної системи лінійних нерівностей вимагається знайти

такий, при якому функція Z набуває максимального значення.

Спочатку визначимо багатокутник розв’язків. Для цього в нерівностях

Ці прямі зображені на рис. 2.

Кожна з побудованих прямих на рис. 2 ділить площину на дві півплощини.

Координати точок однієї півплощини задовольняють початковій нерівності, а

іншої – ні. Щоб визначити шукану півплощину, потрібно взяти яку-небудь точку,

що належить одній із півплощин, і перевірити, чи задовольняють її координати даній нерівності. Якщо координати взятої точки задовольняють даній нерівності,

то шуканою є та півплощина, якій належить ця точка, в протилежному випадку – інша півплощина.

Знайдемо, наприклад, півплощину, що визначається нерівністю 12x1 4x2 300

. Для цього, побудувавши пряму 12x1 4x2 300 (на рис. 2 ця пряма І), візьмемо яку-небудь точку, що належить одній із двох отриманих півплощин, наприклад,

точку O (0;0) . Координати цієї точки задовольняють нерівність 12 0 4 0 300 .

Отже, півплощина, якій належить точка O (0;0) , визначається нерівністю

25

Рис. 2 – Геометричне тлумачення системи обмежень задачі оптимізації

12x1 4x2 300 . Це і показано стрілками на рис. 2. Перетин отриманих півплощин і визначає багатокутник розв’язків даної задачі.

Як видно з рис. 2, багатокутником розв’язків є п'ятикутник OABCD.

Координати будь-якої точки, що належить цьому п'ятикутнику, задовольняють даній системі нерівностей і умові невід’ємності змінних. Тому сформульована

26

таблиці, де m – кількість коефіцієнтів цільової функції Z у канонічній формі моделі задачі. Якщо ні, то знайдений опорний план оптимальний. Якщо ж серед

нового опорного плану.

4. Знаходять провідний стовпець і рядок. Провідний стовпець визначається

найбільшим за абсолютною величиною від’ємним числом j , а провідний рядок – мінімальним співвідношенням компонент стовпця вектора P0 (вектору обмежень)

до додатних компонент провідного стовпця.

5. За відповідними формулами визначають додатні компоненти нового

6. Перевіряють знайдений опорний план на оптимальність. Якщо план не оптимальний і необхідно перейти до нового опорного плану, то повертаються до етапу 4 процедури, а у разі отримання оптимального плану або встановлення нерозв'язності розв’язання задачі закінчують.

Детальніше алгоритм побудови й аналізу симплекс-таблиць описаний у роботах [15; 16; 17]. У теперішній час задачі лінійного програмування симплекс-

методом вирішуються виключно на персональних комп’ютерах. Наприклад, в

редакторі Excel економічну задачу оптимізації підприємницької діяльності можна вирішити за допомогою стандартної програми «Пошук рішення», яка буде розглянута нижче.

ВИСНОВКИ

1. Економічна наука виділяє сім основних факторів виробництва: праця,

капітал, земля, підприємницькі здібності, наука, інформація, екологія. З огляду на домінуючі в економіці України ІІІ і IV технологічні устрої для вітчизняної промисловості головними виробничими факторами, як і раніше, залишаються праця і капітал. Останній виступає у вигляді основних і оборотних фондів, що матеріально втілені в основних та оборотних засобах підприємства.

28

2.Всю сукупність факторів виробництва умовно можна розділити на дві великі групи: 1) головні фактори виробництва, такі як праця, капітал (включаючи землю й людський капітал), підприємницькі здібності; 2) допоміжні фактори, що забезпечують виробництво, до яких можна віднести інформацію, екологічний фактор, науково-дослідні та конструкторські розробки.

3.Відмінною рисою всіх виробничих факторів є їхня обмеженість. При цьому ті з них, які надані природою, є абсолютно обмеженими. Водночас обмеженість усіх ресурсів є відносною, оскільки вона зумовлена рівнем потреб суспільства. Знижуючи потреби, можна відносно зменшити й обмеженість ресурсів. Обмеженість і платність усіх факторів-ресурсів викликає нагальну необхідність використовувати їх у підприємницькій діяльності найкращим чином,

тобто оптимально. При цьому в якості критерію оптимальності можуть виступати різноманітні вимоги, обумовлені стратегічними й тактичними цілями конкретного товаровиробника.

4.Оптимізація підприємницької діяльності базується на застосуванні математико-статистичних методів в економічних розрахунках. Перші обнадійливі результати в цьому напрямку були отримані в 20-х роках ХХ ст. Дослідження американського математика Джона фон Неймана (1903-1957) відкрили новий підхід до вирішення багатьох, у тому числі й економічних задач. У 1928 р. ним була доведена теорема про мінімакс, на базі якої пізніше був заснований ряд важливих положень теорії ігор та лінійного програмування.

5.У кінці 30-х років ХХ ст. ленінградський математик Л.В. Канторович

(1912-1986) працював консультантом на одній із фанерних фабрик міста. Влітку

1939 р. була видана до друку його книга “Математичні методи організації і планування виробництва”, в якій закладалися засади того, що нині називається лінійним програмуванням.

6. Американський математик Джордж Данциг (1914-2005) у 1947 р.

розробив ефективний метод чисельного вирішення завдань лінійного програмування, який отримав назву симплекс-методу. На початку 1952 р. цей метод був реалізований на ЕОМ.

29

7. Серед найбільш відомих й популярних оптимізаційних задач, що виникають у процесі підприємництва на всіх рівнях управління економікою, такі:

1)Задача оптимального виробничого планування.

2)Задача про оптимальний склад суміші.

3)Задача про оптимальний план перевезень.

4)Задача про оптимальне розміщення виробництва.

5)Задача про раціональний розкрій матеріалів.

6)Задача динаміки виробництва і створення запасів.

7)Стохастична задача комплектування парку устаткування.

8. Методи вирішення задач лінійного програмування в економіці включають два основних способи: 1) Графічний метод; 2) Симплекс-метод. У редакторі Excel

симплекс-метод реалізується за допомогою стандартної програми «Пошук рішення».

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1.У чому сутність і головні риси концепції «людського капіталу»?

2.Роль А. Маршала і Й. Шумпетера в теорії розвитку виробничих факторів-ресурсів

3.Які фактори-ресурси є домінуючими в сучасному промисловому виробництві України?

4.У чому причина необхідності оптимізації використання виробничих факторів на сучасному етапі розвитку економіки?

5.Хто був засновником оптимізації економічних проблем в історії виробництва?

6.Внесок американських математиків у розвиток теорії лінійного та математичного програмування.

7.Назвіть найбільш відомі оптимізаційні задачі, що виникають у процесі підприємницької діяльності.

8.Які Ви знаєте методи вирішення задач лінійного програмування в економіці?

30