Конспект лекций

Таблиця 1 – Частка технологічних устроїв у економіці деяких країн, %

Джерело: побудовано автором на основі [10]

Аналіз даних табл. 1 показує, що фактор «наука», науково-технічний ступінь виробництва, який характеризується сьогодні питомою вагою п’ятого і шостого технологічних устроїв (досягнення в області мікроелектроніки,

інформатики, біотехнології, генної інженерії, нових видів енергії, матеріалів,

наноелектроніки, молекулярної і нанофотоніки, нанобіотехнології та ін.) за даними 2010 р. знаходиться в Україні на зародковому рівні

Отже, з огляду даних табл. 1, для українського бізнесу, який функціонує переважно в ІІІ і IV технологічному устроях, головними виробничими факторами,

як і раніше, залишаються праця і основний капітал. Останній виступає у вигляді основних і оборотних фондів, що матеріально втілюються в основних та оборотних засобах підприємства.

Відмінною рисою всіх виробничих факторів є їхня обмеженість. При цьому ті з них, які надані природою, є абсолютно обмеженими. Водночас обмеженість усіх ресурсів є відносною, оскільки вона зумовлена рівнем потреб суспільства.

Знижуючи потреби, можна відносно зменшити й обмеженість ресурсів. І, навпаки,

постійний ріст потреб зростаючого народонаселення планети приводить до подальшої відносної обмеженості виробничих факторів. Це, в першу чергу,

стосується таких ресурсів, як земля, праця, капітал.

Обмеженість усіх факторів-ресурсів викликає нагальну необхідність використовувати їх у підприємницькій діяльності найкращим чином, тобто оптимально. При цьому в якості критерію оптимальності можуть виступати різноманітні вимоги, обумовлені стратегічними й тактичними цілями конкретного

товаровиробника, наприклад:

11

1)максимізація прибутку, реалізованої продукції, частки ринку тощо;

2)мінімізація загальних витрат капіталу, матеріальних ресурсів,

собівартості продукції, простоїв техніко-технологічного устаткування, втрат

робочого часу і т. ін.

2) Історичний аспект теорії оптимізації в економіці. Оптимізація підприємницької діяльності базується на застосуванні математико-статистичних методів в економічних розрахунках. Про роль наукового кількісного аналізу в економічних дослідженнях сказано в Законі України Про вищу освіту: наукова програма магістра обов'язково включає дослідницьку (наукову) компоненту обсягом не менше 30 відсотків [11]. Очевидно, що наукова компонента обсягом

(не менше 30 відсотків) повинна включати різноманітний інструментарій дослідницької роботи, в тому числі, знання й навички застосування математичних та статистичних методів і моделей в економічних дослідженнях. Без них сучасний економіст виглядає непереконливо, бездоказово, оскільки в його науковому арсеналі залишаються твердження типу «краще – гірше», «більше – менше» тощо.

Тут доречно нагадати крилате висловлювання класика: «… наука тільки тоді досягає досконалості, коли їй удається використовувати математику» [12].

Слід відмітити, що наведений постулат вже давно взяли на озброєння системи освіти провідних країн з розвинутою товарною економікою – ЄС,

США, Японії, Китаю. Певні зрушення в цьому напрямку спостерігаються і в Україні. Прикладом є спільна магістерська програма з математичної економіки та економетрики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка та Університету Х’юстона (США). Поєднання знань з математики та економіки надає випускникам програми навички структурування бізнес-задач у вигляді математичних моделей, які можуть стати основою для прийняття обґрунтованих і оптимальних управлінських рішень. Ці навички роблять їх унікальними на ринку праці як аналітиків фінансових ринків та фахівців в усіх сферах бізнесу й економіки.

12

Після завершення даної програми студенти отримають магістерський диплом державного зразка з математичної економіки та економетрики КНУ ім.

Тараса Шевченка, диплом магістра економіки Університету Х’юстона,

можливість подальшого навчання на PhD програмах з економіки чи фінансів у США та країнах ЄС, можливість побудувати успішну кар’єру в бізнесі чи громадському секторі.

Повертаючись до історичного аспекту теорії оптимізації необхідно відмітити, що перші обнадійливі результати в цьому напрямку були отримані в

20-х роках попереднього століття. Дослідження видатного американського математика угорського походження Джона фон Неймана (1903-1957) відкрили новий підхід до вирішення багатьох, у тому числі й економічних задач. У 1928 р.

ним була доведена теорема про мінімакс, на базі якої пізніше був заснований ряд важливих положень теорії ігор та лінійного програмування. По суті Нейманом був установлений принцип двоїстості при вирішенні екстремальних задач.

У кінці 30-х років ХХ ст. ленінградський математик Л.В. Канторович (19121986) працював консультантом на одній із фанерних фабрик міста. До нього, 26-

річного професора-математика, звернулися за консультацією співробітники лабораторії фанерного тресту, яким потрібно було вирішити задачу про найбільш вигідний розподіл матеріалу між верстатами. Це завдання зводилося до знаходження максимуму лінійної функції, заданої на многограннику. Максимум такої функції досягався у вершині, проте число вершин в цьому завданні досягало мільярда. Тому простий перебір вершин не годився. Канторович писав: «Виявилось, що це завдання не є випадковим. Я виявив велике число різноманітних за змістом завдань, що мають аналогічний математичний характер:

якнайкраще використання посівних площ, вибір завантаження устаткування,

раціональний розкрій матеріалу, розподіл транспортних вантажопотоків. Це наполегливо спонукало мене до пошуку ефективного методу їх рішення». І вже влітку 1939 р. була видана до друку книга Л.В. Канторовича “Математичні методи організації і планування виробництва”, в якій закладалися засади того, що нині називається математичною економікою.

13

У роботі «Економічний розрахунок найкращого використання ресурсів»

(1959 р.) він застосував власну теорію лінійного програмування для дослідження

широкого кола проблем планування. Разом з радянським статистиком і

математиком В. Німчиновим (1894-1964) засновав в 1958 р. Лабораторію з

використання математико-статистичних методів в економіці. Восени 1960 р.

разом з групою математиків і економістів Канторович переїхав до Новосибірська,

де в Сибірському відділенні Академії наук СРСР керував відділом економіко-

математичних методів, одночасно працюючи професором Новосибірського

університету. З 1971 р. Канторович – завідувач проблемної лабораторії в

московському Інституті управління народним господарством. Протягом багатьох років очолював створену цим органом спеціальну раду. Входив до складу різних комісій з переробки методики оцінки економічної ефективності нової техніки,

ціноутворення, матеріально-технічного постачання, брав участь у роботі комісій Держплану СРСР тощо.

За видатний внесок у теорію оптимізації та розподілу ресурсів Л.В.

Канторовичу та американському економісту голландського походження Т.

Купмансу (1910-1985) в 1975 р. було присуджено Нобелівську премію. На той час

Л.В. Канторович серед усіх Нобелівських лауреатів був єдиним

професійним математиком.

Проте пропозиції Канторовича не знаходили розуміння в СРСР у момент їх

зародження, були оголошені єрессю, і його робота була перервана, а

запропоновані ідеї та концепції незабаром після війни були перевідкриті на заході. Американець Т. Купманс протягом багатьох років привертав увагу математиків до ряду завдань, пов'язаних з військовою тематикою. Він активно сприяв тому, щоб був організований математичний колектив для вирішення цих проблем. У результаті було усвідомлено, що потрібно навчитися вирішувати задачу про знаходження екстремумів лінійних функцій на многогранниках, що задаються лінійними нерівностями.

За пропозицією Купманса цей розділ математики отримав назву лінійного програмування. За свідченням Данцига, термін «лінійне програмування» означав

14

сукупність методів вирішення екстремальних задач з цільовою функцією та умовами у вигляді лінійних рівнянь. Слово «програмування» в даному контексті означає, що в процесі рішення відповідних задач послідовно розглядається ряд варіантів рішення – програм, кожна з яких покращується й поступово приходить до шуканого результату – до оптимальної програми. У цьому своєму значенні термін «програмування» застосовується майже виключно для рішення економічних задач і означає розподіл обмежених ресурсів найкращим способом задля досягнення поставлених цілей.

Американський математик Джордж Данциг (1914-2005) у 1947 р. розробив ефективний метод чисельного вирішення завдань лінійного програмування, який отримав назву симплекс-методу. На початку 1952 р. цей метод був реалізований на ЕОМ. Ідеї лінійного програмування протягом п'яти-шести років набули грандіозного поширення в світі, імена Купманса і Данцига сталі всюди широко відомі.

Приблизно в цей час Купманс дізнався, що ще до війни в далекій Росії вже було зроблено щось схоже на розробку основ лінійного програмування. Як легко було б Данцигу і Купмансу проігнорувати цю інформацію! Маленька книжечка,

видана малим тиражем, звернена навіть не до економістів, а до організаторів виробництва, з мінімумом математики, без чітко описаних алгоритмів, без доказів теорем – словом, чи варто приймати таку книжку до уваги. Але Купманс наполягає на перекладі і виданні на заході роботи Канторовича 1939 р. Його ім'я

та ідеї стають відомі всім. Тому треба віддати належне благородству американських учених, завдяки яким фактично Канторович отримав Нобелівську премію.

Під час Другої світової війни, коли більшість крупних учених США і Англії були залучені до вирішення військових питань, зародилась галузь науки, яка отримала назву «Дослідження операцій». Вона представляла собою сукупність наукових методів та моделей, які надають можливість кількісно дослідити певні процеси та явища й прийняти обґрунтоване, об’єктивне рішення. В рамках

«Дослідження операцій» американські вчені почали шукати й знаходити методи

15

вирішення транспортної задачі. Виділяють три історичні етапи досліджень транспортної задачі:

І етап. Завдання національного плану перевезень, що дозволяє мінімізувати сумарний кілометраж у залізничних перевезеннях за наявності не більше двох постачальників (публікація Толстого О.М. Методи усунення нераціональних перевезень під час планування. Соціалістичний транспорт, 1939, № 9).

ІІ етап. Постановку одного із різновидів транспортного завдання в 1941 р. здійснив американець Ф. Хічкок, детально розробив Т. Купманс, який працював членом Об'єднаного комітету перевезень під час Другої світової війни.

ІІІ етап. Перший загальний закінчений метод вирішення транспортного завдання (метод потенціалів) розроблений Л.В. Канторовичем (публікація Канторович Л.В., Гавурін М.К. Застосування математичних методів у питаннях аналізу вантажопотоків. Збірник статей «Проблеми підвищення ефективності роботи транспорту». АН СРСР. 1949).

Розквіт робіт з лінійного програмування припадає на 50-і роки ХХ ст. Саме в це десятиріччя були детально розроблені основні методи рішення, створено багато алгоритмів, почалося їхнє практичне застосування в економіці, з’явилася велика кількість літературних джерел. Серед українських вчених, що займались проблемами лінійного та оптимального програмування слід вказати

У наш час окрім лінійного програмування існують також нелінійне, динамічне, параметричне, цілочисельне та інші види програмуванні. Їхні різновиди визначаються математичними функціями, що описують цілі та умови економічних завдань оптимізації. Вся сукупність методів рішення екстремальних задач і відповідна галузь науки називається оптимальним або математичним програмуванням.

3) Приклади задач оптимізації у підприємництві. Важливою складовою процесу формування системи й здійснення управління підприємницькою діяльністю є наділення її властивістю оптимізації, тобто здібністю топ-

менеджменту ухвалювати в певному сенсі найкращі господарські рішення. Під

16

оптимальним рішенням, зазвичай, розуміється досягнення в заданих умовах найкращих результатів, наприклад, максимального випуску продукції (робіт,

послуг) або мінімальних витрат на виробництво. Даний процес займає одне з центральних місць в системі управління бізнесом на окремому підприємстві (у

галузі, в регіоні), оскільки від нього безпосередньо залежать кінцеві результати діяльності економіки всієї держави.

Розглянемо докладніше найбільш відомі й популярні оптимізаційні задачі,

що виникають у процесі підприємництва на всіх рівнях управління економікою.

1. Задача оптимального виробничого планування

Однією із найбільш розповсюджених задач даної групи є задача про максимальний випуск продукції із наявних обмежених запасів сировини при різних технологіях виробництва. Сюди ж можна віднести задачу досягнення максимальної рентабельності підприємства при виробництві із наявних запасів

використовує три види сировини. Норми витрат сировини кожного виду на виготовлення одиниці продукції даного виду наведені в табл. 2. У ній же вказаний прибуток від реалізації одного виробу кожного виду і загальна кількість сировини даного виду, яка може бути використана підприємством.

Таблиця 2 – Вихідні дані задачі оптимального виробничого планування

співвідношеннях (збут забезпечений), вимагається встановити такий план їх

17

кефіру і сметани відповідно становить 30, 22 і 136 грн. Завод повинен щодня виробляти не менше 100 т молока, розфасованого в пляшки. На виробництво іншої продукції немає ніяких обмежень.

Потрібно визначити, яку продукцію і в якій кількості потрібно щодня виробляти заводу, щоб прибуток від її реалізації був максимальний. Скласти

розливу молочної продукції і автоматів з розфасовки сметани, дозволяють записати такі нерівності:

Потрібно серед усіх невід’ємних розв’язків системи нерівностей (4) знайти

такий, при якому функція (5) матиме максимальне значення. Оскільки система (4)

являє собою співвідношення лінійних нерівностей і функція (5) лінійна, то вихідна задача є задачею лінійного програмування.

2. Задача про оптимальний склад суміші

Досить широкий клас задач програмування становлять так звані задачі на складання сумішей або задачі на використання замінників.

Приклад 3. При відгодівлі тварин кожна тварина щодня повинна одержувати не менше 60 одиниць поживної речовини А, не менше 50 одиниць речовини В і не менше 12 одиниць речовини С. Вказані поживні речовини містяться в трьох видах корму. Склад одиниць поживних речовин в 1кг кожного з видів корму наведений у табл. 3.

Таблиця 3 – поживні речовини в 1 кг кожного з видів корму

Скласти денний раціон, що забезпечує отримання необхідної кількості поживних речовин при мінімальних грошових витратах, якщо ціна 1кг корму I

виду складає 90 грн., корму II виду – 120 грн. і корму III виду – 100 грн.

Приклад 4. Для виробництва чавунного литва використовується n різних початкових шихтових матеріалів (чавун різних марок, сталевий брухт,

ферофосфор та ін.). Хімічний склад чавунного литва визначається вмістом в ньому хімічних елементів (кремнію, марганцю, фосфору та ін.). Готовий чавун повинен мати строго визначений хімічний склад, який задається величинами H j

що є частками (у відсотках) j -ого хімічного елементу в готовому продукті. При

20