Дифференциальные уравнения высших порядков и системыдифференциальных уравнений.

Если ввести дополнительные неизвестные функции

Дифференциальные уравнения п-го порядка с одной неизвестной функцией у(х) независимого переменного х записывают так:

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с nнеизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n - 1уравнениям (14) присоединить уравнение

Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка исистемы уравнений высших порядков. В механике сведение системуравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-гопорядка имеет простой механический смысл. Например, система трёхуравнений движения материальной точки

где х, у, z - координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системешести уравнений:

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, wскорости.

Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равночислу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с nнеизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеетвид:

Решением системы дифференциальных уравнений (а) называется системафункций x₁(t),x₂ (t),..., x_n(t), которая при подстановке в уравнения (а)обращает их в тождества.

Задача

По условию задачи

Интегрируем это уравнение;

следовательно,

Ответ:

Ускорение свободного падения тела равно g — тело падает из состоянияпокоя. Найти зависимость пути, проходимого телом, от времени: s = f(t).Решение.

Скорость

Интегрируем:

следовательно,

Подставляем значение

Дифференциальные уравнения с частными производными.

Типичной особенностью дифференциальных уравнений с частнымипроизводными и систем дифференциальных уравнений с частнымипроизводными является то, что для однозначного определения частногорешения здесь требуется задание не значений того или иного конечногочисла параметров, а некоторых функций.

Дифференциальными уравнениями описывают различные процессы вфизике, химии и биологии. Они позволяют, в частности, определятьизменение состояния систем со временем.

Уравнения с частными производными содержат неизвестную функцию (u)нескольких независимых переменных (например, х у, z) и ее частныепроизводные. Например, волновое уравнение

Примеры и задачи с решениями

Пример.

при условии, что у = 4 при х — 2.

Решить уравнение

Разделяем переменные:

Переписываем:

Определяем С:

Интегрируем:

Ответ:

Пример.

Решить уравнениеРазделяем переменные:Интегрируемвыбираем в виде

Потенцируем:Определяем С:Ответ: = 2.x.

учитывая, что y= 10 при х = 5.

(постоянную интегрирования для удобства

Пример.

Найти общее решение уравнения

.

то уравнение имеет вид:

Так как

Домножив всё уравнение на dx, получим:

Решение.

Разделив всё уравнение на (2х +1), приходим к уравнению с

разделяющимися переменными :

Интегрируя, получим :

Ответ:

Пример.

Учитывая условие задачи, можем написать

Интегрируем:

Задача

Найти время, в течение которого масса лекарственного препарата в каком-либо органе уменьшается вдвое вследствие химического распада.Решение.

Найти общее решение уравненияРазделяем переменные:

Задача

Найти закон движения тела, движущегося со скоростью, пропорциональной

пройденному пути.

Интегрируем

Ответ:

Решение.

В начальный момент (t = 0) в органе масса препарата m₀. В некоторыйтекущий момент t масса не распавшегося препарата равна m За время dtраспалась достаточно малая масса dm препарата. Логично предположить, чтоdm пропорционально времени, в течение которого происходил химическийраспад: dm = -λmdt,

Проинтегрируем это дифференциальное уравнение

Сделаем подстановку:

где λ—некоторая постоянная, зависящая от природы препарата,внешних условий и т. п.; знак «-» означает уменьшение со временем массыпрепарата.

Разделим переменные в последнем уравнении:

учитывая, что нижние пределы соответствуют начальным условиям, аверхние — условию задачи:

откуда

Ответ:

Пример.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Уравнение является однородным, так как функция, стоящая в правой части,является однородной:

Преобразуем исходное уравнение:

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

Делим уравнение на

Интегрируя почленно, получим:

общий интеграл.

общий интеграл.

Ответ: