Решение:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

Подставляя (9) в (2), получим:

(бесконечно малая величина), предел которой

Так как

равен нулю при х = 0, то

На рис. рассмотрим геометрическийсмысл выражения (10).

С учетом (9) и (11) можно сказать, чтодифференциал функции в конкретнойточке отличается от приращенияфункции в этой точке на бесконечномалую величину, соответствующуюотрезку между точками пересечения

Понимание геометрического смысла производной

вертикальной проекции приращенного аргумента с графиком функциии с продолжением касательной, проведенной к графику врассматриваемой точке.

позволяет определять приближенное значение функции

• Пример 1. Определить приближенное значение

Решение: Рассмотрим функцию

Решение: По условию примера мы имеем:

Скорость

• Пример 2. Найти абсолютную погрешность средней скоростиспринтера в створе двух фотолучевых установок (ФЛУ),отстоящих друг от друга на расстоянии 5 м, если спринтерпробегает это расстояние за 0,422 с и ошибка в расстоянии засчет вертикальных колебаний тела составляет 20 см, а времяопределено с ошибкой 0,002 с.

Дифференциал скорости согласно (41) будет:

скорость имеют значение

в случае, когда оно отличается от

полного приращения

на величину, бесконечно малую по сравнению с

или

-полный дифференциал функции

где

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Полный дифференциал df, функции f(x, у, z,...) несколькихнезависимых переменных - выражени

е

- первые частные производные,

-частные дифференциалы.

Дифференциал функции двух переменных.

Пусть

в точке

Определение: Дифференциал df(x₀ , y₀) функции

называется следующее выражение:

где dx и dy — дифференциалы

или сокращённо:переменных x и y.

Пусть

Тогда по определению:

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

Последнее равенство следует из формул замены переменных.Таким образом, df можно представить в виде:

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Дифференцирование сложной функции.

Сложная функция h(x) = g(f(x))(сложная функция с одной переменной)

Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило) позволяетвычислить производную композиции двух и более функций на основеиндивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точкех₀, а функция g имеет производную в точке у₀ = f(x₀), то сложная функцияh(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке х₀.

Производная

то учитывая иную запись

Если сложная функция

где

производной,

представлена в следующем виде:

производная сложной функции может быть

Теорема: Пусть

Пример (сложная функция с одной переменной)

Пусть

где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

и функции

Частные производные высших порядков

Первые частные производные

есть функции от переменных х и у.

Назовём по определению вторыми частными производными функцииследующие выражения:

Пример: Найти дифференциал функции у = f (х) = 2 sin3x (сложнаяфункция с одной переменной x)

Решение.

(сложная

Пример: Найти дифференциал функциифункция с двумя переменными: x,z)

Решение.

Пример: Найти частные производные функции

(функция с двумя переменными: x,z)

Решение.

Пример: Найти частные дифференциалы функции

Решение.

Пример: Найти полный дифференциал функции

Решение.

Пример: Найти полный дифференциал функции

Решение

Решение

Пример: u = f(x,y)

Найти частные производные первого и второго порядка и полный

дифференциал функции u. du -?

Решение

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Заметим, что

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.Определение 1.

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (а,b), если привозрастании аргумента х в этом интервале соответствующие значенияфункции f(x) также возрастают, т.е. еслиf(x₂) >f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (а,b)функции f(x) в любой точке этогоинтервала приращения Δх и Δуимеют одинаковые знаки.

График возрастающей функциипоказан на рисунке 1(a).

Если из неравенства х₂ > х₁вытекает нестрогое неравенство f (х₂)>f(х₁), то функция f(х) называетсянеубывающей в интервале (a, b ).Пример такой функции показан нарисунке 2(a).

На интервале [ х₀, х₁ ] она сохраняетпостоянное значение С

Определение 2.

Функция f (х) называется убывающейв интервале (а, b ) если привозрастании аргумента х в этоминтервале соответствующиезначения функции f(x) убывают, т.е. если

Рис.1 (б)

f(x₂) <f(x₁) при x₂ > x₁

.

Если из неравенства

то

вытекает нестрогое неравенство

функция

Пример такой

функции показан на рисунке 2(б). На интервалепостоянное значение С.

она сохраняет

Теорема 1 .Дифференцируемая ивозрастающая в интервале ( a, b )функция f (х) имеет во всех точках этогоинтервала неотрицательнуюпроизводную.

Доказательство. Так как функция

возрастает в интервале

то знаки у

приращений

в любой точке этого

интервала одинаковы. Следовательно

отношение

положительно, а потому и

производная

будет

положительна или равна нулю в интервале

так как отношение

как

положительная величина можетстремиться или к положительному числуили к нулю (смотри рисунок 1 (а)).

Очевидно, теорема 1 имеет место и длянеубывающей в интервале (a, b) функции(смотри рисунок 2(a)).

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( а, b ) функцииf (х) в любой точке этого интервала приращения Δх и Δу имеют разныезнаки.

График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

называется невозрастающей в интервале

отношение

соотношение

Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функцияf (х) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Доказательство. Так как функция f(х) убывает в интервале (а, b ), то влюбой точке этого интервала знаки у приращений Δх и Δу различны'. Поэтому

имеет отрицательный знак, а следовательно и производная

или имеет отрицательный знак, или обращается в нуль, так как

как отрицательная величина, может стремиться или

к

Значение f(x₀) функции f(x), прикотором выполняется вышеуказанноенеравенство, называется максимальнымзначением функции f(x) или простомаксимумом.

Определение 3.

Максимумом функции f (х) называется такое значение f(х₀) этой функции,которое не меньше всех значений функции f (х) в точках х, достаточн

о

близких к точке х₀ , т.е. в точках х, принадлежащих некоторой достаточномалой окрестности точки х₀ .

Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (х₀) и f(х₂) .

В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ординатаменьше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа ислева от нее. Так ордината точки В меньше ординат в точках соседних идостаточно близких к точке х, справа и слева. Значение функции в точке,абсцисса которой равна x₁ меньше значений функции в точках, абсциссыкоторых достаточно мало отличаются от х₁ :

f(x₁)<f(x₁+Δx).

На рисунке 4(б) изображена функция f (х), непрерывная в интервале ( a, b ).В интервале (а, х₀ ] она убывает, на интервале [ х₀, x₁ ] - сохраняетпостоянное значение: f (х₀) = f(x₁) = С, в интервале [ x₁, b ) - возрастает. Вовсех точках, достаточно близких к х₀ (или x₁ ), значения функции f (х)удовлетворяют нестрогому неравенству

f(x₁) ≤ f(x).

Значение f(х₀) функции f(х), при котором выполняется вышеуказанноенеравенство, называется минимальным значением функции f(х) или простоминимумом.

Определение 4.

Минимумом функции f(х) называется такое значение f (х₀) этой функции,которое не больше всех значений функции f(х) в точках х, достаточноблизких к точке х₀ , т.е. в точках х, принадлежащих некоторой достаточномалой окрестности точки х₀ .

Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f(х₁) и f(х₃) .

По определению наибольшим значением функции f(х) на интервале [a, b]является такое значение f (х₀), для которого для всех точек интервала [ a, b ]выполняется неравенство f (х₀)≥f (х), а наименьшим значением функции f(х)на интервале [a, b ] является такое значение f (х₀), для которого для всехточек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f(x₀)<f (х).

Из этих определений следует, что функция может достигать своегонаибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так ина его концах а и b. Здесь же максимум и минимум функции f(х) былиопределены соответственно как наибольшее и наименьшее значения внекоторой окрестности точки х₍₎.

Если в точке х₀ функция f(х) достигает максимума или минимума, тоговорят, что функция f(х) в точке х₀ достигает экстремума (илиэкстремального значения).

Функция f(х) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого- нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f(х) наинтервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этогоинтервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

Рис. 5

Аналогично наименьшее значение функции f (х) на интервале [ a, b ] - этонаименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшееиз значений функции на концах интервала.Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (х) в точке х₂ , наименьшего - в точке x₁интервала [х₍₎, x₃ ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая

бесконечное число минимумов имаксимумов.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (х) имеет вточке x₀ экстремум, то ее производная вданной точке или равна нулю или несуществует.

Доказательство. Пусть в точке х₀ функция f (х) дифференцируема идостигает максимума (рисунок 3 и рисунок 4(a)). Это значит, что придостаточно малом h > 0 как f (х₀ + h) ≤ f (х₀), так и f (x₀ - h) < f (x₀).

Из этих неравенств следует, что

Отсюда

а потому

и в то же время

Следовательно

Аналогично доказывается первое утверждение теоремы 3 и в том случае,когда функция f(х) достигает в точке х₀ минимума.

Но функция f(х) может иметь экстремумы и в тех точках x₀ в которых еепроизводная не существует. Например, функция у = | х | в точке х₀ = 0 недифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называютугловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

Рис. 6

Таким образом, необходимымпризнаком существования в точке х₀экстремума функции f (х) является выполнение следующего условия: в точкеx₀ производная f (х) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существованияэкстремума функции f(х) в точке х₀ : можно привести много примеровфункций, удовлетворяющих этому условию при х = х₀ , но, однако, недостигающих экстремума при x= х₀.

Например, производная функции y = х³ при х₀ = 0 равна нулю, однако этафункция при x₀ = 0 не достигает экстремального значения.

Тренинг: решение примеров

Вычислите

Пример Найдите производную функции

Решение:

Пример Найдите производную функции

Решение:

Пример Найдите производную функции

Решение:

Решение:

Пример. Найдите производную функции

Пример.

Найти производную функцииРешение.

Преобразуем квадратный корень в степень:Данная функция - сложная, используем последовательно формулы:производная степенной функции, производная дроби, производнаялогарифма.

Ответ:

функцию:

Пример.

Вычислить производную функцииРешение.

Данная функция относится к виду показательно - степенной функции

Для нахождения ее производной прологарифмируем данную

Дифференцируя левую и правую часть этого равенства, получаем

Заменим у на

Ответ:

Пример

функции, заданной неявно,

Вычислить производную

Решение.

Ответ:

Пример.

Вычислить производную y^'_x функции, заданной параметрически:

Решение.

Ответ:

Пример.

на

Найти наибольшее и наименьшее значение функцииотрезке [ 1; 3] .

Решение.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать:

1. на концах отрезка (т.е. при х = 1 или х = 3 );

В данном случае критическая точка

и даже совпадает с его

левым концом, поэтому достаточно найти y (1), у (3) и выбрать из нихнаибольшее и наименьшее значение.

2. в критических точках, если они существуют и принадлежат [ 1; 3].Найдем критические точки. Для этого найдем у' и решим уравнение у'= 0.

Ответ:

наименьшее значение функции.

Пример Найти приближённое приращение функции у = 4х² +5х +21, если х =10; Δх = 1

Пример При измерении стороны квадрата относительная погрешность

- наибольшее значение функции;

, используя формулу приближенных

Вычислить приближенновычислений.

Решение.

Воспользуемся формулой приближенных вычислений:

составила 1%. Определите относительную погрешностьизмерения площади в этом случае.

Решение

Пример

Составим функцию

, заменив числовые значения

т.е.

переменными. Полагаем

Находим

тогда

Вычислим эти производные при

Подставим полученные значения в формулу приближенных вычислений:

Ответ:

Пример.

Найти точки экстремума функции:Решение.

Найдем критические точки функции. Для этого сначала найдем частные

производные

Решая системууравнений

заданная функция экстремума. Находим значения вторых производных в

находим критические точки

Выясним, достигнет ли

точке P₁:

Вычислим

Следовательно, в точке P₁ функция z имеет минимум:Аналогично проводятся исследования для точки

Ответ:

- экстремума нет.

Пример. Вычислить полный дифференциал функции

Решение.

Ответ:

выполняется равенство F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Из дифференциального исчисления известно, что если две функции f(x) иF' (х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные илидифференциалы этих функций равны, т.е. если

то

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и F(x) имеют одну и ту жепроизводную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга напостоянную величину, т.е. если

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле у = F(x) + С мы будемпридавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможныепервообразные функции для функции f(х)

Определение 2: Множество F(x) + С всех первообразных функций для даннойфункции f(х) , где С принимает все возможные числовые значения, называетсянеопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом

С - произвольная постоянная - const.f(x) называется подинтегральной функциейf(x)dx - называется подинтегральным выражениемсимвол ∫ - знак неопределенного интеграла.

Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных,но и любую функцию этого множества. Неопределенный интеграл представляетсобой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральномувыражению, а производная равна подинтегральной функции. Нахождениепервообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и являетсядействием, обратным дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

Таким образом, по определению,

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному

выражению:

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

:

5. Неопределенный интеграл от суммы функции равен сумме интегралов от

этих функций:

6. Неопределенный интеграл от разности функции равен разности интегралов

от этих функций:

3. Неопределенный интеграл от производной функции отличается от самой

функции только на постоянную величину: