Часть III

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие искомыефункции, их производные различных порядков и независимые переменные.Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века подвлиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,по существу одновременно с интегральным исчислением идифференциальным исчислением.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И.Ньютона и Г. Лейбница; термин "дифференциальные уравнения"принадлежит Лейбницу. Задачу нахождения неопределённого интеграла F (х)функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второйзадачи. Такой подход был для Ньютона, как создателя основматематического естествознания вполне оправданным: в очень большомчисле случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами,выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этихпроцессов сводится к решению дифференциальных уравнений.

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией ксказанному.

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температуракоторой равна нулю, то при известных условиях можно считать, чтоприращение ΔТ(отрицательное в случае Т> 0) его температуры за малыйпромежуток времени Δt с достаточной точностью выражается формулой

где k - постоянный коэффициент. При математической обработке этойфизической задачи считают, что выполняется точно соответствующеепредельное соотношение между дифференциалами

т. е. имеет место дифференциальное уравнение

где Т обозначает производную no t.

Решить полученное дифференциальное уравнение, или проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в

тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частныерешения) имеют вид

где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называетсяобщим решением уравнения (1).

2) Пусть, например, груз р массы m подвешен к пружине и находится вположении равновесия. Отклоняя его от положения равновесия с помощью

растяжения пружины, приводят груз вдвижение. Если х (t) обозначаетвеличину отклонения тела отположения равновесия в моментвремени t, то ускорение телавыражается 2-й производной х" (t).Сила тх" (t), действующая на тело,при небольших растяжениях пружиныпо законам теории упругости пропорциональна отклонению х (t). Т. о.,получается дифференциальное уравнение

Его решение имеет вид:

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания.

Дифференциальные уравнения делятся на "обыкновенные", содержащиепроизводные одной или нескольких функций одного независимогопеременного, и "уравнения с частными производными", содержащие частныепроизводные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у.называется наибольший порядок входящих в него производных. Так,например,

есть дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка.Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка с однойнеизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называетсясоотношение

между независимым переменным х, искомой функцией y и её производной

Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, тополучается уравнение вида

Многие вопросы теории дифференциальных уравнений проще рассматриватьдля таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагаяфункцию f(х, у) однозначной.

тогда оно становится частным случаем уравнений вида

Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные хиуравноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них являетсянезависимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений.

Пусть у=у(х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит,что в прямоугольных координатах касательная к кривой у=у(х) имеет вкаждой лежащей на ней точке М (х, у) угловой коэффициент k =f(х, у). Т. о.,нахождение решений у=у(х) геометрически сводится к такой задаче: вкаждой точке некоторой области на плоскости задано "направление",требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеютнаправление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f (х, у)непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки Мнепрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя вдостаточно большом числе достаточно густо расположенных по всейрассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этихточек направлением. На рис.1 это выполнено для уравнения у'- у². Рисунокпозволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения -так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, чтообщее решение данного уравнения есть

На рис 1. вычерчены интегральные кривые,соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

График любой однозначной функции у=у(х)пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу,только один раз. Таковы, следовательно, интегральныекривые любого уравнения (Б) с однозначнойнепрерывной функцией в правой части. Новыевозможности для вида интегральных кривых открываются при переходе куравнениям (В). При помощи пары непрерывных функций Р (х, у) и Q (х, у)можно задать любое непрерывное "поле направлений". Задачаинтегрирования уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (независящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральныхкривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, чтотем точкам (х₀, у₀), в которых обе функции Р (х, у) и Q (х, у) обращаются внуль, не соответствует какое-либо определённое направление. Такие точкиназываются особыми точками уравнения (В).

Пусть, например, задано уравнениекоторое можно записать в виде

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смыслпри х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семействоинтегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х² +у² = С,изображены на рис.2 . Начало координат (х = 0,y = 0) - особая точка данногоуравнения.

изображёнными на рис. 3, являются всевозможные прямолинейные лучи,выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой иэтого уравнения.

Начальные условия. Геометрическая интерпретация дифференциальныхуравнений 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутреннююточку М области G с заданным непрерывным полем направлений можнопровести одну вполне определённую интегральную кривую.

В отношении существования интегральной кривой сформулированнаягипотеза оказывается правильной. Например, если для рассмотренного вышеуравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t₀ = 0температура тела была равна "начальному" значению Т₀, то из бесконечногосемейства решений (2) выделится одно определённое решение,удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Этот пример типичен: в механике и физике дифференциальные уравненияобычно определяют общие законы течения какого-либо явления; однако,чтобы получить из этих законов определённые количественные результаты,надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемойфизической системы в некоторый определённый выбранный в качестве"начального" момент времени t₀.

Если условия единственности выполнены, то решение у (х),удовлетворяющее условию у (х₀) -у₍₎, можно записать в виде:

где x₀ и у₀ входят как параметры, функция же j (х; х₀, у₀) трёх переменных х,x₀ и у₀ однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, чтопри достаточно малом изменении поля (правой части дифференциальныхуравнений) функция j(x; х₀, у₀) меняется сколь угодно мало на конечномпромежутке изменения переменного х - имеется непрерывная зависимостьрешения от правой части дифференциальных уравнений. Если правая часть f(х, у) дифференциальных уравнений непрерывна и её производная по уограничена, то имеет место также непрерывность j (х; х₀, у₀) по х₀ и у₀.

Если в окрестности точки (х₀ ,у₀) для уравнения (Б) выполнены условияединственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточномалую окрестность точки (х₀ ,у₀), пересекают вертикальную прямую х = х₀ иопределяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см.рис. 4). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:

которое является общим решением дифференциальных уравнений (В).рис. 4

дифференцируют (6) при постоянном С и получают

Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставитьобратную задачу: задано семейство кривых, зависящих отпараметра С, требуется найти дифференциальные уравнения,для которого кривые заданного семейства служили быинтегральными кривыми. Общий метод для решения этойзадачи заключается в следующем: считая семейство кривыхна плоскости хОу заданным при помощи соотношения