Тренинг: решение примеров

Пример

Определить, как зависит от времени пройденный путь, если скорость материальной

точки меняется по закону v = (6t +7) м/с

Решение.

Пример

Определить, как зависит от времени пройденный путь, если скорость материальнойточки меняется по закону v = (6t +7)м/с, если известно, что в начальный момен

т

времени (t=0), материальная точка находилась на расстоянии s₀ = 4м от начала

отсчёта.

Решение.

Ответ:

Ответ:

Решение.

При t=0 s₀ = 0 + 0 + С, откуда получаем S = 3t² + 7t + s₀ = (3t² + 7t + 4) м

Ответ: S = (3t² + 7t + 4) м

Пример

Найти неопределенный интеграл:

Пример

ВычислитьРешение.

Решение.

Ответ:

Пример

Решение.

Ответ:

Найти неопределенный интеграл:

Пример

Пример

Вычислить

Найти работу, совершаемую пружиной при её удлинении от x₁ до х₂.Решение.

Ответ:

Пример

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Чтобы проинтегрировать данную функцию, необходимо сделать заменупеременной

Мы получили неправильную дробь. Выделяем в ней целую часть, деля уголкоммногочлен, стоящий в числителе, на многочлен знаменателя.

Ответ:

Пример

Решение.

Найти неопределенный интеграл:

Мы получили неправильную дробь, выделяем в ней целую часть, деля уголкоммногочлен, стоящий в числителе, на многочлен знаменателя:

Ответ:

Пример

Пример

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Ответ:

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Ответ:

Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение.

Построим фигуру на плоскости OXY, ограниченную у₁ = 4 - х² - параболой и y₂ =2-х - прямой (рис. 1).

Рис. 1

Находим точки пересечения функций у₁ и у₂ :

Гак как 4-х²≤2-х на отрезке [-1;2], то площадь S данной фигуры вычисляетсяследующим образом:

Ответ: 4,5.

Пример

Вычислить определённый интеграл

Решение.u = sinxdu = cosxdx

новые пределы интегрирования: u₁= 0 ( т.к. x₁ = 0, подставим это значение в новуюфункцию - u = sinx, u₁ = sinx₁ = 0)

u₂=l (т.к.

подставим это значение в новую функцию - u = sinx,

u₂ = sinx₂ = 1)

Ответ:

Пример

Круговой контур радиусом r = 2 см помещен в однородное магнитное поле,индукция которого 5 = 0,2Тл. Плоскость контура перпендикулярна к направлениюмагнитного поля. Сопротивление контура R = 1 Ом. Какое количество электри-чества q пройдет через контур при повороте его на угол а = 90°?Решение:

Количество электричества, прошедшего через поперечное сечение проводника пр

и

Элементарный

магнитный поток

т. к. а — угол между плоскостью контура и

направлением вектора магнитной индукции, Тогда количество электричества,которое пройдет через

возникновении в нем индукционного тока,

контур при повороте его на угол

Т. к. S = πr² то окончательно

ответ:

Пример. Вывести формулу для количества тепла Q при изотермическом процессе.Решение.

ответ: