- •Методическое пособие для студентов с примерами и задачами
- •Методическое пособие для студентов с примерами и задачами
- •Часть I
- •Часть 1
- •5. Если
- •Решение:
- •Решение:
- •V - скорость.
- •Решение
- •Решение
- •В медицине и биологии, например, используя производную, можноопределить быстроту изменения различных параметров системы илипроцесса в живом организме.
- •2. Вычисляем предел
- •3. Если предел существует и равен а, то
- •Решение:
- •4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла:
- •2. Найти площадь фигуры, заключенной между
- •Тренинг: решение примеров
- •Часть III
- •2) Пусть, например, груз р массы m подвешен к пружине и находится вположении равновесия. Отклоняя его от положения равновесия с помощью
- •Дифференциальные уравнения высших порядков и системыдифференциальных уравнений.
- •Приложение
- •4.Корень от частного равен частному от деления корня из делимого накорень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):
- •5.Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степеньподкоренное значение:
- •Формулы сложения:
- •Интегралы, содержащие только cos
Северо-Западный государственный
университет им. И. И. МечниковаКафедра медицинской информатики и физики
Малевская И.И. Майоров Е.Е. Тихомирова А.А
Методическое пособие для студентов с примерами и задачами
ОСНОВЫМАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
КРАТКИЙ КУРС
Северо-Западный государственный
университет им. И. И. МечниковаКафедра медицинской информатики и физики
Малевская И.И. Майоров Е.Е. Тихомирова А.А
Методическое пособие для студентов с примерами и задачами
ОСНОВЫМАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
КРАТКИЙ КУРС
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Часть I
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Определение производной. Правила дифференцирования. Таблицапроизводных
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 5
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 25
C = 0. 56
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 75
Математические методы имеют существенное значение длябиологии и медицины. Процессы, происходящие в живыхорганизмах настолько сложны и изменчивы, что дляудовлетворительного описания биологического и медицинскогоматериала нужны сложные математические модели, а дляобработки и объяснения результатов могут потребоваться довольносложные математические и вычислительные методы.
Возможно, что студентам, с робостью приступающим кизучению элементов высшей математики и имеющим слабыематематические способности, освоение материала весьмазатруднительно. Но есть надежда, что изучаемый курс математикии статистики даст им возможность разобраться в основахматематического анализа, а также понять роль теории вероятностейи статистики в изучении медицинских и биологических явлений,решать элементарные дифференциальные уравнения при изучениикурса медицинской и биологической физики.
Часть 1
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛАДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Определение 1. Производной функции f(x) в точке х называется
Производная - это предел отношения приращения функции к приращениюее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, характеризуетскорость изменения функции. Функция, имеющая конечную производную,называется дифференцируемой функцией.
Процесс вычисления производной называется дифференцированием.Из определения следуют основные правила дифференцирования:
(const)' = с' = 0.
Производная любого постоянного числа равна нулю.
Примеры:
(5)' = 0;
(-8)' = 0;• (232)'= 0.
(х)' = 1.
Производная аргумента равна 1.
(с u)' = с u'.
Постоянное число можно выносить за знак производной.Пример:
• (5 х)' = 5 х' = 5 • 1=5.
(u + v - w + ... + s)' = u' + v' - w' + ... + s'.
Производная алгебраической суммы любого числа слагаемых равна этой жеалгебраической сумме производных слагаемых.Примеры:
• (Зх - 8)' = (Зх)' - (8)' = 3• 1-0 = 3;
5. Если
сложная
функция и
,
где u
— любая функция.
Примеры:
Примеры:
Производная
синуса сложной функции равна
произведениюпроизводной
этой сложной функции на косинус этой
функции.Если
u
= х, то (sin
х)'
= cos
х
.Примеры:
Производная
косинуса сложной функции равна минус
произведениюпроизводной
этой сложной функции на синус этой
функции.Если
u
= х,
то
(cos
х)'
= - sin
х.Примеры:
Производная
произведения равна сумме произведений
производнойпервого
сомножителя на второй и производной
второго сомножителяна
первый.Примеры:
Пример
1.
Найти производную функции у = Зх +
5:Решение:
Пример 2. Доказать, используя лишь определение, что
Доказательство:
что
требовалось доказать.
Вынося в последнем равенстве логарифм за знак предела, мы
Заметим,
что
воспользовались
непрерывностью функции
тоже
условие
гарантирует,
что при достаточно малом
что
необходимо для существования
будет
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИ
И
Пусть
дана функция
сложная
функция аргумента
Считаем,
что функции
дифференцируемые
по своим аргументам,
находится
по следующей формуле:
тогда
производная функции
Решение:
Обозначим
Воспользуемся
формулой
Найдем:
Пример
в).
Найдите производную функции:
Решение:
Решение:
Пример
с).
Найдите производную функции:
ПРИЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1. Для функций, представляющих собой громоздкие произведения ичастные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основаниестепени, так и ее показатель, - необходимо применять приемлогарифмического дифференцирования
.
Этот
прием основан на соотношении
Пример№1.
Найти
где