4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Таблица первообразных

Таблица неопределённых интегралов

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов,можно интегрировать некоторые функции.

Пример.

Пример.

Пример.

Правил для интегрирования произведения, частного, сложной, обратной функции вобщем случае нет. Рассмотрим отдельные приёмы интегрирования некоторыхклассов функции.

ПРИЁМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯМетод подстановки

Наиболее общим приёмом интегрирования функций является методподстановки, который применяется тогда, когда искомый интегралявляется табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может бытьсведен к табличному.

Метод подстановки основан на применении следующей формулы:

где x=φ(t) - дифференцируемая функция от t, производная которой φ'(t) сохраняетзнак для рассматриваемых значений переменных.Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле

переменную .т заменяют переменной / по формуле х=φ(t) и,следовательно, dx произведением φ'(t)dt.

Продифференцировав правую часть формулы, имеем

Приведем доказательство этой формулы. Продифференцировав левую частьформулы, имеем

Таким образом, формула справедлива.

Часто употребляется обратная замена переменной, т.е. подстановка t=φ'(x).

dt=φ'(x)dx

Пример: Необходимо найти интегра

л

Подставляя полученные значения в искомый интеграл получим:

Теперь подставив значение и в полученное выражение получим решениеискомого интеграла:

С = 0.

Интегрирование по частям

Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемыефункции от х, то

Отсюда

Интегрируя обе части этого равенства, имеем

или

Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученнойформулы.

Основные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:

1. подинтегральная функция содержит произведение многочлена от х напоказательную функцию от х или произведение многочлена от х на sin(x) илиcos(x), или произведение многочлена от х на 1п(х)\

2. 

   Применим подстановку: u=arctg(x), тогда

   подинтегральная функция представляет собой одну из обратныхтригонометрических функций arcsin(x), arcos(x) и т.д.;

3. подинтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x)или cos(x).

Пример: необходимо найти интегра

л

Положим и = х, dv = sin(x)dx.Тогда du = dx, v = -cos(x). Отсюда

C = 0.

Пример: вычислить интегралПредставим удобную запись вычислений:

Здесь в двойные вертикальные линии заключены все вычисления, которыеявляются подготовительными для применения формулы интегрирования почастям. Подготовительные записи могут быть вынесены за пределы уравнения.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x), припереходе аргумента х от значения а к значению b.Решение. Положим, что интегрированием найдено

Тогда F(x)+C₁, где С₁ - любое данное число, будет одной из первообразныхфункций для данной функции f(x). Найдем её приращение при переходе аргументаот значения а к значению b. Получим:

Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x) + С₁отсутствует постоянная величина С₁. А так как под С₁ подразумевалось любоеданное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: припереходе аргумента х от значения х=а к значению х=b все функции F(x) + С,первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равноеF(b)-F(a).