книги / Функциональный анализ

р(Ял) понимается введенная выше величина, а для невещественных Я полагается Р (К ) — dim 2?к (А). Тогда 2 Р (Ч ) ^ х-

кk

Приведенные результаты остаются верными не только для /-самосопря­ женных операторов А в П^, но и для любых / -симметрических (или иначе

J-эрмитовых) операторов А в Ик:

Справедливы также аналоги этих предложений для любых однозначно об­ ратимых /-изометрических и, в том числе, /-унитарных операторов U в Пх (с заменой вещественной оси единичной окружностью).

Наличие у /-унитарных (/-самосопряженных) операторов в UK конечномерных максимальных семидефинитных инва­ риантных подпространств лежит в основе так называемого ме­

(неположителен). Это позволяет в ряде случаев сводить реше­ ние задач в пространстве к известным результатам обыч­ ной теории.

В частности, метод дефинизации приводит к следующему результату. Для /-самосопряженного оператора А в Пх с чисто вещественным спектром (что не является существенным огра­ ничением) имеет место аналог обычного спектрального разло­ жения:

Здесь (/-самосопряженная) спектральная оператор-функция Ек определена не на всей оси (—оо, оо), а лишь вне конечного числа (^ и ) так называемых критических точек,

~ E min (h, jj,)’ Е х-о = Е к, Е ( °°) — 0, Е ( + °о) = /,

Д —любой интервал (а, р) вещественной оси, не содержащий критических точек, Е д = £(р) —Е ( а). Критические точки спек­ тральной функции Е% являются собственными значениями су­ жения оператора А на п-мерное неотрицательное инвариантное подпространство (существующее в силу основной теоремы). Хотя последнее определяется не единственным образом, множе­ ство критических точек определяется оператором А однозначно.

Если ограниченный оператор А в /-пространстве Н /-неотри­ цателен, т. е. [Ах, х] ^ 0 для всех х, то спектр А веществен. Для

ческое дифференциальное уравнение в гильбертовом простран­ стве:

где / = Р+— Р- — оператор Грама, задающий индефинитную метрику [х, у] = (Jх, у), а гамильтониан H{t) системы — огра­ ниченный самосопряженный оператор. Пусть для любых х, у функция (H(t)x,y) измерима в каждом конечном интервале и

j \\ Н (t)\\dt < оо для любых tu t2^ 0 .

и

Обобщая подход, развитый ниже в гл. V, § 1, рассматривают слабые решения системы, т. е. вектор-функции x{t)> удовлетво­ ряющие при любом у соотношению

оказывается /-унитарным оператором и справедлив следующий критерий: для того чтобы все слабые решения x(t) канониче­ ской системы были ограниченными на полуоси 0<4Я<оо, не­ обходимо и достаточно, чтобы оператор монодромии Я (со) был устойчивым J-унитарным оператором (критерий устойчивости U

см. в п. 2).

Линейное пространство 36 гамильтонианов Я(/), удовлетво­ ряющих перечисленным выше условиям, можно нормировать, положив

G)

IIЯ (*)!!*.= J IIЯ (011^. 0

Каноническая система называется устойчивой, если все ее (сла­ бые) решения ограничены на полуоси 0 ^ t < оо и остаются ограниченными при достаточно малых возмущениях гамильто­ ниана: \\ff(t)-H(t) IIс* < е .

Для того чтобы каноническая система была устойчивой, не­ обходимо и достаточно, чтобы ее оператор монодромии 0 ( со) был сильно устойчивым /-унитарным оператором (соответствую­

264 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

замкнутые линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. В большинстве задач В = В* и D(B)czD(C), что и предполагается в дальнейшем.

При А ф 0 оператор L(X) определен на D(B) и совокупность p(L) всех регулярных точек пучка (т. е. точек %Ф 0, для кото­ рых существует непрерывный обратный оператор L-1(A)) яв­ ляется открытым множеством. Его дополнение a(L) в комплекс­ ной плоскости называется спектром пучка L(h). Если С = С*, то o{L) симметричен относительно вещественной оси. Основным для изучения спектральных свойств пучка Ь(Х) оказывается изучение операторного квадратного уравнения

L(Z) = Z2 + BZ + C = 0.

Пусть оператор В = В* ограничен, а С — вполне непрерыв­ ный неотрицательный оператор. Рассматривается прямая орто­ гональная сумма И = Н\ 0 # 2 двух экземпляров Н\ и Н2 ис­ ходного гильбертова пространства Н и соответствующие орто­

(см. п. 2) об инвариантном подпространстве М класса 27i+. Это позволяет установить следующее основное для всей теории ква­ дратичных пучков предложение. Пусть OQ{L) — невещественная часть спектра пучка L(X). При любом разбиении a0(L) на две непересекающиеся симметрично расположенные относительно

вещественной оси части А и А — oo{L) — Л у квадратного урав­ нения L(Z) = 0 найдется вполне непрерывный корень 2л, об­

ного подпространства М е $Ш+.

Ли т е р а т у р а : [22], [166].

ГЛАВА V

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВБАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§I. Линейные уравнения с ограниченным оператором

1.Линейные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Линей­

ное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид

^= A(t)x + f(t),

где f(t) — заданная функция со значениями в банаховом про­ странстве Е, x = x(t)— искомая функция со значениями в £, A(t) (при каждом фиксированном t)— линейный оператор, дей­ ствующий в пространстве Е. Производная понимается как пре­ дел по норме пространства Е разностного отношения

В этом параграфе'рассматривается тот случай, когда A(t) является при каждом t ограниченным оператором. При этом условии свойства решений линейного уравнения аналогичны свойствам решений системы линейных дифференциальных урав­

2. Однородное уравнение с постоянным оператором. Для од­ нородного уравнения

dt ~ ЛХ

с постоянным ограниченным оператором А решение задачи Коши существует, единственно и может быть записано в виде

х (t) = eAtXq.

Оператор eAt определяется рядом (гл. III, § 3, п. 4)

который сходится по норме операторов. Оценка каждого члена ряда по норме дает неравенство

|| eAt ||<е*

Операторы eAt при различных t (—оо < t < оо) образуют однапараметрическую группу, ограниченных операторов

gAte A% — e A(t +х) e

Оценка нормы оператора eAt, приведенная выше, является грубой, так как она учитывает лишь норму оператора Л и не учитывает расположение его спектра. Более точная оценка со­ держится в следующем утверждении: если вещественные части всех точек спектра оператора А меньше числа а, то

\ \ е м ||

Обратно, из выполнения этого неравенства следует, что дей­ ствительные части точек спектра оператора А не превосходят а

лежал в замкнутой левой полуплоскости, и достаточно, чтобы он лежал в открытой левой полуплоскости.

Для ограниченности всех решений на всей оси —оо < t < оо необходимо, чтобы спектр оператора А лежал на мнимой оси. Это условие не является достаточным, что можно проверить на примере конечномерного оператора с кратными элеметарными Делителями.

решение может быть представлено в виде ряда из частных ре­ шений указанного вида. В частности, если собственные векторы

{еп} оператора А образуют базис в Е, то общее решение урав­ нения имеет вид

* ( 0 = 2 спек"*еп.

Ли т е р а т у р а : [22], [179], [185].

3. Случай гильбертова пространства. Пусть однородное уравнение с постоянным оператором рассматривается в гиль­

унитарный.

Для того чтобы все решения однородного уравнения в гиль­ бертовом пространстве были ограниченными на всей оси, не­ обходимо и достаточно, чтобы оператор А был подобен опера­ тору iB, где В — самосопряженный оператор, т. е.

спектр оператора А лежал в открытой левой полуплоскости, не­ обходимо и достаточно, чтобы существовал такой ограниченный самосопряженный положительно определенный оператор W, что оператор WA + A*W являлся бы , отрицательно опреде­ ленным.

Иначе говоря, необходимо и достаточно существование по­

при любом решении x(t) дифференциального уравнения.

Лит е р а т у р а : [22], [179].

4. Уравнение второго порядка. Для уравнения второго по­ рядка

■§г + * * “ 0

с ограниченным линейным оператором В в банаховом простран­ стве Е задача Коши состоит в нахождении решения по началь­ ным данным:

х(0) — х0 и *'(0) —

Оператор U(i) можно рассматривать как решение задачи Коши

= A ( t ) U , и ( 0 ) = 1

для дифференциального уравнения в пространстве ограниченных операторов, действующих в Е.

При каждом t существует ограниченный обратный оператор V(t) = t/_1(/). Этот оператор является решением задачи Коши для операторного дифференциального уравнения

которое называется сопряженным к предыдущему.

Если рассмотреть для исходного уравнения более общую за­ дачу Коши, в которой начальное условие задается не в момент времени t = 0, а в любой момент t0.

X (to) = *0, то ее решение можно записать в виде

x(t) = U(t)U- l (t0)x0 = U(t, t0)x0.

Всегда о ^ М. Точную верхнюю грань чисел о для всех ре­ шений уравнения называют старшим показателем os. Для него справедлива формула

t->ОО 1

Существенно важной характеристикой уравнения является особый показатель, определяемый формулой