книги / Функциональный анализ

Справедливы следующие утверждения:

1) Область определения сопряженного оператора Ао разла­ гается в прямую сумму:

D (Ло) = D (Ло) 0 Л^ U 0 U .

2) Область определения любого положительно определенного самосопряженного расширения А оператора Ао разлагается в прямую сумму

D { A ) = D ( A 0) ® ( A ? + B ) U ,

где В — некоторый ограниченный самосопряженный положитель­ ный оператор, действующий в подпространстве U.

3) Для любого оператора В, обладающего описанными выше свойствами, сужение оператора Ао на множество £)(ЛО0

0 (Л ^ ! + B)il является самосопряженным положительно опреде­ ленным оператором.

Таким образом, знание жесткого расширения Л^ позволяет свести описание любого положительно определенного самосо­ пряженного расширения к описанию оператора В. Оператор В действует в более узком, чем Я, пространстве U. В теории гра­ ничных задач для уравнений в частных производных подпро­ странство U естественным образом взаимно однозначно отобра­ жается на некоторое пространство функций, заданных на грани­ це области, и оператор В связывается с операторами граничных условий.

С помощью оператора В можно описать и структуру об­ ласти определения корня квадратного из любого самосопряжен­ ного положительно определенного расширения Л оператора Л0:

D (Л1/2) = D (А!/2) ® R (В1/2) = Но© R (Вт).

Важность теории полуограниченных симметрических опера­ торов иллюстрируется следующим примером. Пусть в м-мерной области G евклидова пространства с достаточно гладкой грани­ цей задано самосопряженное дифференциальное выражение по­ рядка 2т:

где

а|

а = («1» • • • >a„), I а I = + а2 + ... + ап, Da = — ----------—

dxil

и аналогично определены р, |р| и /Ж Коэффициенты аа$ пред­ полагаются достаточно гладкими функциями х = (хи . .., хп) и аар s=s азВыражение L называется эллиптическим, если при

зывается эквивалентной метрике пространствао HP™ Соболева.

Пространство Но является подпространством W™ пространства

ИР™. Решение уравнения

A[1u = f,

где Лц — жесткое расширение оператора Л0 и f e L 2(G), назы­ вается обобщенным решением первой краевой задачи для урав­ нения La -j- ku = f.

Более подробно теория расширения иллюстрируется на при­ мере эллиптического выражения 2-го порядка в § 8.

Л и т е р а т у р а : [1], [24], [43], [153], [165], [170].

4. Обобщенные расширения и спектральные функции симмет­ рических операторов. Обобщенные резольвенты. В случае, когда индексы дефекта п+ и п- симметрического оператора А различ­ ны, этот оператор не допускает в данном гильбертовом про­ странстве Н самосопряженных расширений (см. п. 2). Однако действующий в Н симметрический оператор А с произвольными индексами дефекта (п+, п-) всегда может быть расширен до самосопряженного оператора Л+, действующего в более широком

= D(A+) ПН ф D(A+). Такие расширения А+ называют расши­ рениями II рода. Все прочие обобщенные самосопряженные рас­ ширения А+ суть расширения /// рода.

Однопараметрическое семейство ограниченных операторов

F x ( —o o < i < o o ) называют обобщенным разложением едини-

цы, если

В отличие от разложений единицы Ех, встречавшихся в § 3, операторы F уже не обязательно проекционные.

Обобщенное разложение единицы F% называют спектраль­ ной функцией симметрического оператора Л в Я, если для лю­ бых х <=D(A) и у е Я

ное описание всех спектральных функций симметрического опе­ ратора А устанавливается следующей теоремой.

Пусть Л+ — (обычное или обобщенное) самосопряженное расширение симметрического оператора Л(Я(Л)с:Я), дейст­

вующее в гильбертовом пространстве Я + (з Я), a Е% — спект­ ральная функция Л+:

оо

А+ = J X dEt.

— оо

Через Р+ обозначим проекционный оператор, (ортогонально)

рического оператора Л, и таким путем (из всевозможных А+) получаются все спектральные функции оператора А.

где F%— любая спектральная функция симметрического опера­ тора А. Однако обратное заключение справедливо в том и только том случае, когда Fx порождается (в описанном выше смысле) некоторым самосопряженным расширением А+ II рода.

оператор в Н) называется обобщенной резольвентой симметри­ ческого оператора Л, порожденной самосопряженным расшире­ нием А+. Подобно обычной резольвенте самосопряженного опе­ ратора (см. § 3, п. 4), Rz связана с соответствующей спектраль­

ной функцией Fx — P^Ex соотношением

оо

{Rs, у)= I '—х - гу)- (*>у ^ н)•

— оо

Для симметрических операторов с равными и конечными ин­ дексами дефекта имеются формулы, описывающие все обобщен­ ные резольвенты (и все спектральные функции).

Л и т е р а т у р а : [1].

§ 5. Теория возмущений

Эта теория изучает изменения спектральных свойств опера­ торов при слабых (в том или ином смысле) их изменениях.

1. Общие свойства. Пусть дано семейство самосопряженных операторов Л(е), зависящее от параметра е, и пусть D — мно­ жество х, для которых существует предел

Иm А(е) х = А0х.

е->0

(Предполагается, что X G D ^ ( E)) при 0 < е < е 0(х).) Если самосопряженный оператор А является замыканием оператора А0, то для спектральных функций £\(е) и /^'операторов Л(е) и А справедливо соотношение

£я = Нш£л(е) .

8->0

при любом Я, не принадлежащем точечному спектру операто­ ра А. Предел понимается в сильном смысле. Равномерная схо­ димость Ех(е) к Ех (по норме операторов) в указанных усло­ виях, вообще говоря, не имеет места. Ее может не быть даже, если потребовать, чтобы операторы Л(е) были ограниченными и равномерно сходились к оператору А.

Если в области определения D(A) самосопряженного опера­ тора А ввести новую норму ||x||i = ||х|| -{- \\Ах\\, то в этой норме D(A) будет банаховым пространством #i (см. гл. I, § 5, п. 10). Если все операторы Л(е) определены на D(A) и сходятся к А равномерно относительно нормы ||x||i:

|| А(е)х — Ах 1^ С81л;h {xt=D(A))>

где Се-> 0 при е-^0, то спектральная функция £\(е) равномер­ но сходится к функции Ех в любой точке X, не принадлежащей

ляющий ее от остальной части спектра, то в предыдущих усло­

отвечающие собственным числам ЯДе), могут не иметь предела при е -* 0. Если Хо— простое собственное число, то собственный

Пусть оператор Л имеет полную систему собственных эле­ ментов {еп} с соответствующими собственными числами Хп•

Если Хп — изолированное простое собственное число опера­ тора Л, то можно получить формулы для определения коэффи­ циентов разложения по степеням е собственного числа Яп(е) оператора Л(е) = Л + Ллв. Здесь приводятся лишь формулы первого и второго приближения:

226 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

где

Эти формулы получили в физике название формул теории

возмущений.

Если оператор А имеет участки непрерывного спектра, то имеются аналогичные формулы, в которые, кроме сумм, входят еще и интегралы.

В случае /n-кратного собственного числа для получения ко­ эффициентов при степенях е приходится находить собственные функции и собственные числа га-мерных операторов.

Задачи теории возмущений являются частным случаем более общей задачи изучения поведения функции /(Л(е)) при измене­ нии е, где /(Я) — заданная функция. Функция £\(е) есть как раз функция такого типа (см. п. 2). Для разложения по степеням е таких функций естественно применить формулу Тейлора, пред­

Для производных функций от операторов по параметру имеются специальные формулы. Здесь приводится лишь форму­ ла для первой производной, которая справедлива в предположе­ нии, что оператор А является оператором Гильберта — Шмидта (см. § 2, п. 7).

Ли т е р а т у р а : [50], [160].

2.Конечномерные, вполне непрерывные и ограниченные воз­

бесконечной кратности сохраняются при конечномерных возму­

спектр А в интервале Д состоит из собственных значений конеч­ ной суммарной кратности рА) то спектр В в А состоит из соб­

если возмущение V — В — А вполне непрерывно. Однако при вполне непрерывных возмущениях не меняется предельный спектр самосопряженного оператора. В частности, если интер­ вал Д не содержит точек спектра Л, то спектр В в А может быть лишь дискретным.

Все приведенные выше утверждения сохраняют силу и при более общих предположениях. Достаточно, например, чтобы конечномерным (соответственно вполне непрерывным) был не оператор В — Л, а оператор (В — г/)-1 — (Л — г/)-1, где г — ре­ гулярная точка для Л и В. Следует заметить, что ранг операто­ ра (В — г/)-1— (Л — г/)-1 не превосходит числа т , если Л и В — различные самосопряженные расширения одного и того же

dim Е% (В) Н > dim ЕА (А)Н.

В частности, если Ао принадлежит предельному спектру опера­ тора Л, то сегмент [А0 + а, Ао + Р] содержит хотя бы одну точку предельного спектра оператора В.

дения вытекает, что в сегменте [Ао — v, А0 + v] спектр В состоит

Ли т е р а т у р а : [1], [50], [158].

3.Возмущения полуограниченных операторов. Для полуограниченных самосопряженных операторов утверждения теории возмущений удобно формулировать в терминах соответствую­ щих квадратичных форм (определения и обозначения см. в § 6,

п.2). Пусть А и В — полуограниченные снизу самосопряжен­ ные операторы; А[х, х\ В[х, х] — соответствующие квадратичные формы с областями определения D[A] и D[B].

Говорят, что А > В, е£ли D[A] си D[B] и А[х, х] ^ В[х, х] для любых х е D[A].

влетворяют условиям Хп{В) ^ Хп{Л).

Пусть оператор А положителен. Множество D[A], наделенное скалярным произведением

{%>У}А=== А [X, у\ “}” (X, у),

является полным гильбертовым пространством. Если на D[A] задана некоторая вещественная квадратичная форма V[x, х] и

W[x, x]\< C \xfA9

то в D[A] действует ограниченный самосопряженный оператор Q такой, что

]/ [ху х] = (,Qx, х)д.

Форма V[xyх] называется вполне непрерывной в D[A\ коль ско­ ро вполне непрерывен в D [А] соответствующий оператор Q.

Если форма V[x, х] вполне непрерывна в D[A] и С [Ху х] = А [Ху х] + V [Ху х],

то форма С [х, х] с областью определения D [C]=D [А] полуограничена снизу и замкнута. Связанный с С[х, х] самосопряженный оператор С имеет тот же предельный спектр, что и оператор

А.В частности, отрицательный спектр оператора С дискретен. В случае, когда «возмущающая» форма отрицательна, по­

следнее утверждение может быть дополнено. Пусть V[x, х] ^ 0 и для любых а > 0 форма

С [Ху х] = А [х} х] + aV [Ху х] (XGE D [Л]) полуограничена снизу, замкнута и отрицательный спектр опера­

С один и тот же.