книги / Функциональный анализ

чивается условием метрической транзитивности или неразложи­ мости процесса: й нельзя представить в виде объединения двух множеств положительной меры Й1 и Й2 так, чтобы P(l,s, е) = 0

о

и средние по Абелю

оо

A(U) = Я Je~XxU{x)dx.

О

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [58].

§4. Интерполяция линейных операторов

1.Интерполяционные пространства. Для линейных операто­ ров, встречающихся в различных математических задачах, сама природа оператора (способ его аналитического задания) указы­ вает на достаточно широкое пространство (обычно линейное то­ пологическое пространство), к элементам которого можно пы­ таться применять этот оператор. Так, для интегрального опера­ тора таким пространством естественно считать пространство всех измеримых функций (см. гл. II, § 3, п. 1), для дифференциаль­ ного оператора — пространство обобщенных функций или рас­ пределений (см. гл, II, § 1, п. 3) и т. п.

Однако для исследования «количественных» свойств опера­ тора его обычно изучают в некоторых банаховых пространст­ вах £, содержащихся в указанном линейном топологическом пространстве 51. Теория интерполяции линейных операторов ста­ вит перед собою следующую цель: зная свойства линейного опе­ ратора в двух банаховых пространствах £о, £i а 51, найти его свойства в других банаховых пространствах Е а 51.

Пусть 51 — линейное топологическое пространство. Два бана­ ховых пространства Е0 и Eit вложенные (см. гл. I, § 4, п. 10) в пространство 51, называются интерполяционной парой. Линей­ ные многообразия Е0 Г) Е{ и £ 0 + £i наделяются нормами

являются банаховыми.

Промежуточным пространством между Е0 и £i называется всякое банахово пространство £, для которого

Е0(]Е{с:Ес1Е0 + Е{

(знак с= здесь и в дальнейшем означает непрерывное вложение

в Е0 П Ei.

Промежуточное пространство Е называется (линейным) ин­ терполяционным между Ео и Ei пространством, если оно инва­ риантно относительно всех операторов А описанного выше типа. При этом сужение каждого оператора Л на £ будет ограничен­ ным оператором в £, причем существует константа МЕ такая, что

II А \\Е'^ МЕшах (|| А ||£о, || Л у .

Легко проверяется, что можно положить MEof]E = MEo+jBi = l.

Говорят, что линейное интерполяционное между* £ 0 и £ i про­ странство £ имеет тип 0, если

\\A\\E^ C E\\A\\'-»\\A\f>Ei,

где СЕ не зависит от Л. Константа СЕ не может быть меньше единицы. Если СЕ = 1, то говорят, что пространство имеет нор­ мальный тип 0.

Л и т е р а т у р а : [61], [101], [102], [104], [142].

2.Вещественные методы конструирования интерполяционных

пространств. Для интерполяционной пары £ 0, £i на множестве £ 0 + £i вводится функционал

банахово. Оно является промежуточным и интерполяционным между Е0 и Ei пространством с нормальным типом 0.

Через (£0, £ 1) 0, p,j (0 < 0 < 1, 1<Ср^оо) обозначается сово­ купность всех элементов х е £ 0 + £ 1, для каждого из которых существует сильно измеримая функция u(t) со значениями в пространстве £о П Ei такая, что

(£0, £i)0o>1, / ^ ^0 ^ (£0, ^ 1)00. оо, к

а

(£0,£i)0j^ус:£jс:(£0,£0©!>0Q,/C

дает с замыканием Е0[) Ei в пространстве Е0, a S( 1, 1; Ео, £i) — с замыканием Е0 П Е{ в пространстве Еi.

Л и т е р а т у р а : [61], [101], [104], [145], [148], [149].

ционным между Е0 и Е{ пространством с нормальным типом 0. Выполняется соотношение симметрии [Е0, Еi]0 = [Еи £ 0]i-e.

ство пространств здесь понимается как изометрия. Если Еi вло­ жено в Е0 компактно, то [£0, E{\Q компактно вложено в [Е0,

( О < 0 о < 0 1< 1 ) .

Другой метод построения интерполяционных пространств со­ стоит в том, что рассматривается пространство s&(Eo,Ei) всех

11ф(2)||£о+Й1< с(1+ |2 |).

Кроме того, предполагается, что функции

ф(/ + ” ч) — ф( / + *т2)

принимают значения из пространств Ej и справедливы неравен­ ства

IIФ(/ + ™ \ ) — Ф(У + *т2) | | < М | т, — т21.

В пространстве s4-(E0,Ei) вводится полунорма

Факторизация пространства s^(E^Ei) по подпространству кон­ стант приводит к банахову пространству, обозначаемому снова

[E0,E i]Qявляется банаховым пространством, интерполяционным между Ео и Е { с нормальным типом 0.

Если одно из пространств Ej (/= 0, 1) рефлексивно, то [£0, £Y|e изометрично [E0lEi]Q. В общем случае пространство [£0, £i]0 нор­ мально вложено в пространство [£0, £т]9 (см. гл. I, § 4, п. 10).

Если Ео П Е1 плотно вложено в Ej (/ — 0, 1), то сопряженное пространство [Е0, Еi]'Q изометрично пространству [£о, £i]9.

ф(г) из s&(E0 Ei), например, значений обобщенных функций б(п)(х — 0) : (бп, ф) = ф^п)(0). При этом рассматривались как об­

общенные функции на интервале (0, 1 ), так и обобщенные функ­ ции в полосе 0 < Re z < 1.

Ли т е р а т у р а : [101], [104], [128].

4.Интерполяционные семейства и шкалы пространств. Пусть

EQ, Ei (F0, FI)— интерполяционные пары пространств и Ea(Fa) — семейства банаховых пространств, зависящих от параметра а е ^[0,1], причем при 0 < а < 1 пространства Ea(Fa) являются

промежуточными между Е0 и Ei(F0 и Fi). Говорят, что семейство Еа относительно семейства Fa обладает

1 ) интерполяционным свойством, если для всякого линейного

нормально интерпаляционным свойством относительно семейства

Fa== Fa0(1—a)+ata (0 ^ a ^ 1 );

4) почти интерполяционным свойством, если сужения на про­ странства Еа оператора, описанного в 1), являются ограничен­

ся шкалой пространств, если: 1 ) пространство Е$ плотно вложе­

зывается нормальной. Говорят, что нормальная шкала непре­

рывна, если || х || = lim || х |L (х е Е{). a-*1

Пусть пространство Еi нормально вложено в пространство Е0. Эти пространства называют родственными, если существует не­

нормально вложено в Е0) были родственными, необходимо и до­ статочно, чтобы единичный шар пространства Еi был замкнутым в топологии, индуцируемой в Еi нормой пространства Е0. При выполнении этого условия непрерывная нормальная шкала,

£ а Ш, получающихся пополнением линейного пространства Е{ по

Эта шкала называется минимальной. Любые две минимальные шкалы обладают нормально интерполяционным свойством по отношению друг к другу.

Для любой правильной шкалы пространство Еа нормально вло­

жено в пространство £ а Ш. Всякая правильная шкала обладает строго интерполяционным свойством относительно любой мини­ мальной шкалы.

Всякая шкала £ а, вложенная в минимальную (Еа cz Е™1п), и в частности, всякая правильная шкала обладает почти интерпо­ ляционным свойством относительно любой шкалы Fa, соединяю­ щей родственные пространства F0 и Ft.

Среди всех нормальных шкал Еа (0 ^ а ^ 1), соединяющих два нормально вложенные банаховы пространства Е0 и Еи су­

ным свойством относительно любой нормальной шкалы Fa. Семейство Ea= [£0, £i]a, построенное методом комплексной

интерполяции в п. 3, обладает строго интерполяционным свой­ ством по отношению к любому другому такому семейству Fa= = [Fo, Et\a- Если EQ и EI родственны, то пространства [£0, Е\\а образуют непрерывную нормальную шкалу, соединяющую Е0 и Е\. Шкала [E0lE\]а вложена в минимальную и поэтому обладает почти интерполяционным свойством относительно произвольной шкалы Fa, соединяющей родственные пространства F0 и F{.

Семейство пространств (Е0, Ei)a> Pt к при каждом р е [ 1 , о о ] обладает нормально интерполяционным свойством относительно

Если Е1 нормально вложено в £ 0, то любое семейство прост­

150 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

раторов были классические теоремы М. Рисса — Торина и Мар­ цинкевича, которые здесь приводятся.

Если линейный оператор А определен на множестве простых комплекснозначных функций на £2 (т. е. функций, принимающих лишь конечное число ненулевых значений на множествах конеч­ ной меры), действует в S(£2i) и обладает свойствами

II (Qi) ^ И* ^Lp] (Q) Qi ^ j = 0, 1),

то этот оператор может быть расширен по непрерывности до

I Ах LQ(0)(QI) < м Г 0М?||х '•t-Р (0) <Q)

( т е о р е ма М. Р и с с а — Т о р и н а ) .