книги / Функциональный анализ

Если оператор F(x, и) имеет производные Фреше по и опре­ деленного порядка, то оператор Х(и) имеет производные Фреше того же порядка.

При применении теоремы о неявной функции к уравнению х = А(х, р) требование обратимости оператора F'x (х0, и0), есте­

ственно, заменяется требованием, чтобы единица не принадлежа­ ла спектру оператора Ах(х0, р0). При выполнении этого усло­

вия и непрерывности по (х, р) оператора Ах {х, р) в окрестности

точки (х0, ро) существует единственное непрерывное решение л;(р) уравнения х = А (х> р) такое, что х(ро) = х0.

Л и т е р а т у р а : [7], [29], [31], [35], [39], [198].

ведения решений при изменении р можно применить топологи­ ческие методы.

Пусть Хо— изолированное решение уравнения х = А(х, р0), имеющее ненулевой индекс. На достаточно малой сфере S, ок­ ружающей точку Хо, вращение поля х — А(х, р0) будет отличным от нуля. Следовательно, при р, близких к р0, и вращение поля х — А(х, р) будет отличным на S от нуля. Из принципа нену­ левого вращения следует, что внутри S имеется по крайней мере одно решение х(р) уравнения х = А(х, р), Уменьшая радиус сферы S, можно так выбирать решение х(р), что

что |р — р0| < s и уравнение х = А (х, р) имеет по крайней мере два решения, лежащие в е-окрестности точки х0.

и единица не является точкой спектра оператора А'х (х0, р0). Если же предполагать только существование оператора Ах (х0, р0), не имеющего единицу точкой спектра, и не предполагать сущест­

вования оператора Ах (х, р) в окрестности точки (хо, ро), то пара (*о, ро) может оказаться точкой ветвления.

Пусть внутри сферы 5 при каждом р, близком к р0 и отлич­ ном от него, уравнение х = А(хур) имеет только конечное число

х — А (Ху р) на сфере на четное число (индекс каждого решения ±1, сумма индексов равна вращению поля). Поскольку враще­ ние поля х — А (Ху р) на S при изменении р вблизи р0 не изме­ няется, то число решений уравнения х = А(х, р) при переходе р через ро может измениться лишь на четное число. Это утверж­ дение называется принципом сохранения четности числа реше­ ний.

Если индекс решения х0 равен нулю, то при р, близких к р9, решение х(р) уравнения х = А(х, р) в окрестности точки х0 может вообще не существовать. Решения могут «втекать» в Хо

котором уравнение имеет по крайней мере одно ненулевое ре­ шение х(\х)у удовлетворяющее условию IU(p)|| < е. В отличие от определения точки ветвления в определении точки бифурка­ ции предполагается априори известным одно семейство решений, определенное при всех значениях параметра — речь идет об «ответвлении» решений от заданного семейства. В определении точки бифуркации не говорится о том, при каких значениях па­ раметра уравнение имеет малые ненулевые решения. Эти значе­ ния могут образовывать дискретное множество или даже совпа­ дать с ро- Общность понятия точки бифуркации позволяет полу­ чить общие простые теоремы о методах отыскания этих точек. В то же время понятие точки бифуркации достаточно полно опи­ сывает появление ненулевых решений.

Для линейного уравнения х = рВх с линейным вполне не­ прерывным оператором В точки бифуркации совпадают с ха­ рактеристическими значениями оператора В (значения, обратные собственным числам).

Если оператор А(х, ц) непрерывно дифференцируем по Фреше, то в силу теоремы о неявной функции его точками бифурка­

ции могут быть лишь те значения р, при которых единица яв­ ляется точкой спектра оператора Ах(д, ц)* Пусть Л*(0, р) = рВ, где В — вполне непрерывный линейный оператор, не зависящий от р. Если единица является собственным значением оператора рВ, то р является характеристическим числом оператора В. Итак, в этом случае точки бифуркации являются характеристи­ ческими значениями оператора В. Возникает вопрос о том, каж­ дое ли характеристическое значение оператора В является точ­ кой бифуркации? В общем случае, как показывают примеры, от­ вет отрицателен.

Принципом линеаризации называют принцип, согласно кото­ рому отыскание точек бифуркации сводится к определению ха­ рактеристических значений линейного оператора В. Обоснова­ нием этого принципа служит следующее утверждение: если

оператора В является точкой бифуркации оператора А (х, р). Если характеристическое значение оператора В имеет четную

кратность, то требуется дополнительный анализ, использующий не только главную линейную часть рВ оператора А(хур). Пусть вполне непрерывный оператор допускает представление

А (ху р) = рВх 4- С (,Ху р) -f D (Ху р),

оператор D(xf р) состоит из членов более высокого порядка ма­ лости

II D (х, ti) ||< L ||x f +1.

Пусть р0 является характеристическим значением оператора В четной кратности р, пусть элементы еи . . . , е§ образуют ба­ зис в собственном подпространстве оператора В, соответствую­ щем собственному числу 1/р0, а элементы gu . . . , gp образуют базис в собственном подпространстве оператора В*, соответ­ ствующем этому же собственному числу (ро вещественно).

Важную роль играет векторное поле F в p-мерном векторном пространстве, определенное равенством

•••> = •••»

Для приложений этого утверждения нужно уметь конструи­ ровать поле F, уметь доказывать, что это поле не вырождено, и уметь вычислять вращение ус. При вычислении вращения по­ лезно знать, что вращение четного (F(x) = F(— x)) поля есть четное число.

Пусть, например, k = 2 и ро является характеристическим значением оператора В второй кратности (р = 2). В этом слу­ чае поле F будет иметь две компоненты r|i и т]2, каждая из ко­ торых будет квадратичной формой относительно gi и £2:

\ = b nl\ + 2bl2l {l 2+ b 22l l

Если одна из этих форм положительно или отрицательно опре­ делена, то поле F не вырождено и его вращение равно нулю. Если ни одна из этих форм не знакопостоянна, то для невыро­ жденности поля достаточно, чтобы прямые £1 = а |2, на которых аннулируется одна из форм, состояли из точек, на которых вто­ рая форма принимает ненулевые значения. Угловые коэффициен­ ты и 02 прямых, на которых аннулируется первая квадратич­ ная форма, определяются из квадратного уравнения

1

X (0 = у J к (t, s) f [х (s)] ds

о

с ограниченным симметричным ядром K{t, s) функция f(x) достаточное число раз дифференцируема, f(0) = 0 и f'(0) = 1. Линеаризация этого уравнения приводит к линейному инте­ гральному уравнению с ядром K(t, s).

Если характеристическое значение ро ядра K(t, s) имеет не­ четную кратность, то оно будет точкой бифуркации для исход­ ного уравнения.

при нулевых граничных условиях

у(0) = у(1) = 0

(см. рис. 1). Функция

А Л; \ ( 1 — |)t|, если

является функцией Грина оператора у" при нулевых граничных условиях. Дифференциальное уравнение изгиба стержня сводит­

Это уравнение имеет нулевое решение при всех значениях параметра р. При' некоторых нагрузках р уравнение может иметь ненулевые решения, которыми определяются формы по­ тери устойчивости. Нагрузку ро называют критической нагруз­ кой Эйлера, если при некоторых близких к ро нагрузках урав­ нение имеет малые ненулевые решения. Иначе говоря, критиче­ ская нагрузка Эйлера — это точка бифуркации для уравнения

изгиба стержня.

Одной из важных задач теории упругости является отыска­

ние критической нагрузки.

Полученное интегральное уравнение можно рассматривать как операторное уравнение вида х = А(х, р) с вполне непре­

рывным оператором в пространстве С. Линеаризация приводит к уравнению

ф ( I ) =р р ( I ) J К ( & , л ) Ф dx\( л .)

О

Если е{%)— ненулевое решение этого уравнения при р = р0,

то функция

1

#(£) = J *f(£. лМ лМ л

О

будет решением уравнения

«/"(l) + tlop(l)'/(E) = 0,

удовлетворяющим нулевым граничным условиям. Отсюда выте­ кает, что каждое характеристическое значение линеаризованного уравнения является простым и, следовательно, является точкой бифуркации. Соответствующие значения р дают критические на­ грузки.

Оператор С для рассматриваемого уравнения имеет вид

и, следовательно, имеет третий порядок малости (k = 3). Здесь

поэтому ненулевые решения появляются при р > р0. Это вполне соответствует физическому смыслу задачи: потеря устойчивости происходит тогда, когда нагрузка превосходит критическое зна­ чение.

Иногда в литературе встречается другое уравнение для из­ гиба стержня:

у " (0 + рр (0 у (0 [1+ у 'г (O f2 = о

при граничных условиях

У(0) = у ( 1 ) = 0.

Оно соответствует тому, что кривизна выражена не как функция длины дуги £, а как функция координаты t. При этом прибли­ женно считается, что р(£) = р(/), и в граничных условиях не учитывается изменение координаты незакрепленного конца стержня, представляющее собою величину третьего порядка

малости по сравнению с прогибом стержня. Однако эта величина третьего порядка сказывается на знаке к. В этом случае для к получится выражение

- 2

Kt (t, s) е (s) ds dt > 0,

у соответствующего интегрального уравнения ненулевые реше­ ния появляются при р < ро, что противоречит физическому смы­ слу задачи. Таким образом, пренебрежение в уравнениях вели­ чинами третьего порядка малости приводит к неправильному описанию задачи о формах потери устойчивости сжатого стер­

Это уравнение можно рассматривать как операторное урав­ нение в пространстве С на отрезке [0, 2п]. При всех значениях р оно имеет нулевое решение. Точки бифуркации этого уравне­ ния соответствуют значениям параметров, при которых возни­ кают волны.

Линеаризованное уравнение имеет вид 2я

x(t) = ii J К (t, s) х (s) ds.

о

Его характеристическими значениями будут числа \in = Зп с со­ ответствующими собственными функциями en(t) = sin nt. Все характеристические значения простые, поэтому они и только они будут точками бифуркации для уравнения Некрасова.

Оператор С имеет вид

о0