книги / Функциональный анализ

5.Пространство функций x(t), определенных и измеримых

на всей оси (—оо, оо) и таких, что существует предел

будет гильбертовым, если положить

I

(х, у ) = Нш 4 г { x{t)i<j)dt.

Г-*ОО -г

Пространства из примеров 1- -4 сепарабельны, пространство из примера 5 не сепарабельно.

Ли т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

3.Ортогональность. Проекция на подпространство. Два эле­ мента х и у гильбертова пространства называются ортогональ­

ортогональным дополнением к L. Подпространства L и М имеют общим лишь один элемент 0.

Одним из основных свойств гильбертова пространства яв­ ляется следующее.

Если L — подпространство пространства Н, то для всякого ^ е Я существует единственное представление

x = y + z ,

где у е L, a z l L .

Элемент у называется проекцией х на L. Он обладает тем свойством, что по сравнению с другими элементами L находится на наименьшем расстоянии от х.

Каждый элемент Н разлагается в сумму элементов из под­ пространства L и его ортогонального дополнения М. Иначе го­

Из предыдущего вытекает весьма полезное следствие: для того чтобы линейное многообразие L было всюду плотно в про­ странстве Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента, отличного от нулевого и ортогонального всем элемен­ там множества L.

Л и т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

182ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

4.Линейные функционалы. Из неравенства Буняковского — Шварца следует, что линейный функционал f(x) = (x, и) при

фиксированном и ^ Н является ограниченным. Оказывается, что этим исчерпываются все линейные ограниченные функцио­ налы на Я, т. е. для всякого /(х )еЯ * найдется единственный элемент и ^ Н такой, что

f(x) = (x, и),

при этом II / ||я* = II и ||я .

Таким образом, сопряженное пространство Я* изометрично самому пространству Я. Сопряженное пространство рассматри­ вается здесь в смысле, изложенном в гл. I, § 5, п. 9. Гильбер­ тово пространство является самосопряженным и, следователь­ но, рефлексивным.

Всякий линейный функционал f, определенный на L2(a,b), может быть представлен в видеъ

f (х)= J x(t)U{t) dt,

Всякий линейный функционал f, определенный на l2l может быть представлен в виде

З а м е ч а н и е . Иногда удобно линейные функционалы на гильбертовом пространстве Я представлять не через скалярное произведение простран­ ства Я, а через скалярное произведение в некотором другом гильбертовом пространстве. Тогда сопряженное к Я пространство Я* будет уже реализо­

ваться с помощью элементов другой природы. Например, в пространствеWl2(G)

удобно линейный функционал f(x) представлять через скалярное произве­ дение в L2(G)yт. е. в виде

/ (я) = Jх (t) й (t) dt.

G

При этом u(t) будет уже, вообще говоря, обобщенной функцией (см.

Л и т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

5. Слабая сходимость. В соответствии с общим определением слабой сходимости (см. гл. I, § 4, п. 3) последовательность эле­

мированных полиномов Лежандра. Ортогонализация этой си­

п

из которой и следует утверждение о конечности или счетности множества отличных от нуля коэффициентов са. Выражение

2 с аеа представляет собой ряд (или конечную сумму), назы-

а

ваемый рядом Фурье для элемента х; коэффициенты са удовле­ творяют неравенству Бесселя:

2 к . 2<1И Р.

а

Элемент / = 2а с / а есть проекция х на замкнутую линей-

ную оболочку L системы {еа}. Если L совпадает со всем Я, т. е. линейная оболочка системы {еа} плотна в Я, то система {еа}

называется полной (или замкнутой). Необходимым и достаточ­ ным условием полноты является равенство Парсеваля

н * | р = 2 | са\2

а

для любого х ^ Н .

186 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Оператор А* называется сопряженным оператором к А.

Это определение согласуется с приведенным в гл. I, §5, п. 9. Функция 1(х,у) от двух элементов х н у гильбертова про­ странства Н называется полуторалинейной формой, если она ли­

нейна по х и антилинейна по уут. е. если

/ (а{х{+ а2х2, у) = а{1(Xj, у) + а21(х2, у)

и

I (*> $\У\ + Р2У2) = [V (х, У\) + Ы (*. У2)-

Примером полуторалинейной формы является скалярное произведение (х, у) в Н.

Полуторалинейная форма называется ограниченной сверху, если

I / (х, у) К с || х |||| г/1|,

при этом наименьшее возможное значение константы с в этом неравенстве называется нормой полуторалинейной формы.

Если А — линейный ограниченный оператор, то форма

I (х, у) = (Аху у)

полуторалинейна и ограничена. Обратно, всякой ограниченной полуторалинейной форме соответствует единственный линейный ограниченный оператор Л, для которого справедливо предыду­ щее равенство. При этом норма полуторалинейной формы рав­ на норме оператора.

Полуторалинейная форма ограничена снизу, если при лю­

Форма /*(х, у)=1(у,х) называется сопряженной к форме 1(х,у). Если форме 1(х,у) отвечает оператор Л, то форме 1*(х,у) отвечает оператор Л*.

*) Последние утверждения справедливы лишь в комплексном гильберто­ вом пространстве.

Эти условия не являются, однако, достаточными для огра­ ниченности оператора, заданного матрицей. Примерами доста­

Эффективно проверяемые необходимые и достаточные усло­ вия ограниченности оператора, заданного в матричной форме, неизвестны.

В функциональном пространстве Ь 2 ( а , Ь ) наиболее распро­ страненным классом ограниченных линейных операторов яв­ ляются интегральные операторы вида

ъ

А х = J K ( t , s ) x ( s ) d s .

а

Для ограниченности интегрального оператора в гильберто­ вом пространстве Ь 2 ( а , Ь ) достаточно, чтобы существовало чис­ ло М такое, что

Достаточным условием ограниченности является также сум­ мируемость квадрата ядра K ( t > s ) по двум переменным:

(см. П. 7).

Ли т е р а т у р а : [1], [39], [50], [52].

2.Унитарные операторы. Линейный оператор U , отображаю­ щий все гильбертово пространство Н на все Н с сохранением нормы:

IIU x || = 1И1,

называется у н и т а р н ы м .

Примером унитарного оператора в координатном гильбер­ товом пространстве /2 служит оператор, переводящий элемент я в элемент у путем фиксированной перестановки координат эле­ мента х .

Вкомплексном пространстве L2(a,b) унитарным операто­

ром является оператор умножения на функцию е ш, с — дей­ ствительное число.

Впространстве L2(—оо, ос) унитарным является оператор сдвига

A s x = x ( t + 5).

Дёйствительно,

и - ' = и*

лизе, порождает унитарные операторы. Из них особенно важ­ ным является преобразование Фурье — Планшереля, задаю­ щееся для функций f е L 2 ( —оо, оо) формулой

оо

— оо

или более простой формулой (см. гл. II, § 1, п. 4)

gW = .p=- Jоо e ~ i t s f ( s ) d s ,

—оо

вкоторой интеграл нужно понимать как предел в среднем по t (в норме L 2 ( —оо, оо)) интеграла от — N до N при Я -*оо. Опе­

ратор является унитарным в Ь 2 ( —оо, оо). Обратный к нему

оператор задается формулой

оо

S r - ' g { t ) = f { t ) = - ^ j* e i i s g ( s ) d s .

—оо

Обобщением унитарного оператора является и з о м е т р и ч е с к и й оператор. Это линейный оператор, отображающий с сохране­ нием скалярного произведения, а следовательно, и нормы, под­ пространство Я 1 гильбертова пространства Я на подпростран­ ство #2 того же или другого гильбертова пространства. В слу­ чае, когда //1 = #2 = Я, изометрический оператор превращает­

ся в унитарный.

Ч а с т и ч н о и з о м е т р и ч е с к и м оператором называется линейный оператор в гильбертовом пространстве Я, который на подпро­

Л и т е р а т у р а : [1], [39], [48], [50], [52].