книги / Функциональный анализ

пространстве Lp. В связи с этим' налагаются ограничения на рост функции K(t, 5, х) по

Пусть

(О ^ /, s < l , —<х>< х < оо),

где ссо ^ 0, а функция R(t,s) суммируема по совокупности пе­ ременных с некоторой степенью р0 > 1:

Если

«О ^ Ро — 1>

то оператор Урысона действует и вполне непрерывен в каждом пространстве Lp, где р > 1 и

Условие ао ^ Ро— 1 здесь, естественно, не предполагается вы­ полненным.

Если функция K(tyStx) содержит существенно нестепенные нелинейности, то в ряде случаев оператор Урысона вполне не­ прерывен в некотором пространстве Орлича.

Как и в случае пространства С, производную оператора Урысона, действующего в пространстве Lp, естественно искать

в виде интегрального оператора с ядром Kx(ty sy *0(s)). Однако дифференцируемость оператора Урысона как оператора, дейст­ вующего в Lp, не вытекает из непрерывной дифференцируемости по переменной х функции K(tys, х). Например, оператор

действует и вполне непрерывен в любом LPf однако оператор 1

J ех*(s) cos ех°{s) h (s) ds

о

даже не определен на Lp, если функция e*o(s) несуммируетиа.

Для того чтобы интегральный оператор с ядром Kx [t,s, x0(s)] являлся производной Фреше оператора Урысона, действующего в пространстве Lv (р > 1), достаточно, чтобы функция

Ли т е р а т у р а : [29], [31], [32], [33], [34].

4.Оператор /. Пусть функция f(t, х) определена при

—оо < х < оо. Всюду в дальнейшем предполагается, что функ­

ция f(tyх) непрерывна по х и измерима по t при каждом х. Ра­ венство

fx(t) = f[t, x(t)]

определяет оператор f.

Если f(t, х) непрерывна по совокупности переменных, то опе­ ратор f действует в пространстве С, непрерывен и ограничен на каждом шаре.

Если оператор f действует из пространства L Px в простран­ ство Ь Р2, то он непрерывен и ограничен на каждом шаре. Для

-где a(t) е LPt.

Следует иметь в виду, что оператор f не обладает свойством

непрерывна по совокупности переменных, то оператор f, рассмат­ риваемый как оператор в пространстве С, дифференцируем по Фреше. Его производная Фреше имеет вид

f'(x0)h(t) = f'x[t, x0(t)]h(t).

Пусть f действует из LPl в ЬРг. Из существования непрерыв­ ной производной /'(/, х) не вытекает дифференцируемости по

Фреше оператора f. Достаточным условием, при котором опера­ тор умножения на f' |7, х0(<)] является производной Фреше опе­

ратора f, действующего из LPl в LPl, где pi > р2, служит нера­ венство

I K{t, л:)[ ^ а, (0 + I A;

где

от операторов. Здесь этот вопрос выясняется на производной второго порядка.

Оператор В(хХ,х2) (XI,X2^ E ) со значениями в простран­ стве Ei называется билинейным, если он является линейным •ограниченным оператором по каждому переменному. Билиней­ ный оператор В(хi,x2) называется симметрическим, если

В(х„ х2) = В (х2, х{).

Если в симметрическом билинейном операторе В{хь х2) по­ ложить хх— х2 = х, то получится оператор В2(х) = В(х,х), который называют квадратичным.

Оператор А, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство Е\, называется дважды дифференци­ руемым но Фреше в точке х0, если

Фреше оператора А в точке х0.

Иногда рассматривают вторую последовательную производ­ ную Фреше. оператора А — производную Фреше от первой про­ изводной Фреше. Вторая последовательная производная Фреше

тор Урысона, действующий в пространстве С, имеет вторую

производную Фреше

I

A"{xo)h = \ К"г\и s, х0(s)j hHs) ds.

о

Вторая последовательная производная Фреше оператора Уры­ сона определяется формулой

Л" (лг0) (h{, h2) = J1Kx> [t, 5, xQ(5)] h{ (s) h2(s) ds: '

0

Квадратичный оператор B(x0)(h) называется второй произ­ водной Гато оператора А в точке х0, если для любого h ^ E

f r A(x0+ t h ) t=0 = B(x0)(h).

Выражение B(x0)(h) называется вторым дифференциалом Гато

оператора А в точке XQ.

Вторая последовательная производная Гато оператора А определяется как производная Гато от первой производной Гато. Она является билинейным оператором.

Следует иметь в виду, что из существования второй произ­ водной Фреше оператора А не вытекает, вообще говоря, суще­ ствования второй производной Гато. Например, скалярная функ­

ция f(t) = t2c o s имеет в точке t = 0 вторую производную

Фреше, равную нулю, но не имеет в этой точке второй производ­ ной Гато.

Ли т е р а т у р а : [29], [34], [39], [100], [191].

7.Потенциальные операторы. Дифференцируемые функци­ оналы являются частным случаем дифференцируемых операто­ ров. Если Ф(х) — дифференцируемый по Фреше нелинейный функционал, определенный на банаховом пространстве £, то

Ф(х + h) - Ф(х) = I (h) + <*(х; h),

где / — линейный функционал, зависящий от х, а

Если функционал Ф(х) дифференцируем в каждой точке х некоторого множества Т а Е, то равенство

Г(х) = 1

определяет оператор, действующий из Г с £ в сопряженное про­ странство Е*. Этот оператор называют градиентом Фреше функ­ ционала Ф(х):

Ф(х + И) — Ф(х) =Г(х)(Л) + со(х; К).

Функционал Ф(х) называется равномерно дифференцируе­ мым на множестве Г, если стремление к нулю отношения ^Q|j^j|—

происходит равномерно относительно х е Г .

Примером дифференцируемого функционала в гильбертовом пространстве Я является норма

Ф(х) = |М1= |/(х, х).

§2. Существование решений

1.Метод последовательных приближений. Пусть дано урав-

нение

х= Ах,

где А — некоторый нелинейный оператор. Основным способом доказательства существования решений этого уравнения, т. е. доказательства существования неподвижной точки оператора А, остается метод последовательных приближений. Он заключается

доказывается, что эта последовательность сходится к некоторому элементу х*, а затем устанавливается равенство лг* = Ах*.

Пр и м е р ( с у щ е с т в о в а н и е р е ш е н и я у у р а в н е ­ ния В о л ь т е р р а ) . Пусть в нелинейном уравнении Вольтерра

ц(0) = 0, то и уравнение Вольтерра имеет решение x*(t), опре­

будут равномерно на [0, со] сходиться к некоторой функции x*(t), являющейся решением уравнения Вольтерра. Это вытекает из того, что все xn(t) не выходят из области —u(t) ^ * (^ )^ u(t) и удовлетворяют соотношению

где М и L — такие постоянные, что

I Kit, s, 0)|<АГ (0 <*,

(0=0, 5^(0, —u(s)<^xu х2 ^u(s)).

Ли т е р а т у р а : [29], [35].

2.Принцип сжатых отображений. В большинстве случаев применимость метода последовательных приближений сводится

кпроверке условий следующего общего принципа.

Пр и н ц и п с ж а т ы х о т о б р а ж е н и й . Пусть Т — замкну­ тое множество банахова пространства Е. Пусть оператор А пре­ образует Т в себя и является оператором сжатия, т. ё. удовлет­ воряет условию Липшица

||Ахх—■ — х2[ (хи х2^ Т )

с постоянной q <t 1 . Тогда уравнение х = Ах имеет на Т един­ ственное решение лг*, которое является пределом последователь­ ных приближений хп = Ахп- 1 при любом начальном приближе­ нии хо е Т.

В условиях этого принципа роль Т обычно играет либо все пространство £, либо некоторый шар S(0, г). В некоторых слу­ чаях множество Т приходится конструировать специальным об­ разом.

Пример . Пусть в интегральном уравнении

по переменной x условию Липшица с константой q < 1.

Это интегральное уравнение можно рассматривать как опе­ раторное уравнение в пространстве С непрерывных на [О, 1] функций. Оператор, определенный правой частью уравнения, удовлетворяет условию Липшица с константой <7 < 1. Поэтому в силу принципа сжатых отображений интегральное уравнение имеет непрерывное решение, которое является пределом после­ довательных приближений

Иногда удобно пользоваться следствием из принципа сжатых отображений: пусть оператор В также преобразует замкнутое множество Т пространства Е в себя и коммутирует с операто­ ром А, удовлетворяющим условиям принципа сжатых отображе­ ний, т. е.

В частности, если некоторая итерация Вп оператора В удов­ летворяет на множестве Т условиям принципа сжатых отобра­ жений, то неподвижная точка х* оператора Вп является непод­ вижной точкой и оператора В. В этом случае х* является един­ ственной неподвижной точкой оператора В.

Принципом сжатых отображений не исчерпываются все случаи, когда решение нелинейного уравнения может быть по­ лучено как предел последовательных приближений. Пусть опе­ ратор А действует в метрическом3 пространстве R с метрикой р(х, у). Оператор А называется обобщенным сжатием, если

р {Ах, Ay) < q (а, 0) р {х, у) при а < р {х, у) < 0,

единственное решение х*, которое является пределом последова­ тельных приближений хп = Ахп- 1 при любом начальном при­ ближении хо е R.

Общность принципа обобщенного сжатия характеризуется тем, что он допускает естественное обращение в случае, когда пространство R имеет конечный диаметр: пусть непрерывный оператор А преобразует в себя полное метрическое пространство

вR можно ввести такую эквивалентную метрику, при переходе

ккоторой оператор А становится обобщенным сжатием. Обобщением принципа сжатых изображений является также

следующее утверждение: если в равномерно выпуклом банахо­ вом пространстве Е оператор А оставляет инвариантным выпук­ лое ограниченное замкнутое множество Т и А = Ло + D, где \\AQX— А0у\\ ^ ||х — у || и D — усиленно непрерывный оператор, то уравнение х = Ах имеет в Т по крайней мере одно решение.

Ли т е р а т у р а : [29], [31], [35], [39], [58], [198].

3.Единственность решения. В условиях принципа сжатых отображений решение уравнения х — Ах в Т единственно. Од­ нако из единственности решения в Г не следует единственности