книги / Функциональный анализ
..pdf§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
281 |
Всякое обобщенное решение абстрактного параболического уравнения является бесконечно дифференцируемым, операторы AhU(t) ограничены при каждом £ > 0 и £ = 1, 2, ...
Для приложений важным является утверждение: если опера тор А имеет резольвенту при Re X > со и
то уравнение х' = Ах является абстрактным параболическим. Все обобщенные решения уравнения аналитичны в некотором секторе, содержащем положительную полуось, и справедливо не равенство
Н *'(О II < - ^ 1 1 * 0 II |
(0 < / < оо). |
Обратно, если задача Коши равномерно корректна и для соответствующей полугруппы U(t) выполнено неравенство
то для резольвенты справедлива оценка приведенного выше типа, и полугруппа допускает аналитическое продолжение в сектор, содержащий полуось t > 0.
Ли т е р а т у р а : [27], [36].
5.Обратная задача Коши. Обратной задачей Коши называ ется задача о нахождении решения уравнения х' = Ах на про
межутке [0, Т] по заданному конечному значению х(Т) = хт^
^ D ( A ) . |
уравнения |
Заменой аргумента обратная задача Коши для |
|
хг = Ах сводится к задаче Коши для уравнения хг = |
—Ах. |
Если задача Коши для уравнения корректна, то |
обратная |
задача Коши, вообще говоря, не корректна: для некоторых хт решение не будет существовать вообще, для других оно будет обрываться, не доходя до нуля; решения не будут непрерывно зависеть от начальных данных.
Если для уравнения прямая и обратная задачи Коши равно мерно корректны, то операторы U(t) определены и ограничены для всех t (—оо < t < оо) и образуют группу, причем U(—t) =
= u~4t).
Для того чтобы прямая и обратная задачи Коши с замкну тым оператором А были равномерно корректными, необходимо и достаточно, чтобы существовали постоянные М и со > 0 такиеу что
{п— 1, 2, 3, ... )
II Я я |
( I я, | - «)' |
282 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
при |
всех действительных X с | Л,| > со. Спектр оператора А при |
этом лежит внутри полосы | Л, | <Г со.
Можно отвлечься от вопроса о существовании решения об ратной задачи Коши и рассмотреть только вопрос о единствен ности решения и его непрерывной зависимости от конечных
значений. Обратная задача Коши называется |
корректной |
на |
||||||
[О, Т] в классе ограниченных решений, если для |
всяких |
положи |
||||||
тельных М, е и to^(O t T) |
найдется |
такое |
б = |
б(е, М, /0), |
что |
|||
для любого ослабленного решения на [О, Т], |
удовлетворяющего |
|||||||
условиям |
|\x(t) || ^ |
М (0 |
t ^ Т) и ||х(Г) || ^ |
е, выполнено не |
||||
равенство |
\\x(t0) II ^ |
б. |
решения |
уравнения |
хг = Ах |
анали- |
||
Если все обобщенные |
||||||||
тичны в некотором секторе, то обратная задача Коши корректна
в классе ограниченных решений |
на любом |
отрезке |
[О, Т]. Этот |
|
факт вытекает из неравенства |
|
|
|
|
||х (Ш < М |и (0 )||1- ш(<°)||х(7’) f |
<w, |
|
||
где непрерывная функция со(^), |
0 ^ со(^) |
^ |
1, не |
зависит от |
выбора обобщенного решения. |
|
|
|
|
Ли т е р а т у р а : [36].
6.Уравнения в гильбертовом пространстве. Простейшим примером абстрактного параболического уравнения является дифференциальное уравнение х' = —Вх в гильбертовом про странстве Н с неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором В.
Задача Коши для этого уравнения равномерно корректна и
соответствующая ей полугруппа U(t) может быть записана в виде
U(t) = e -Bt,
где функция e~Bt определяется с помощью спектрального разло жения оператора А (см. гл. IV, § 3, п. 4):
|
|
сю |
|
|
e-Bt = |
| e-kt dEv |
|
|
|
Р |
|
Полугруппа U(t) |
будет сжимающей, ||t/(f)|| ^ |
1. |
|
Все обобщенные |
решения |
x(t) = e~Btx0 (х0е |
Я ) я в л я ю т с я |
решениями ослабленной задачи Коши и допускают аналитиче ское продолжение в правую полуплоскость Re г > 0.
Можно изучить более детально поведение ослабленных ре шений при t —►0. Произвольная (не целая) степень оператора В
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
283 |
определяется с помощью спектрального разложения
Ва= J XadE%.
О
Если х(0) G D(Ba), а > 0, то для решения ослабленной задачи Коши справедливо неравенство
№т < - р а \ В ах(0)1
Вслучае а = V2 решения допускают более точную харак теристику: для того чтобы производная х'(t) решения x(t) имела на [О, Т] интегрируемую с квадратом норму
т |
00, - |
\w x rm d t < |
|
о |
|
необходимо и достаточно, чтобы х(0) |
e D (B l/2), |
Следует еще отметить полезное неравенство |
|
1-J. |
JL |
II* (О И<11* (0)11 т\\х(Т)\\т,
справедливое для любого обобщенного решения.
В гильбертовом пространстве могут быть полностью описаны производящие операторы ряда важных классов полугрупп. При этом описание делается в терминах, связанных с самим опера
тором, а не с его резольвентой. |
сильно непрерыв |
||||
1) |
Для того чтобы оператор А порождал |
||||
ную сжимающую полугруппу операторов, необходимо и доста |
|||||
точно, чтобы он был максимальным диссипативным оператором |
|||||
(см. гл. IV, § 6, п. 1). |
|
|
для |
||
Иначе этот критерийеще можно сформулировать так: |
|||||
того чтобы замкнутый оператор с всюду плотной областью оп |
|||||
ределения был производящим оператором сильно |
непрерывной |
||||
сжимающей полугруппы операторов, необходимо |
и |
достаточно |
|||
выполнение условий |
|
|
|
||
Re (Ах, х ) < 0 |
(xz=D (А)) и Re (А*х, * )< О (х е |
D (А*)). |
|
||
2) Если операторы А и А* имеют одинаковую всюду плот |
|||||
ную область определения и оператор Re А = А + Л* |
ограничен, |
||||
то оператор А является производящим оператором полугруппы |
|||||
U(t) |
класса (С0), |
для которой справедлива оценка ||£/(f)|| ^ |
еш, |
||
где со — верхняя грань оператора Re А. |
|
|
|
||
3) |
Для того чтобы оператор А являлся производящим опера |
||||
тором сильно непрерывной полугруппы изометрических преобра
284 ГЛ V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
зований (|| U(t) || = 1), необходимо и достаточно, чтобы он был максимальным диссипативным консервативным оператором с плотной областью определения. В этом случае А = iB, где
В— максимальный симметрический оператор.
4)Для того чтобы оператор А был производящим операто ром сильно непрерывной группы унитарных операторов, необхо димо и достаточно, чтобы А = iB, где В — самосопряженный
оператор. Группа операторов U(t) может быть представлена с помощью спектрального разложения оператора В в виде
оо
U (t) — eiBt = j e a t dEx.
Прямая и обратная задачи Коши равномерно корректны на всей оси. Обобщенные решения U(t)x0 являются дифференци руемыми лишь тогда, когда D (Л).
5) Если для максимального диссипативного оператора вы полнено условие
11ш (Ах, х) К р | Re (Ах, х) |,
то он является производящим оператором полугруппы, допу
скающей аналитическое продолжение в сектор |
| argz| < я/2— |
— arctg р. |
|
Для резольвенты оператора справедлива оценка |
|
в секторе | arg X| ^ я — arctg р — е при любом е > 0. |
|
Уравнение х' — Ах является абстрактным |
параболическим |
уравнением, свойства его решений аналогичны свойствам реше ний уравнения хг = —Вх с самосопряженным положительно определенным оператором В.
В последнее время многие из перечисленных критериев пере несены на некоторые классы банаховых пространств.
Ли т е р а т у р а : [27], [36], [174].
7.Неоднородное уравнение с постоянным оператором. Рас сматривается неоднородное уравнение
4 г = л* + м .
где f(t) — заданная непрерывная функция со значениями в Е. Так же как и для однородного уравнения, вводятся понятия ре шения, ослабленного решения, задачи Коши и ослабленной за дачи Коши.
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ |
285 |
Если U ( t ) — полугруппа операторов, отвечающая однород ному уравнению х' = Ах, то формальное применение метода вариации произвольной постоянной приводит к формуле
г
x(0 = t/(0 * (0 )+ [ U (t — s) f (s) ds. 6
Первое слагаемое справа есть решение однородного уравне ния. Второе слагаемое для сокращения в этом пункте называет ся разрешающим выражением.
Если ослабленная задача Коши для однородного уравнения х' = Ах корректна на D(A) и оператор А замкнут и имеет ре гулярные точки, то всякое ослабленное решение неоднородного уравнения представимо в указанном выше виде. Обратное утверждение для любой непрерывной f(t), вообще говоря, не справедливо. В предыдущих предположениях удается доказать, что разрешающее выражение дает частное решение неоднород ного уравнения, если выполнено одно из следующих условий:
1) |
Функция f(t) |
дважды непрерывно дифференцируема и вы |
|
полнено условие согласования /(0) <= D (Л); |
|||
2) |
функция f(t) |
имеет |
непрерывную первую производную |
f'(t), |
причем f'(t) ^ D ( A ) |
и функция Af'(t) непрерывна при |
|
t ^ 0; |
функция f(t) |
такова, что f(t) <=D(A2) и функция A2f(t) |
|
3) |
|||
непрерывна при t > |
0. |
|
|
Если выполнено условие 1) без условия согласования, то можно утверждать, что разрешающее выражение дает ослаблен ное решение неоднородного уравнения.
Если задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна, то требования на f(t) смягчаются: разрешающее вы ражение дает решение неоднородного уравнения, если или функ ция f(t) — непрерывно дифференцируемая, или функция f(t) та кова, что f(t) е Ь ( Л ) и функция Af(t) непрерывна.
Если оператор А является производящим оператором анали тической полугруппы с Co-условием, то разрешающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения, если функ ция f(t) удовлетворяет условию Гельдера
l l / ( 0 - / ( s ) l l < C U - s | v
при некотором у > 0.
Если, кроме того, полугруппа, порожденная оператором Л, имеет отрицательный тип, то можно ввести дробные степени оператора Л, и разрешающее выражение будет давать решение неоднородного уравнения, если f(t) е D(Aa) и Aaf(t) ограничена на [0, Т] при некотором а > 0.
§ 3. КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ |
287 |
где v = (vi, |
vm)—вектор-функция от t и х, х = (хи |
хп)— |
||||
точка «-мерного пространства Rn, |
|
|
|
|
||
|
A {D) — 2 |
AaDa, |
|
|
||
|
|
\ а \ < г |
|
|
|
|
а — (аи . . ап) — мультииндекс, | а | = |
<xt + а2 4- ... + |
а„, Da= |
||||
= £»“> |
Dk = i - |
( й=1, |
2, |
. . . , n) , |
Aa — заданные |
|
матрицы с |
Xk |
коэффициентами |
порядка |
т у п . |
||
постоянными |
||||||
Число г называется порядком системы. Задача Коши для рас
сматриваемого уравнения состоит в нахождении его |
решения |
|
v = v(tt x), |
удовлетворяющего условию v (0, х) = ф(х), |
где век |
тор-функция |
ф(х) задана во всем пространстве Rn. Здесь будет |
|
предполагаться, что ср е/,2(/?п), и решения ищутся такими, что
v е L^iRn) при каждом t ^ |
0. |
Если через v (t, р) (р = |
(ри ...» Рп)) обозначить результат |
обратного преобразования Фурье, примененного к функции v(t,x) по переменной х (см. гл. II, § 1, п. 4), то для v получит ся уравнение
ИГ ~ A (p)v
и начальное условие
5(0, р) = ф(р),
где ф— обратное преобразование Фурье от ф.
Рассмотрения исходной задачи Коши в пространстве Lz(Rn) и полученной задачи Коши для системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений с параметром р в пространстве LziRn) функций от р равносильны, в силу равенства Парсеваля (см. там же).
Решение задачи Коши для системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений при каждом р задается формулой
v{t, p)=^etA (Р,Ф(р).
Таким образом возникает задача об исследовании семейства
операторов U(t) умножения на |
матрицу etA |
вектор-функции |
от р в пространстве Lz(Rn). |
U(t) умножения на etAW был |
|
Для того чтобы оператор |
||
ограниченным в Тг(^л), необходимо, чтобы для собственных чисел pi(р), .... Цт (р) матрицы А (р) выполнялись неравен ства
Rep; (p )< c ( / =1, ..., т).
Для исходной системы это условие называется условием корректности по Петровскому.
288 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Корректность по Петровскому не является достаточной для
ограниченности оператора |
U(i). |
Простейший |
пример этого дает |
||||||||
система, |
полученная из |
|
- |
0 |
струны |
д2и |
= |
|
|||
уравнения колебании |
|
|
|||||||||
= |
Для |
нее соответствующие матрицы А(р) и etAW имеют |
|||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
cos pt |
|
-~п — \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л О ) = |
(р2 _ о |
) ^ |
2±= ip} |
и е‘А т = |
— |
р sin pt |
' |
|
■ |
||
|
|
|
|
|
|
cos pt 1 |
|
||||
Достаточным |
условием для |
ограниченности |
V (/) |
является |
|||||||
параболичность по Шилову: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R eiiiipX : — с\ p\h + b |
( /= 1, |
|
пг)% |
|
|
|
|
|||
где ft > |
0, с > 0 и 6 — константы. |
|
|
|
|
|
|
||||
Если система параболична по Шилову, то семейство U(t) |
|||||||||||
операторов умножения на etA {Р) |
является |
бесконечно |
диффе |
||||||||
ренцируемой |
при |
^ > 0 |
полугруппой ограниченных |
в |
L2(Rn) |
||||||
операторов.
Условие параболичности по Шилову обеспечивает «хоро шие» свойства полугруппы U(t) при / > 0, однако оно не га рантирует «хорошего» поведения полугруппы U(t) при ^-*0. Например, для системы с матрицей
норма полугруппы |
etAW оценивается величиной c(t)/№, |
где |
Р = max [k/2 — 1,0], |
и таким образом при й > 2 полугруппа |
не |
является ограниченной, хотя условие параболичности по Ши лову выполнено при любом k.
Если показатель параболичности h совпадает с порядком
г системы, то задача Коши равномерно корректна в простран стве L2(Rn).
Имеются необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи Коши в L2(/?n), которые в виду их гро моздкости здесь не приводятся.
Тот факт, что такие простые системы, как система, отвечаю щая уравнению колебаний струны, приводят к неограниченным в L2(Rn) операторам etA^ \ наводит на мысль о том, что норма L2(Rn) не является естественной для таких систем. И, дейст вительно, для уравнения колебаний струны естественной явля ется норма, квадрат которой совпадает с интегралом энергии.
*) Можно показать, что это выполнено, если Rep* (/?)->•—оо при
I р К°°.
§ 3. |
КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ |
289 |
В образах Фурье эта норма имеет вид |
|
|
оо |
J1/2 |
W |
J |
b 2b , i 2+ |52| |
|
-оо |
J |
|
и не эквивалентна норме в £2(^ 71) • Им^еет место следующий важный факт: для каждой кор
ректной по Петровскому системы существует гильбертова нор ма, вычисляемая по вектор-функции v и некоторым ее произ водным, в которой задача Коши является равномерно кор ректной.
Для того чтобы существовала некоторая норма (описанной структуры), в которой полугруппа £/(£) = аналитична в секторе, содержащем положительную полуось, и удовлетво ряет в нем неравенству
1Н Ч Ш < М <?®151 (|arg£|<<Po)>
необходимо и достаточно, чтобы для собственных чисел m b ) матрицы А (р) выполнялось неравенство
Reр ;(/>)< — I Im Pi(р) | tg фо + b |
(г = 1, .... т) |
(6 — константа).
Л и т е р а т у р а : [14], [36], [177], [181].
2. Краевые задачи для параболических систем. В ограничен ной области & /г-мернФю пространства с достаточно гладкой границей Г рассматривается уравнение
~ = |
D)v, |
где v — т-мерная вектор-функция от t и х> и |
|
А(х, D )= |
2 Aa{x)D\ |
|
I СЬI < г |
Аа(х) — квадратные матрицы |
порядка т X ту элементы кото |
рых являются достаточно гладкими функциями от х в замкну
той области 9. |
дифференциальное вы |
Главной частью A(x,D) называется |
|
ражение |
|
А'(х, Д )= 2 Aa(x)Da. |
|
I« I = г |
|
Рассматривается соответствующая |
полиномиальная матри |
ца А'(х,р). |
Пусть г = 2s — четное число. Если матрица А'(х,р) |
||
при каждом |
и |
порождает |
в конечномерном про |
странстве диссипативный оператор, так что |
|||
|
Re (А' (х, р) й, |
й)т < 0 |
(й ф 0), |
290 |
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
то оператор А(х, D) называется сильно эллиптическим, а ис ходная система — сильно параболической.
Оператор Л0, порожденный дифференциальным выражением A(x,D) на гладких функциях, удовлетворяющих условиям пер вой краевой задачи
ds хи
= 0,
dns~ l г
допускает замыкание А в L2{&), для которого оператор А — со/ при некотором со является максимальным диссипативным опе ратором. Отсюда вытекает, что задача о нахождении решения
системы, удовлетворяющего условиям |
первой |
краевой задачи |
и начальному условию v (0, х) = ф(х) е |
/)(А), |
равномерно кор |
ректна в пространстве Ь2{&). Для соответствующей полугруппы справедлива оценка \\U{t) || О®*.
Аналогичное обстоятельство имеет место и в пространстве Lp(&) (р > 1); при этом полугруппа U(t) является аналити ческой.
Ли т е р а т у р а : [36], [116], [140], [184], [188].
3.Симметрические гиперболические системы. Пусть в систе ме, рассматривавшейся в предыдущем пункте, A(x,D) является дифференциальным выражением первого порядка:
п
А(х, D) = Y i Ai {x)-j^ + B{x)v.
i= 1 *
Матрицы Ai(x) и В(х) предполагаются теперь вещественными и симметрическими.
Для дифференциального оператора первого порядка одно родные краевые условия естественно задавать в виде урав нений
|
|
{и, |
Wj) |г = |
0 |
( / = 1 , 2 , . . . , |
/), |
|
|
||||
где Wj(x)— непрерывные |
векторные |
поля, |
заданные на |
гра |
||||||||
нице |
Г области |
Иначе |
говоря, |
вектор и(х) |
при |
х ^ Г |
дол |
|||||
жен |
принадлежать |
некоторому |
подпространству |
N(x) |
всего |
|||||||
m-мерного |
пространства; |
N (х) |
ортогонально |
векторам Wj(x). |
||||||||
Вводятся предположения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 ) |
условие диссипативности |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
в + в |
|
dAj |
< 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i—1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ранг |
матрицы |
А ^ ( х ) = |
^i А |
{ (x)nt(x) |
не |
изменяется, |
|||||
когда |
х пробегает границу Г; |
|
|
|
|
|
|
|
||||