книги / Функциональный анализ

§ 9. ГИЛЬБЕРТОВА ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ

261

(определение

/ а см. в § 3, п. 3).

Пространство Яа является

гильбертовым по отношению к скалярному произведению

(*, y ) a = ( j ax ,

J ay ) .

При а <

0 по этой же формуле

вводится скалярное произ­

Полученное

семейство гильбертовых пространств {Яа}

(—оо < а < оо)

называется гильбертовой шкалой пространств.

Гильбертова шкала пространств обладает свойствами:

1) Если а <

р, то Н $ а Н а, пространство Я е всюду плотно

в пространстве На и

I U L < I U I I p .

2) Если а <

р < у, то при

Ну справедливо неравенство

Y-P

0-а

j (*> у)о I < IIДС||аII у Н_а

(х<=На,

у е= Я_а).

(Под функционалом

(х,у) о понимается

скалярное произведе­

ние в Я0, если х,у<= Н0, и его

расширение по непрерывности,

если х е Яа и у е Я_а.)

Пусть Я0 и Я, —два гильбертовых пространства со скаляр­

ными произведениями

(х,г/)0 и

(я, г/)[ и

нормами IM|0 и 1|JC||I

соответственно. Предполагается,

что Н\ а

Я0, Я! всюду плотно

в Н0 и

II* It,<11* lli

(*еЯ,).

II * Hi = 11/* Ко­

оператор

/

называется порождающим для пары (Я0,Я i).

По оператору /

можно построить гильбертову шкалу прост­

ранств, включающую пространства Я0 и Я,.

Оператор

/,

первоначально определенный на пространстве

252

ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть

J — оператор, ставящий в соответствие

функции

и(х)

функцию

v (л;), преобразование

Фурье которой

имеет

вид

/И !) = д(|) =

-1/1 + Ш 2 й(|).

Гильбертова шкала, построенная по оператору /,

может

быть описана так: пространства На при а ^ 0 состоят

из

всех

функций, для которых

При а < 0

пространства На получаются

пополнением

L2(Rn)

по написанной выше норме.

обозначается

через

Полученная

шкала

пространств

{Г2а (Я*)'}

(СМ . гл.

II, §

1, п. 5), она является важной для мно­

Нормы в пространствах

будут при

эквива­

лентны нормам в пространствах

W^iG): при а = т ,

где /п —

целое:

§ 9. ГИЛЬБЕРТОВА ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ

253

HullП

sup

J и (х) v (х) dx

(а > 0).

IN а=1

G

сами

а, пространства

W?

обладают свойствами пространств

гильбертовой шкалы. В частности:

1.

При а <

р пространство

Wl{G)

содержится и всюду

плотно в пространстве W®(G) и

11«11г а < С

| | « | Ц

(и е

W l).

2.

При а <

Р < у имеет место неравенство

II и II « <

СII и ||У

т ~а) || и Ig7a)/(v- a)

(и s w l (G)).

w 2

w 2

w2

из

пространства

# а„ в пространство Fa

и

из пространства Нр0

в

пространство

F$r

Тогда

оператор

А

является ограничен­

ным оператором,

действующим из любого

пространства # ао(й()

в

пространство

Fa^h

где

а0(р) = (1 "_ И')ао + ^Ро и «i(^) =

=

(1 — ц) aj + nPj.

однозначное отображение любого пространства

шкалы W% (G)

с а ^ О

в пространство

а---1

Wг 2 (Г).

Из сформулированной интерполяционной теоремы можно

получить важное

н е р а в е н с т в о

Гайнца: пусть

А и

В —

положительные

самосопряженные

операторы,

действующие

в гильбертовых

пространствах

Н

и

Н\

соответственно.

Если

Т — ограниченный оператор с

нормой

М,

действующий

из Н

в Н1, такой, что TD(A)a D(B) и

(*е=£(Л)),

WBTxW^MJAxW

то TD(Aa)cz D(Ba) и

IВаТх I, ^ М 1-аМ“|| Лал:||

( 0 < а < 1 ) .

В случае, когда Н =

Н\ и Т = /,

получается следствие: если

А и В — положительные

самосопряженные операторы в

гиль­

бертовом пространстве Н такие, что

D(B)I D D(A)

и \\Вх \^

< \\Ах\\

(*е=£>(Л)), то \\В«х\\ <

||Л«*||, 0 < а <

1.

ственной оси, например, в точке / =

0.

Иначе этот вопрос можно еще поставить так: если последо­

вательность функций xn(t)d ^l

является фундаментальной

§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

255

ции x(^)e$ft элементы xh(0)

(k =

0, 1, .. . ,

/ — 1),

являются

непрерывными

операторами

из

пространства

SR в пространства

Я^, где

=

2k -I- 1

Таким

образом,

можно

говорить

1 ------2/— •

Обратно,

если

дан набор элементов х0, хь .

x_z-1 таких,

что xk е На^

то

можно построить функцию

для ко­

торой xk(0) =

xk (А = 0, 1 1 ) .

Предложения указанного типа получили название теорем о

следах (см. гл. II,

§ 1, п. 5).

=

1. / пространства. Пусть Hi— гильбертово пространство, Н =

Я+-}-Я_— некоторое

его разложение в ортогональную сум­

му

подпространств Я±,

а Р± — соответствующие проекционные

тором в

Я, причем J2= /.

В Н

вводится полуторалинейная

форма

[х, у] =

(Jx, у)

(х, у е= Я).

Эрмитова

форма

[х, у] в

случае,

когда Р± ф 0, индефинитна.

Пространство Я

с формой

[х, у]

называется J-пространством

или пространством с индефинитной метрикой.

но нулю

число [х, х], вектор х

Я

называется соответственно

положительным, отрицательным или

нейтральным. Линеал, т. е.

линейное

многообразие

3

о Я,

называется

неотрицательным

(положительным), если

[х,

х] ^

0

([х, х] > 0)

для всех х е З ’

256

ГЛ.

IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

тогда,

когда

Р+3 = Н+ (Р_2? = Н-). Ясно,

что в этом случае

3 замкнут,

т. е. является подпространством

в Н (замыкание и

к гильбертовой норме в Н). При этом d im 3 =

dim Н+ (d\m3 —

= dim //_)— з а к о н

инерции.

Для

произвольных

же неот­

рицательных

(неположительных)

подпространств

имеем

dim 3 ^

dim Н+ (dim//-).

всех

максимальных

неотрицатель­

Совокупность £Ш+ = {3}

ных подпространств 3

/-пространства

Н находится во взаимно

однозначном

соответствии с множеством $ = {К}

всех

нерастя­

гивающих линейных операторов

К (||/С|| ^ 1 ) ,

отображающих

Н+ в //_. Это соответствие выражается

формулой

3 = {х+ +

+ Кх+}Х

• К 'называется угловым оператором

подпростран­

ства 3

относительно

Н+.

Аналогично

определяются

совокуп­

ность 9W- = {3'}

и угловой оператор К' максимально неполо­

жительного подпространства 3 '

относительно Н~.

Векторы х,у е

Н называются J-ортогональными, если' [.х, у] —

— 0. Естественно

определяются

/-ортогональность вектора х

и линеала 3

и двух линеалов 3

и М; соответствующие обозна­

чения: х[±.]у,

х [ ± ] 3 , 3[±.]М.

Пара подпространств {3,М},

полнением линеала

3 .

Линеал 3 0 = 3

[}3[А']

называется

изо­

тропным линеалом

линеала

3 ,

а

векторы х ^ З 0 — изотроп­

ными векторами линеала

3 .

Если Зо = {0}, то линеал

3

на­

зывается невырожденным.

27i определяется

угловым

опера­

Если

подпространство

3 е

тором /(,

то

3 [L] е

9№_

и 3

[±]

определяется

угловым

опера­

тором К* (и обратно). Здесь 3

и 3 1±] составляют максималь­

ную дуальную пару.

3

называется

проекционно полным,

если

Подпространство

Н = 3 ® 3 1±]. В этом

случае

3

необходимо невырожденно.

Если невырожденность любого подпространства 3

достаточна

для его проекционной полноты,

то х =

min {dim//+,

dim//_}<;

< оо. /-пространство Н,

у которого ранг индефинитности к ко­

нечен ( х<оо) , называется пространством Понтрягина

и

обо­

значается Пк

(в дальнейшем для определенности считается, что

х = dim #+).

подпространств

3

проекционная

полнота

Для дефинитных

эквивалентна

равномерной дефинитности, т. е. свойству

|[.х, х] | ^

^ ag (х, х)

(а# > 0, х е

3 ) .

Последнее условие для

3

е

9Й+

равносильно

требованию

\\К\\ <

1,

где

К — угловой

оператор

ограниченность снизу, т. е. существует

константа

та­

кая, что

[Vx, Vx]>\i{V)[x,

х]

(*€=//).

При

(jt(1/) > 0 плюс-оператор

V называется

строгим. В этом

случае

он

«коллинеарен»

/-несжимающему

оператору

V\ =

= II1/* V.

V — плюс-оператор

и D(V) П # + ф 0, то для ограничен­

Если

ности V достаточно, чтобы был ограничен оператор P+F. Если

же D(V) = H = Uк, то для

ограниченности плюс-оператора V

достаточно,

чтобы он не аннулировал

ни одного положитель­

ратор V ограничен тогда и только тогда, когда

он допускает

замыкание, т. е. у

него существует

замкнутое

расширение F.

/-несжимающий

оператор V с D ( V ) = H называется

двояко

J-несжимающим (другие названия: двусторонний J-несжима-

ющий, J-бинесжимающий), если V

ограничен

и V*

являет­

ся /-несжимающим (это равносильно

тому, что

V0— /-несжи­

мающий).

оператор

V был

двояко

Для того чтобы J-несжимающий

J-несжимающим,

необходимо и достаточно,

чтобы

(А_—

— P+V)H = Н. Если /-несжимающий

оператор V ограничен, то

и подпространство N(V°) нулей оператора

V0 было равномерно

отрицательным.

U симметричен относительно

Спектр /-унитарного оператора

окружности \Х\ = 1. /-унитарный оператор

U называется устой­

чивым, если ||t/n||^ C (п = 1, 2,

...). Для

устойчивости U не­

Н — 3?\®2?2

подпространств

3?и 2?2,

составляющих

инва­

риантную относительно U

максимальную

дуальную

пару

(см. п. 1).

называется

сильно устойчивым,

/-унитарный оператор U

если можно указать такую его

окрестность

\\Ui — U|| <

е, что

все /-унитарные

операторы U\

из этой окрестности устойчивы.

§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

259

o(U/2l)[)o(U/22) = 0 9

где o(U/2i) — спектр сужения U на 2 i (i =

1, 2). В этом слу­

чае говорят,

что оператор /

имеет строго дефинитный

спектр.

Одной из

центральных

проблем теории

является

вопрос

О с н о в н а я

т е о р е м а .

Пусть

V — ограниченный плюс-

оператор, заданный всюду в Н. Если оператор P+VPвполне

непрерывен, то

существует

подпространство

2 0 е Ш+,

инва­

риантное относительно V. Если, кроме

того, Vx Ф О для

х Ф О

с [ х ,х ] ^ 0 и для некоторого 2 \ е Ш+

имеем

V 2\ G ®!+,

т о и

для любого 2 е

ЗГО+ будет V 2 е ЗИ+

и, стало быть, V3?o =

2 0.

невые

линеалы 2%(V)

и 2 ]X(V)

/-ортогональны,

а, значит, при

\Х\ Ф

1 корневой линеал 2^(V)

нейтрален.

У е Г произ­

Если неунитарный

спектр аНеун(Я) оператора

вариантные

относительно U подпространства 2 ± е

можно

выбрать таким образом, чтобы

^неун (Я/«2?+) = 0{,

Оцеун (Я/2

—)=== О^ц.

Оператор

A (D (А) = Я)

называется

J-самосопряженным,

если А0=

А, что равносильно обычной самосопряженности опе­

ратора JA.

Спектр /-самосопряженного оператора А

симметри­

260

ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

U =

(А —£/) (А — £/)-1 есть /-унитарный оператор. При этом

только H+czD(A)

и вполне непрерывен оператор

Р+ЛР_ (по­

следнее условие допускает некоторое ослабление).

Понтряги-

В

частном

случае,

когда Н = Пя (пространство

на),

условие

U е

Г (и

соответствующее

условие для

/-самосо­

пряженных операторов)

в силу конечномерности

подпростран­

ства

//+ автоматически

выполняется

для

всех

/-унитарных

(/-самосопряженных) операторов. Поэтому

у всех

этих опера­

оболочка

Л всех корневых линеалов

«2\(А) с 1 т Я > 0 ней­

тральна,

а значит, dimAs^K в случае

Н — П*. Подпростран­

ство Л

кососвязано с А' — линейной

оболочкой всех 3?\{А)

ное дополнение к Л ®Л' веществен.

Для любого вещественного собственного числа А оператора

А = А0 в Пх

корневой линеал 9?\{А)

может быть

разложен

в

прямую

сумму 3?к(А) = &{

инвариантных

подпро­

странств,

где

состоит только

из

собственных

векторов,

а

2?\ конечномерно.

Таким образом, непростые элементарные делители (иначе говоря, жор-

дановы цепочки из присоединенных векторов)

возможны у оператора А

только в

конечномерном подпространстве

3?'^. Хотя разложение £^(Л ) =

=

2?'^ ®

3?" не

определяется однозначно, порядки {</,•} элементарных дели­

телей (т. е. длины жордановых цепочек) А в 3

не зависят от выбора этого

разложения и