книги / Теория механизмов и механика систем машин

Эти векторы могут быть найдены по формуле Родриго: is (1) is cos 1 k is sin 1 1 cos 1 k is k ,

где i ,k – единичные векторы (орты) декартовой системы координат; s –

число осей единичного вектора, s = 2; 3.

Ввиду того что векторы коллинеарны между собой и ортогональны вектору k , член, содержащий три вектора в последней формуле, равен нулю; с учетом этого получим

Второй поворот совершим в шарнире В на угол 2 вокруг вектора is (2). Изменят своё положение векторы is (1) :

js(2) js cos 2 i2 js sin 2 ,

где j – единичный вектор декартовой системы координат; s = 2; 3. Подставляя в эту формулу выражение для j , получим:

js(2) js cos 2 is cos 1 k is sin 1 j ,sin 2

js cos 2 is js cos 1 sin 2 is sin 1 sin 2 ,

где s = 2; 3.

Положение пары С при этом движении не изменится.

Третий поворот осуществим в шарнире С на угол 3 вокруг вектора js(2). Следует иметь в виду, что два поворота на углы φ2 и φ3 вокруг параллельных осей эквивалентны одному повороту на угол 2 3 , поэтому

j3(3) j3 cos 2 3 i3 j3 sin 2 3 i3 sin 1 sin 2 3 .

После определения векторов, задающих положения векторов и звеньев, легко находятся радиусы-векторы точек механизма:

B l1k ;

C l1k l2 j2 ;

M l1k l2 j2 l3 j3.

Найденные векторы полностью определяют абсолютное положение манипулятора в пространстве.

251

Прямая задача о скоростях состоит в определении абсолютных линейных скоростей точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей звеньев при заданных законах изменения обобщенных координат qi(t) (i = l, 2, ..., n), где n – число степеней свободы манипулятора.

Так как радиус-вектор произвольной точки звена манипулятора представляет собой вектор-функцию обобщенных координат qk , то можно запи-

сать выражение для линейной скорости точки звена:

Vi dri n ri qk . dt k 1 qk

Для решения задачи используем метод приведения скоростей. Считаем, что в каждой кинематической паре манипулятора совершается одно движение: вращательное или поступательное. Считаем также, что относительные движения в каждой кинематической паре заданы, а требуется изучить движение звеньев манипулятора в неподвижной системе координат. Очевидно, что при одновременном движении во всех кинематических парах происходит сложение нескольких движений твердого тела. В качестве примера рассмотрим сложение двух движений.

Пусть два звена входят в одну кинематическую пару. С каждым из звеньев свяжем системы координат ( 1x1 y1z1 и 2 x2 y2 z2 ). Пусть первое зве-

но и связанная с ним система координат 1x1 y1z1 совершает переносное движение по отношению к системе xyz, а система 2 x2 y2 z2 совершает относительное движение по отношению к системе 1x1 y1z1 . Тогда для произ-

вольной точки М второго звена скорость может быть найдена по формуле сложения скоростей:

VM V1 V2 ,

где V1 – скорость точки первого звена, с которой в данный момент совпадает точка М второго звена; V2 – скорость точки второго звена относительно

первого звена.

Поскольку от перестановки слагаемых в этой формуле суммарный вектор не изменяется, то относительное и переносное движения можно поменять местами.

Если число подвижных звеньев и кинематических пар увеличить на единицу, то найденную скорость точки М звена 2 можно принять за переносную при определении скорости точки М звена 3, т.е. скорость точки ко-

252

нечного звена равна сумме скоростей этой точки при движении в каждой кинематической паре манипулятора в отдельности:

VM n Vi .

i 1

Если все кинематические пары поступательные, то скорости всех точек конечного звена равны сумме линейных относительных скоростей.

Если какая-либо из n кинематических пар вращательная, то соответствующая ей

V1 i rin ,

где i – вектор относительной угловой скорости во вращательной паре i; rin – радиус-вектор, задающий положение точки М звена n относительно центра пары i.

14.3.Динамика манипулятора

14.3.1.Методы построения динамической модели манипулятора

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновской или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов являются уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев. Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены традиционными методами Лагранжа–Эйлера или Ньютона–Эйлера. С помощью этих двух методов получен ряд различных форм уравнения движения, эквивалентных в том смысле, что они описывают динамику движения одной и той же физической системы.

Вывод уравнений динамики движения манипулятора методом Лагран- жа–Эйлера отличается простотой и единством подхода. В рамках предположения о том, что звенья представляют собой твердые тела, этот подход приводит в общем случае к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения Лагранжа–Эйлера обеспечивают строгое описание динамики состояния манипулятора и могут быть использованы для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. В меньшей степени они используются для решения прямой и обратной задач динамики. Прямая задача состоит в том,

253

чтобы по заданным силам и моментам определить обобщенные ускорения, интегрирование которых позволяет получить значения обобщенных скоростей и координат. Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.

С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов можно использовать уравнения Ньютона–Эйлера. Вывод уравнений движения манипулятора методом Ньютона–Эйлера прост по содержанию, но весьма трудоемок. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. С помощью прямых уравнений последовательно от основания к схвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. Обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев. Наиболее важный результат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов, прямо пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это позволяет реализовывать простые законы управления манипулятором в реальном времени.

Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа–Эйлера обусловлена в основном тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат. Уравнения Ньютона–Эйлера обладают большей вычислительной эффективностью, что связано с их рекуррентной природой. Однако такие рекуррентные уравнения не обладают «аналитичностью», столь полезной при синтезе управления в пространстве состояний. Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающих динамику движения манипулятора.

Поскольку для построения модели динамики переходных процессов и дальнейшего анализа полученных уравнений необходима аналитическая форма, то для получения уравнений динамики используется метод Лагран- жа–Эйлера.

Уравнения динамики манипулятора. Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с n степенями свободы, которым отвечают обобщенные координаты qj (j = 1, 2, …, n), имеют вид

254

где L – функция Лагранжа, разность кинетической Т и потенциальной П энергий системы, L T П; Qjд – обобщенные силы управляющих двигателей,

приведенные к j-й обобщенной координате, они имеют размерность моментов, если qj – угол поворота, или сил, если qj – линейное перемещение.

С учетом того что L T П и П qj 0 , перепишем уравнение (14.1) в виде

лы, вызванные весом звеньев и груза, удерживаемого в захватном устройст-

ве, Qjв П qj .

При наличии внешнего воздействия – силы Fв , приложенной к захватному устройству, в правую часть равенства для Qj надо добавить член QjF , характеризующий это воздействие:

Используем выражение (14.2) для вывода уравнений динамики манипулятора. Рассматривая исполнительный механизм манипулятора как систему из n твердых тел, запишем его кинетическую энергию T в виде суммы кинетических энергий звеньев Ti :

i 1

Всвою очередь, величину Ti определим по формуле

где mi – масса звена i; VOi – скорость некоторой точки Oi звена i, принятой за полюс; i – вектор угловой скорости звена в принятой системе координат; riц – радиус-вектор центра инерции звена в системе осей, с ним связан-

255

ных, начало которой совпадает с полюсом Oi ; Oi – тензор инерции звена в

точке Oi .

Выражение (14.5) принимает наиболее простой вид, если за полюс звена принять его центр инерции. Тогда величина riц будет равна нулю и вы-

ражение (14.5) упростится:

Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. В соответствии с правилом разметки осей систем координат, связанных со звеньями, одна из осей

системы Oi xi yi zi совпадает с осью звена (вектором Oi 1Oi ), а две другие образуют с ней правую триаду. При помещении точки Oi в центр инерции Oi0

i–1

Oi–1

Рис. 14.9. Связанные системы координат с началом

âцентре кинематической пары Oi xi yi zi

èв центре инерции Oi0 xi0 yi0 zi0

256

и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке Oi0 характеризуется матрицей

центробежные моменты в которой определяются выражениями

и также являются известными константами.

Определим вектор скорости Viц центра инерции звена i через проекции на оси связанной с ним системы координат:

и запишем равенство (14.6) в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией относительно главных осей инерции.

Для этого подставим выражения O0 i , Viц , i из (14.7), (14.11), (14.13) в (14.6) и получим следующее:

257

Динамика манипуляторов промышленных роботов. Из большого раз-

нообразия задач динамики манипуляторов рассмотрим две: силовой расчет и расчет быстродействия ПР. При силовом расчете манипуляторов решаются задачи по определению внешних силовых управляющих воздействий, обеспечивающих требуемый закон движения механизма, и по расчету реакций в кинематических парах. Первую часть часто называют задачей синтеза управления. При силовом расчете обычно применяется метод кинетостатики, основанный на принципе Д'Аламбера. По этому методу к внешним силам и моментам, приложенным к звеньям механизма, добавляются расчетные силы инерции, которые обеспечивают силовую уравновешенность системы и позволяют рассматривать подвижную систему в квазистатическом равновесии, т.е. как условно неподвижную. Силовой расчет выполняется при задан-

ной полезной нагрузкеFn , известных законах движения звеньев asi и i (из

предварительного кинематического расчета), известных инерционных характеристиках звеньев: массах звеньев mi и их моментах инерции Jsi . По этим

кинематической цепи решение начинаем с выходного звена – схвата. Отброшенные связи звена n со звеном (n – 1) и выходным валом привода звена n заменяем реакциями Mn, n 1 и Fn, n 1 и составляем кинетостатические векторные

уравнения равновесия сил и моментов для звена n (рис. 14.10):

G0 Gn Fnи F0и Fn, n 1 Fn 0,

M Gn M G0 M Fnи M F0и Mnи Mn,n 1 M Fn 0,

где G0 , Gn – сила тяжести звеньев; Mn, n 1 – вектор момента в кинематиче-

ской паре (проекция этого вектора на ось z является движущим моментом привода в кинематической паре, т.е. M M (n, n 1) ).

258

Проецируя векторные уравнения на оси координат, получим систему шести алгебраических уравнений, откуда определим шесть неизвестных:

Fx(n, n 1) , Fy(n, n 1) , Fz(n, n 1) , M x(n, n 1) , M y(n, n 1) , M z(n, n 1) M (n, n 1) .

Далее рассматривается равновесие звена (n – 1). При этом в месте его присоединения к звену n прикладываются реакции со стороны звена n:

Fx(n 1, n) , Fy(n 1, n) , Fz(n 1, n) , M x(n 1, n) , M y(n 1, n) , M z(n 1, n) M (n 1, n) ,

равные по величине и противоположные по направлению реакциям, определенным на предыдущем этапе расчета. Так последовательно составляются уравнения силового равновесия для всех n звеньев механизма. Из решения полученной системы 6n уравнений определяются реакции в кинематических парах, движущие силы и моменты.

Рис. 14.10. Система сил, действующих на звено со схватом

Расчет быстродействия робота. Время выполнения роботом цикла перемещений детали во многом определяет производительность всего роботизированного комплекса. Поэтому требования к быстродействию робота обычно достаточно высокие. Время выполнения роботом технологической операции обусловлено законами изменения внешних сил (движущих и сопротивления) и инертностью звеньев механизма. Закон изменения управляющих сил зависит от типа используемого привода (гидравлический, пневматический, электрический и комбинированный) и от вида системы управления (цикловая, позиционная или контурная). Проведем расчет быстродействия одного из приводов промышленного робота с цикловой системой управления. При цикловой системе управления относительные перемещения звеньев ограничиваются передвижными упорами и концевыми выключателями.

259

На рис. 14.11, 14.12 изображена кинематическая схема трехподвижного манипулятора ПР (1, 2, 3 – подвижные звенья, 0 – неподвижное звено)

иприведены циклограмма настройки командоаппарата (сплошные линии)

ициклограмма работы ПР (пунктирные линии). Здесь обозначены: 10 –

угол поворота звена 1 относительно стойки 0; S21 – перемещение штока поршня 2 относительно цилиндра 1; S32 – перемещение штока поршня 3 относительно цилиндра 2; H21 и H32 – перемещение третьего звена; hд – пе-

ремещение третьего звена при демпфировании. Общее время рабочего цикла Тц состоит из времени выстоя в заданных положениях (на циклограмме выстой показан прямыми, параллельными горизонтальной оси t) и времени относительных перемещений звеньев из одного заданного положения в другое tп.х (прямой ход) и обратно tо.х (обратный ход) (наклонные прямые на диаграммах). Время выстоя обычно задано условиями технологического процесса. Время выполнения роботом движений определяется динамическими характеристиками приводов и манипулятора – движущими силами и силами сопротивления, массами и моментами инерции звеньев.

Рис. 14.11. Кинематическая схема трехподвижного манипулятора

Рассмотрим работу пневмопривода перемещения руки манипулятора (см. рис. 14.12). По сигналу от командоаппарата в правую полость цилиндра подается сжатый воздух, который действует на поршень с движущей силой Fд3 pSп, где p – давление воздуха, Sп – активная площадь поршня. Под

260