книги / Теория механизмов и механика систем машин

жит внутренних замкнутых контуров, то число кинематических пар определяет число степеней подвижности манипулятора. Простейшие манипуляторы имеют две-три степени подвижности. Универсальные, а также некоторые специальные манипуляторы могут иметь шесть-восемь степеней подвижности.

Звенья кинематической цепи соединены кинематическими парами так, что одно из них крепится к основанию (подвижному или неподвижному), а еще одно несет на себе рабочий орган – схват или инструмент.

Наиболее характерными задачами кинематики манипуляторов являются прямые и обратные, задачи о положениях и скоростях. Для пространственных механизмов наиболее эффективными методами решения этих задач является матричный метод преобразования координат и векторный метод, основанный на использовании формул конечного поворота твердого тела.

Матричный метод преобразования координат вектора. Рассмотрим три декартовы системы координат: xyz , 1x1 y1z1 , 2 x2 y2 z2 . Пусть в систе-

ме 2 x2 y2 z2 заданы координаты вектора r (х2, у2, z2). Тогда в системе1x1 y1z1 координаты этого же вектора могут быть определены в матричной форме следующим образом:

x1 L2 x2 ,

Элементы βij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) матрицы L2 есть направляющие косинусы осей системы 2 x2 y2 z2 относительно осей системы 1x1 y1z1.

Для преобразования координат из системы 1x1 y1z1 в систему xyz можно записать

x L1 x1 ,

241

Элементы αij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) матрицы L1 есть направляющие косинусы осей системы 1x1 y1z1 относительно осей системы xyz .

Проведя некоторые преобразования в приведенных выше выражениях, получим

x L1L2 x2 .

Для произведения систем координат можно записать следующее:

n

L1 L1L2 ,..., Ln .

i 1

Метод, основанный на использовании формул конечного поворота твердого тела. Этот метод позволяет определить новое положение вектора, зная его старое положение, ось поворота и угол поворота.

Рассмотрим различные формулы конечного поворота твердого тела. По формуле Родриго

r1 r cos 1 cos e r e e r sin ,

где r и r1 – векторы, связанные с телом до и после поворота; e – орт оси поворота; – угол поворота.

Этой формуле можно придать другой вид, сделав замену:

242

Если угол между осью и вектором r равен 90°, то формула упрощается и принимает вид

r1 r cos e r sin .

При совершении двух конечных поворотов тела вокруг осей, определяемых ортами e1 , e2 , результирующий поворот находится по формуле

= 1 2 1 2 , 1 1 2

тора.

Последняя формула показывает, что результирующий поворот двух конечных поворотов твердого тела вокруг неподвижных осей зависит от порядка выполнения этих поворотов.

14.2.2. Решение задач кинематики методом преобразования координат

Первая и основная задача кинематики – определение функции положения. В прямой задаче о положениях необходимо определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной – перемещения в приводах как функцию заданного положения выходного звена.

При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат [1, 2], которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Дж. Денавита и Р. Хартенберга.

Опишем два вида матриц:

–матрицы М, определяющие отношение между системами координат соседних звеньев;

–матрицы Т, определяющие положение и ориентацию каждого звена механизма в неподвижной или базовой системе координат.

Воспользуемся однородными координатами трехмерного проективного пространства РR3, в которых движение эвклидова пространства R3 можно представить линейным преобразованием

ri Mij rj ,

где ri и rj – радиус-векторсоответственно встаройи новой системах координат;

243

Это преобразование эквивалентно преобразованию в эвклидовом про-

ет поворот, определяемый матрицей Uij размерностью 3 3, и параллельный

перенос, задаваемый вектором b размерностью 3. В однородном пространстве положение точки будут определять не три x, y и z, а четыре величины x', y', z' и t', которые удовлетворяют следующим соотношениям:

x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'.

Обычно принимают t' = 1. У матрицы поворота Uij элементами uij являются направляющие косинусы углов между новой осью i и старой осью j.

Вектор b x, y, z является трехмерным и определяет положение начала

новой системы координат i в старой системе j.

Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен соответствовать типу решаемой задачи (прямая или обратная).

При использовании метода Денавита–Хартенберга оси координат располагаются по следующим правилам:

1.Для звена i ось zi направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном (i+1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.

2.Ось xi направляется по общему перпендикуляру к осям zi–1 и zi с направлением от zi–1 к zi. Если оси zi–1 и zi совпадают, то xi перпендикулярна им и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематиче-

ской пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось xi направляется по правилу векторного произведения xi zi zi 1 (кратчайший

поворот оси zi до совмещения с zi–1 при наблюдении с конца xi должен происходить против часовой стрелки).

3. Ось yi направляется так, чтобы система координат была правой.

В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат xnynzn по отношению к неподвижной или (базовой) системе координат x0y0z0. Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i–1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности (рис. 14.5):

–поворот i-й системы вокруг оси xi на угол θi до параллельности осей zi

иzi–1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора xi против часовой стрелки);

244

Mia – матрица переноса вдоль оси xi на ai,

Mis – матрица переноса вдоль оси zi–1 на si,

Mi – матрица поворота вокруг оси zi–1 на угол φi.

В этих матрицах переменные si и φi соответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные ai и θi определяются конструктивным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными.

Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором rMi , а в системе координат звена (i–1) – векто-

ром rMi 1 . Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат Мi следующим уравнением:

rMi 1 MirMi ,

где Mi – матрица перехода из i-й системы координат в (i – 1)-ю,

246

Рассмотрим шестиподвижный манипулятор в исходном или начальном положении (рис. 14.6). За начальное положение принимается такое, в котором все относительные обобщенные координаты равны нулю. Переход из системы координат любого i-го звена к неподвижной (базовой) системе записывается в виде

rM0 M1M2...MirMi или rM0 irMi ,

где Ti – матрица преобразования координат i-й системы в координаты базовой системы, i M1M2...Mi .

Рис. 14.6. Кинематика шестиподвижного манипулятора: 0—6 — его звенья

Для схемы, изображенной на рис. 14.6, радиус rM6 0, а радиус rM0 определяется по формуле

rM0 n 6 ,

т.е. положение выходного звена манипулятора определяется матрицей Тn. Элементы этой матрицы назначают положение центра схвата (точки М) и ориентацию его в пространстве. Четвертый столбец дает декартовы координаты точки М (проекции вектора rM0 на оси координат). Третий столбец

содержит направляющие косинусы оси zn системы координат, связанной со

247

схватом, или вектора подхода A, который характеризует направление губок схвата (рис. 14.7). Второй столбец определяет направление оси yn или вектора ориентации O, который проходит через центр схвата по оси, перпендикулярной рабочим поверхностям его губок. В первом столбце содержатся направляющие косинусы оси xn или вектора O A .

Углом подхода схвата aA называется угол между вектором подхода A и базовым вектором:

RA O 0 ,

где 0 – орт вектора z0 неподвижной или базовой системы координат. С учетом сказанного, матрица n может быть представлена в следующем виде:

Рис. 14.7. Кинематика схвата

В результате матричных преобразований получаем радиус-вектор точки М схвата в функции обобщенных координат. Обычно за обобщенные координаты принимают линейные и угловые перемещения в кинематических парах или на выходных валах приводов манипулятора. В механизме с n степенями подвижности в общем виде функцию положения схвата можно записать так:

248

rMO n A П(q1, q2 , ..., qn ),

где q1, q2, ..., qn – обобщенные координаты манипулятора.

Другая задача кинематического анализа – расчет скоростей. В прямой задаче необходимо определить линейные и угловые скорости и ускорения схвата при заданных угловых и линейных обобщенных скоростях и ускорениях (обычно относительных скоростях и ускорениях в кинематических парах механизма). В обратной задаче по заданному закону изменения скоростей и ускорений схвата определяются законы изменения скоростей и ускорений в кинематических парах или на выходных звеньях приводов.

Решение прямой задачи кинематики для точки М схвата можно получить, продифференцировав четвертый столбец матрицы Тn по времени:

Угловую скорость и угловое ускорение схвата можно вычислить векторным суммированием относительных угловых скоростей во вращательных кинематических парах механизма. Так как векторы угловых скоростей при данном выборе ориентации осей координат совпадают с осью z, то угловая скорость схвата

m

n i 1 i,i 1 ,

i 1

где i 1 – орт оси z системы координат, расположенной в центре кинемати-

ческой пары, соединяющей звено i и звено (i – 1); m – число вращательных кинематических пар в механизме.

Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для определения углового ускорения схвата:

249

14.2.3. Решение задач кинематики векторным методом

Решение прямой задачи о положениях рассмотрим на примере манипулятора с тремя вращательными кинематическими парами.

Заданными будем считать обобщенные координаты механизма, за которые приняты углы относительного поворота звеньев в кинематических парах. Для решения задачи мысленно установим манипулятор в некоторое нулевое положение, в котором все обобщенные координаты равны нулю.

Положение манипулятора в любой момент времени определяется ориентацией осей его звеньев и кинематических пар и их положением. В нулевом положении векторы, направленные по осям звеньев и кинематических пар, считаем известными. Чтобы перевести манипулятор из нулевого положения в положение, задаваемое обобщенными координатами i i 1,...,3 ,

совершим последовательные повороты в шарнирах на углы i начиная с неподвижного звена (рис. 14.8).

Рис. 14.8. Кинематика манипулятора с тремя подвижными парами

Первый поворот совершим в шарнире А на угол φ1 вокруг единичного вектора k . При этом векторы изменят свое положение и перейдут в векторы

i2(1) , i3 (1).

250