книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Лагранж кратко коснулся того особенного случая, ког* да среди корней частотного уравнения (25.8) имеются рав­ ные корни. В подобных случаях, пишет Лагранж, в реше­

нии возникают члены, содержащие время / вне знака сину­ са (вековые или секулярные члены); например при равенстве

двух корней появится решение вида

Як - (Ak + sin (pi + ф ). (25.9)

Как видно, с возрастанием времени / первый множитель неограниченно увеличивается и колебания приобретают резонансный характер.

Однако свободные колебания консервативной системы не могут неограниченно возрастать — это противоречило бы очевидным энергетическим соображениям; при таком про­ цессе энергия системы увеличивалась бы до бесконечности и система представляла бы собой своеобразный вечный дви­ гатель.

В чем же дело? Может быть, в задачах о свободных колебаниях консервативных механических систем случай равных корней невозможен?

Нет, легко представить себе реальные механические сис­ темы, обладающие равными собственными частотами. Та­ ковы, например, сферический маятник или упругая систе­ ма с двумя степенями свободы, изображенная на рис. 25.1.

Рис. 26.1. Система с двумя сте­ пенями свободы. При равных жесткостях в направлениях к н у собственные частоты равны одна другой

У

Если сечение стержня представляет собой, например, пря­ моугольник с неравными сторонами, то собственные часто­ ты будут, естественно, различаться; но если сечение стержня круглое или квадратное, то обе собственные частоты будут равны между собой. В этих примерах равенство двух собст­ венных частот, очевидно, не повлечет за собой никаких особенностей процесса колебаний, тем более неограничен­ ного роста амплитуд.

J91

Эти два примера непосредственно свидетельствуют о том. что случай равных корней физически легко осуществим, причем появление вековых членов в решении противоречит здравому смыслу и закону сохранения энергии. Однако Лагранж уклонился от обсуждения этого парадокса: «...так как изложение этих случаев не представляет интереса для рассматриваемого нами вопроса, то мы на нем не будем ос­ танавливаться».

Утверждение Лагранжа о появлении вековых членов было опубликовано в 1788. г., когда вышло в свет первое издание его книги; оно было оставлено Лагранжей и во втором издании, которое вышло из печати в 1812 г.— за год до смерти Лагранжа. В 1853 г. «Аналитическая меха­ ника» вышла третьим изданием, которое редактировал зна­ менитый математик Жозеф Бертран; и здесь утверждение Лагранжа было сохранено.

Лишь в 1858— 1859 гг. К. Вейерштрасс *) и О. И. Со­ мов **) установили, что утверждение Лагранжа ошибочно, и д а ж е в с л у ч а е р а в н ы х к о р н е й частотного уравнения решения сохраняют чисто тригонометрическую форму, а вековые члены вида (25.9) появиться не могут.

Дело заключается в следующем. В случае кратных кор­ ней система вида (25.1) имеет обычно решение с множите­ лями /, Р и т. д. Но мы имеем дело с о с о б ы м случаем системы линейных дифференциальных уравнений, которая обладает определенными свойствами симметрии (25.2). В этом особом случае она и при наличии равных корней для рг имеет только решения вида (25.3) ***).

Остановимся подробнее иа механической системе, в ко­

кальных колебаниях автомобили, происходящих парал­ лельно его плоскости симметрии. На рис. 25.2. а изобра­

ианалитической механике.

***) Симметрия матрицы коэффициентов не является необходимым

19?

динамическая схема (в более полном анализе учитываются также массы колес и связанных с ними частей). Приведен­ ные коэффициенты жесткости задней и передней подвески автомобиля (учитывающие жесткости рессор и пневматиков) обозначены через сх и са. Центр тяжести расположен на расстояниях а и р соответственно от задней и передней опо­ ры. Масса кузова обозначена через т, а момент инерции

щенные координаты <?1 и qt примем вертикальное пере­ мещение центра тяжести (положительное направление вниз) и угол поворота стержня вокруг центра тяжести (по­ ложительное направление — против хода часовой стрелки). При этом осадки упругих опор равны соответственно Qt+aqt (задняя опора) и <?, ~bqt (передняя опора).

С помощью этих выражений найдем кинетическую и по­ тенциальную энергию системы

193

принимают вид

Каждому из них соответствует свое определенное соотно­ шение между амплитудами, определяющее собственную форму колебаний. Это соотношение можно найти, напри­ мер, из первого уравнения системы (25.14):

То же получится и из второго уравнения системы (25.14). Остановимся на частном случае, когда выполняется ра­

т. е. когда радиус инерции представляет собой среднее геометрическое между величинами а и й; заметим, что для этого расстояние а+Ь между осями колес должно быть зна­ чительно меньше обшей длины автомобиля (это на самом деле имеет место в автомобилях современной компоновки).

Если условие (25.18) выполняется, то частотное урав­ нение приобретает вид

194

Для определения собственных форм подставляем эти корни поочередно в соотношение (25.17). Для первой формы полу­ чим, полагая р*=р\:

Здесь вторые индексы обозначают номер рассматриваемой собственной формы. После подстановки p*=pl в соотноше­ ние (25.17) найдем вторую собственную форму

Эти формы изображены на рис. 25.3. Их особенностью является неподвижность одной подвески автомобиля прн колебаниях другой подвески. Практически это означает.

что подвески автомобиля колеб­ лются независимо и колебания одной из них не передаются дру­ гой. Свойства такой системы наглядно представляет динами­ ческая схема, изображенная на рис. 25.4. Независимость коле­ баний обеих подвесок автомо­ биля можно считать определен­ ным эксплуатационным достоин-

Независимость уравнений означает возможность чисто вертикальных колебаний без поворотов (подпрыгивание)

195

(рис. 25.5, а) или чисто угловых колебаний при неподвиж­ ном центре тяжести (галопирование) (рис. 25.5, б). Для случая подпрыгивания автомобиля имеем

Таким образом, частоты подпрыгивания и галопирования Pi и piy вообще говоря, различны.

но, что его корни оказываются

равными друг другу в случае, когда параметры динамиче­ ской схемы автомобиля удовлетворяют равенству

*) Другим примерим систем, для которых равенство собственных частот считается достоинством, могут служить центрифуги с жестким ротором; в некоторых патентах таких центрифуг равенство частот специально оговаривается.

Ш

Легко проверить, что оно выполняется, если о д н о в р е ­ м е н н о удовлетворены оба условия (25.18) и (25.23). Более того, можно доказать, что эти условия не только достаточны, но и необходимы для выполнения равенства (25.31).

Если динамическая схема автомобиля удовлетворяет

Такой автомобиль представляет собой пример системы с равными частотами — случай в котором Лагранж считал неизбежным появление вековых членов. Б действительности же такие члены не появляются и колебания описываются вполне обычным образом, но могут иметь разные фазы:

4i= Ai sin (pt -гф|), <?г= Ла51п(/7/-|-фг). (25.33)

Постоянные Ai, А,, ф! и ф, определяются начальными

условиями. Какими бы ни были последние, колебания по каждой координате оказываются одночастотными.

Мы убедились в том, что если механическая система не обладает диссипативными свойствами, т. е. лишена затуха­ ния, то кратные корни вовсе не означают появления ве­ ковых членов в решении. Но если дифференциальные урав­ нения движения содержат первые производные искомых функций, то в случае кратных корней в решении возника­ ют вековые члены; любопытно, что из этого все же не сле­ дует, что в своем движении система должна обязательно не­ ограниченно уходить от положения равновесия (это было бы физически невозможно в случае диссипативной системы).

Вот пример, который приводит в своей книге А. И. Лу­ рье *) (см. ссылку на с. 192). Дифференциальные уравне­ ния движения системы с двумя степенями свободы имеют вид

Разыскивая частное решение в виде

*) Анатолия Исакович Лурье (1901—1981). член-корреспоидент АН СССР, в течение пятидесяти лет профессор Ленинградского поли­ технического института, автор многих трудов по теории упругости, устойчивости систем автоматического управления, аналитической механике.

197

мы придем к следующему характеристическому уравнению:

(так как (е~*->0 при t-*-оо), хотя и содержит вековые члены.

Перевод «Аналитической механики» Лагранжа на русский язык вышел в 1950 г. (М.: Гостехиздат, тт. I, 2). Об ошибке Лагранжа см.

§ 26. Пропущенные частоты

Следующая таблица, заимствованная нами из одной прекрасной книги по теории механических колебаний *), позволяет вычислить низшие собственные частоты изгибных колебаний для пяти схем однородных балок длиной I. С помощью приведенных в таблице значений (а()* можно найти собственные частоты по выражению

в котором EJ — жесткость при изгибе, т — интенсивность распределенной массы.

По значениям корней характеристических уравнений можно заключить, что собственные частоты убывают при переходах от схемы 1 к схеме 3, а затем вновь начинают увеличиваться (можно заметить даже строгую симметрию результатов относительно «средней» схемы 3: они совпадают для схем 1 и 5, а также для схем 2 и 4). Это может вызвать

*) По сравнению с этой книгой в нашей таблице лишь изменен порядок строк, опушен один случай (балка с шарнирно опертыми концами) и не выписаны выражения для более высоких частот.

198

недоумение, так как схемы расположены в порядке убыва­ ния числа опорных связей, а в соответствии с общей тео­ рией при устранении связей собственные частоты должны убывать (точнее говоря — не могут возрастать). Чем объяс­ нить нарушение строго доказанной закономерности в рас­ сматриваемой таблице?

Для того чтобы разобраться в чем здесь дело, нужно внимательно проследить за выкладками, которые приво­ дят к характеристическим уравнениям.

Прежде всего запишем дифференциальное уравнение свободных колебаний

в котором v(2, /) — вертикальное отклонение произвольной точки оси балки от положения равновесия, г — горизон­ тальная координата точки, / — время. Будем искать част­ ное решение в виде произведения двух функций

Тогда уравнение (26.2) примет вид

непосредственно видно, что постоянная р представляет со­ бой собственную частоту. Для ее определения нужно об­ ратиться к решению уравнения (26.5):

V= С, sin ал + Сгcos az -f Ся$h «г 4- С, ch аг, (26.7)

и подчинить его граничным условиям, соответствующим той или иной схеме закрепления. Это приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных Ct. Условие

200