книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

и дифференциальное уравнение (34.3) становится у[шипением с переменными коэффициентами

(34.6)

Колебания массы 1 теперь уже нельзя называть свобод­ ными, так как они происходят при заданном во времени внешнем воздействии в виде периодического изменения жесткости системы. С другой стороны, их нельзя назвать

исходящие при заданном изменении параметров системы (в данном случае жесткости), называются параметрически возбуждаемыми, или, проще,— параметрическими.

Как мы увидим ниже, в некоторых областях частот возбуждения амплитуды параметрических колебаний воз­ растают и наступает параметрический резонанс. В некото­ ром смысле он опаснее «обычного» резонанса, который наступает лишь при точно определенных значениях часто­ ты внешнего возмущения.

Существует много механических систем, подвержен­ ных параметрическому возбуждению. В ряде случаев диф­

где а и q — постоянные.

Так, например, если в рассмотренной выше механи­

и дифференциальное уравнение (34.6) принимает вид

Переходя теперь к безразмерному времени т:

261

и дифференциальное уравнение (34.9) приобретает форму (34.7), причем

Преобразования этого рода типичны для случаев малой глу­ бины пульсации переменного параметра системы.

Обратимся теперь к основному уравнению рассматривае­ мых здесь задач (34.7), которое называется уравнением

*)

а-1,2

VWWWWW10

Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер; их свойства зависят от конкретных значений па­

раметров а и q. В одних случаях данной комбинации а и q соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в

других случаях — колебания с возрастающими амплитуда­ ми. Дальнейшие подробности колебаний практически ма­ лосущественны, так как основную важность представляет только т е н д е н ц и я колебательного промесса — если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива; в противном случае система неустойчива, и после любого начального возмущения состояния равновесия возникает параметрический резонанс.

Результаты решения уравнения Матье для двух раз­ личных комбинаций а и q изображены на рис. 34.2 (эти

решения получены с помощью АВМ). Хотя в обоих случаях параметр q системы одинаков (<?—0, 1), но колебания имеют

262

резко различный характер из-за различия межлу значения­ ми параметра а ( а = 1; а = 1,2); в первом случае колебания возрастают, система неустойчива, а во втором случае они остаются ограниченными, т. е. система устойчива.

Для практических целей наибольшее значение имеют границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. Этот вопрос хорошо изучен, причем оконча­ тельные результаты представляются в виде диаграммы, построенной в плоскости параметров а и q. Она называется

диаграммой Айнса — Стретта; на рис. 34.3 изображена

Ч

Рис. 34.3. Часть диаграммы Айнса — Стретта для малых значений параметра q . Точки / и 2 соответствуют решениям а ) и б) на рис. 34.2

часть диаграммы, относящаяся к малым значениям пара­ метра q. Каждой данной системе, характеризуемой пара­ метрами а и q, соответствует точка с координатами a, q на диаграмме Айнса — Стретта («изображающая точка»). Не положение позволяет сразу сделать заключение об устой­ чивости / неустойчивости системы: если изображающая точ­ ка находится в пределах заштрихованных полей диаграммы, то система устойчива; изображающие точки, расположенные

— 1,2, <7, = 0,1 (решения уравнения Матье для этих случаев даны на рис. 34.2). Точка / находится в белой зоне (неустой­ чивость), и колебания происходят с возрастающими ам­ плитудами (рис. 34.2, а). Точка 2 находится в пределах заштрихованной зоны; ей отвечает движение с ограничен­ ной амплитудой (рис. 34.2, б).

Полная диаграмма Айнса — Стретта представлена на рис. 34.4. Как видно, в плоскости параметров a, q об­ ласти устойчивости чередуются с областями неустойчи­ вости, причем наиболее широкая и, можно сказать, наи­ более важная область неустойчивости содержит точку о = 1,

<7=0.

263

Диаграмма Айнса — Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно с о с т а в и т ь это уравнение, т. е. найти значения параметров системы а и q; после этого ди­ аграмма сразу даст ответ на вопрос об устойчивости или не­ устойчивости системы.

Проследам за изменением свойств параметрических ко­ лебаний при постепенном изменении частоты возбуждения. Возвращаясь для примера к выражениям (34.12), мы видим,

что с возрастанием частоты оба параметра а и q пропорцио­ нально уменьшаются. Так как отношение обоих параметров остается постоянным, то последовательные состояния сис­ темы определяются изображающими точками на штрихо­ вом луче q^ka, проходящем через начало координат. На рис. 34.4 отчетливо видно чередование устойчивых и неус­ тойчивых состояний при возрастающих значениях частоты возбуждения. При весьма больших значениях ш система устойчива.

Параметрические колебания вовсе не редкость. Можно указать несколько причин параметрического возбуждения механических систем: а) периодическое изменение ж е с т ­ к о с т и (как в рассмотренной выше системе); б) периоди­

*) Параметрическими называют такие нагрузки, при статическом

действии которых возможна потерн устойчивости в эйлеровом смысле.

264

Приведем примеры всех трех видов параметрического возбуждения, а затем укажем случаи смешанного характера, когда причиной параметрического возбуждения одновре­ менно являются периодические изменения жесткости и

инерции.

а. Периодическое изменение жесткости. Упругой частью изображенной на рис. 34.5 системы является шлицевый вал 1; на нижнем конце вала находится диск 2. С валом соеди­ нена шлицевая массивная втулка 3, которая может сколь­ зить вдоль оси вала и совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. В этой системе возможно па­ раметрическое возбуждение не только изгибных, но и кру­ тильных колебаний.

Пусть свободная длина вала в момент времени t состав­

Если амплитуда колебаний А значительно меньше сред­ него значения длины /0, то выражение (34.14) можно пред­ ставить в форме

что по структуре полностью совпадает с выражением (34.8). Поэтому крутильные колебания рассматриваемой системы также описызаюто» уравнением Матье (34.7), причем

Другой пример системы с периодическим изменением жесткости представлен на рис. 34.6. Система содержит диск I, укрепленный посередине вертикального вала 2. На части длины нал имеет поперечное сечение с различны­ ми главными моментами инерции (например, прямоуголь­ ное сечение); по этой причине жесткость вала неодинакова в двух главных направлениях х и «/. Направляющие 3 фиксируют плоскость, и которой может происходить изгиб вала. Поэтому при upа.цении вала жесткость изгиба в ука­

265

занной плоскости периодически меняется и возможно пара­ метрическое возбуждение колебаний *).

С поучительным случаем параметрического возбужде­ ния колебаний пришлось столкнуться при работе одного шахтного подъемника (рис. 34.7). Направляющие /, вдоль которых перемещается клеть 2, представляют собой многоопорпые неразрезные балки; их боковая жесткость зави­ сит от уровня, на котором находится клеть; при располо­ жении клети против опор 3 жесткость наибольшая, а при расположении клети посередине про­ лета жесткость принимает наименьшее значение. В процессе движения клети но вертикали боковая жесткость периодически меняется, что н создает опасность возникновения параметри­ ческого резонанса. В случае, о ко­ тором идет речь, действительно раз-

вивались значительные колебания в некотором диапазоне скоростей движения клети; для устранения колебаний при­ шлось существенно изменить конструкцию подъемника; лишь после этого система была выведена из зоны пара­ метрического резонанса.

*) Заметим, что если направляющие отсутствуют, то вал получает возможность колебаться в двух плоскостях; элементарным путем можно найти, что вал неустойчив по всей области угловых скоростей [coj. шг|

(здесь ы,= К с^/т, а>г— V cjm\ ct, сг —коэффициентыглавных жест­ костей вала).

266

т. е.

Это уравнение можно привести к виду (34.7), если положить

Теперь из диаграммы Айнса — Стретта непосредственно видно, что сколь бы малой ни была амплитуда <4, неус­ тойчивость нижнего положения маятника наступает вбли­ зи значений а = 1 , 4, 9, . . . . т. е. при

Отметим теперь возможность устойчивости в е р х н е г о положения маятника (рис. 34.9, а). При неподвижной

Рис. 34.9. а) Опрокинутый маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса; б) фрагмент диаграммы Айнса — Стретта

опоре это положение, конечно, неустойчиво; однако виб­ рация основания может придать этому положению устой­ чивость. Чтобы получить уравнение движения для данного случая, достаточно изменить знак перед членом, содержа­ щим ускорение g в уравнении (34.20); соответственно мы получим в (34.21)

о ------Ж

(остальные величины останутся прежними).

26B

начинает качаться как обычный маятник... Эти колебания затухают, и маятник приходит в вертикальное положение».

б.Периодическое изменение параметрических нагрузок.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 34.11. Груз / закреплен на верхнем конце вертикального совершенно жесткого стержня 2; внизу стержень имеет опору 3, упруго сопротивляющуюся повороту («упругий шарнир»). На верх­ ний конец стержня действует вертикаль­ ная сила Р, например, вес груза /.

Эта сила является параметрической нагрузкой; если она неизменна во време­ ни, то существует ее критическое значе­ ние Ркр, которое можно найти при помо­ щи способа Эйлера.

вающий момент (момент упругого шарнира) составляет

Из условия <р#0 находим, что отклоненное состояние рав­ новесия возможно, если

Этой формулой определяется критическое значение стати­ ческой силы Р.

То же значение можно найти, рассматривая свободные колебания груза 1. В отличие от уравнения статики (34.25),

270