книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

уравнения (35.3) в виде алгебраического ряда; в первом приближении отношение максимального динамического про­

гиба к соответствующему статическому прогибу (коэффи­ циент динамичности) оказалось равным

В этой формуле уже видно влияние нового фактора — скорости движения груза. Стоксу принадлежит также ре­ шение уравнения (35.3) в квадратурах.

В 1883 г. Буссинеск *) указал следующее остроумное преобразование переменных для дифференциального урав­ нения (35.3):

после которого получается уравнение с постоянными коэффициентами

На решении этого уравнения мы останавливаться не бу­ дем **).

Описываемую здесь постановку задачи можно встре­ тить и в рнде других исследований, однако ее практиче­ ское значение в общем невелико, поскольку массой кон­ струкции обычно нельзя пренебрегать но сравнению с массой груза.

Вариант 3. Здесь постановка задачи противоположна предыдущей — задача решается в предположении, что динамический эффект связан с инерцией самой балки; при этом давление груза на балку считается равным его весу.

*') В связи с преобразованием переменных в первых двух изданиях нашей книги было написано, что «упнпсреалы>ых приемов таких замен не существует и все дело в искусстве математика». Л. М. Беркович обратил внимание авторов па неточность этого утверждения, поскольку в работах Куммсра, а в особенности Лиувилли и Дльфяна указаны достаточно общие пути преобразования дифференциальных уравнений

с переменными коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффици­ ентами (хотя не всегда замену переменных можно пыразпть в конечном

виде). Впрочем, неизвестно, следовал ли Буссенеск этим путям.

281

большое практическое значение и допускает много полез­ ных обобщений вследствие линейности задачи. Так, А. Н. Крылову принадлежит также решение задачи о действии на балку движущейся пульсирующей силы (действие не­ уравновешенных колес локомотива на мост).

В решениях А. Н. Крылова масса балки считается непрерывно распределенной по длине. Наряду с этим наиболее точным решением известны приближенные ре­ шения, основанные на сосредоточении массы балки в

одном или нескольких сечениях.

Вариант 4. Учитывается как масса груза, так и масса балки. Эта наиболее сложная постановка задачи встре­ чалась уже в некоторых исследованиях, выполненных в прошлом веке. Однако первые попытки решения такой задачи были грубо приближенными и мало убедитель­ ными в своих обоснованиях. Первые важные результаты в этой области относятся лишь к тридцатым годам на­ шего века: полученные решения представлены в виде рядов.

Сравнительные подсчеты приводят к любопытному вы­ воду: если скорость движения нагрузки настолько велика, что статическое рассмотрение (вариант 1) становится недопустимым, то, как правило, влияния инерции соору­ жения и инерции груза имеют один и тот же порядок (если груз не имеет рессор; в противном случае инерция груза играет незначительную роль).

К последнему заключению пришел Ю. М. Майзель в работе «О ве­ личине динамического коэффициента для балок при действии подвижной нагрузки» (Сб. научных трудов Днепропетровского металлургического института, 1958, вып. 34).

Работа А. Н. Крылова «Ubci die erzwungenen Schwingungen von gleichformigen Slaben» была опубликована в 1905 г. (Mathematische Annalen, 1905, т. 61); результаты А. Н. Крылова воспроизводятся в большинстве курсов теории колебаний и динамики сооружений.

Эффективный метол одновременного учета массы подвижной на­ грузки и массы конструкции был дан в работе Schallenkamp A. «Schwin­ gungen von Trigero be; ben’eglen Lailen» (Ingwwur-Arcbiv, 1937, r. 8). См. также c. 200—204 книги В. В. Болотина «Динамическая устойчи­ вость упругих систем» <М.: Гостехвздат, 1956).§

§36. Ошибка Бресса

Взадаче о действии движущегося груза траектория движения груза и изогнутая ось балки, конечно, суть совершенно разные кривые. Смешение этих различных

282

груза {точки Л 2, 3, 4)\ штриховой линией показана тра­ ектория груза (для ясности отмечены состояния, относя­ щиеся к движению груза только вдоль левой половины балки).

Положим, что изогнутая ось 4 соответствует моменту

прохождения груза через середину. Величина р, входя­ щая в формулу (36.2), представляет собой радиус кри­

р, входящая в формулу (36.1), представляет собой радиус кривизны траектории (также при г—1/2).

Таким образом, Бресс отождествил две разные вели­ чины-, па рис. 36.1, видно, что две кривые — траектория

иизогнутая ось — совершенно различны.

Эти кривые различны, конечно, и при статической по­

становке задачи. Оценим указанное различие, полагая весь процесс безынерционным. Пользуясь элементарными методами сопротивления материалов, найдем выражение для кривизны изогнутой оси балки (0^ 2< 7/2), когда груз находится посередине балки (т. е. г -= 1/2):

Немногим сложнее нахождение кривизны траектории груза. Для случая, когда груз Р находится на расстоянии а от левой опоры, уравнение изогнутой оси балки на участке от 0 до а имеет вид

284

В момент, когда г= //2, имеем

1 Pi

(36.7)

о 881 з F.J ■

Таким образом, ошибочно отождествленные кривизны двух разных кривых при г=И2 отличаются « 1,33 раза. Хотя эта оценка относится к чисто статической задаче, она дает общее представление о возможных размерах ошибки.

Любопытно, что эта давнишняя ошибка имела реци­ дивы. В одном из задачников по теоретической механике приводилась следующая задача:

«Паровоз весом Р—180 тс проходит по мосту со ско­ ростью о—72 км/ч. В тот момент, когда паровоз находится иа середине моста, прогиб моста равен ft=0,1 м. Опреде­ лить добавочное давление на мост в этот момент, принимая, чго мост можно рассматривать как лишенную массы одно­ пролетную балку постоянного сечения длиной /—100 м, с шарнирно закрепленными краями, и пренебрегая разме­

§ 35), приводящая к сложному дифференциальному урав­ нению (35.3). Включение такой задачи в задачник, рас­ считанный на студентов, вызывает удивление.

Дело, однако, в том, что составитель, по-видимому, полагал допустимым именно то простое, но ошибочное

балки, то кривизна изогнутой оси определяется извест­ ным выражением

I N1

(36.8)

j> “ 4F.J '

а прогиб в середине пролета — выражением

Применительно к обсуждаемой задаче под N следует по­ нимать полное давление груза, т. е. сумму веса Р и цент­ робежной СИЛЫ

285

Из уравнений (36.8) и (36.9) можно найти кривизну

1 _ т

(36.11)

р : г "

Отсюда как будто следует, что искомое дополнитель­ ное давление, равное центробежной силе, составляет

Р8 1

Ошибка этого решения состоит в том, что выражение (36.11) определяет вовсе не кривизну траектории груза, нужную для подстановки в выражение (36.10), а кри­ визну изогнутой оси балки.

Внимательные исследователи даже во времена Бресса

ложение и груз окажется в точке пх. Здесь отчетливо видно различие между элементом ля' изогнутой о с и б а л к и if элементом яя5 т р а е к т о р и и г р у з а .

Решение Бресса приведено в книге: Bresse «Coins de mecanique appliquee», (869, Paris (т. 1, гл. VI). Задачу о паровозе можно наши в ряде прежних изданий задачника И. В. Мещерского (см., например, М., 1959,25-е изд., задача 666); ее решение, повторяющее ошибку Брес­ са, дано Г. Нейбером в книге: <L5sungen гит Aufgabensammlung Мезtseherski» (VEB Deutsdier Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1961). Статья Реподэ была опубликована через два года иосле выхода в свет книги Бресса («Annates des Pontes et Chaussces». 1861, ) semestre, c. 145—f04).

§ 37. Бегущая нзгнбная волна

В общей постановке задачи о действии подвижной на­ грузки па упругие системы необходимо учитывать массу как нагрузки, так и самой конструкции. Если пренебречь

любым из этих влияний, то решение окажется более или менее приближенным; таковы первые три варианта из указанных в § 35. Однако можно указать две особенные задачи, являющиеся в некотором смысле исключением. В одной из них никакой роли не играет масса подвижной нагрузки, а во второй — масса самой конструкции. Этот параграф посвящен первой задаче; вторая задача рас­ сматривается в следующем параграфе.

Пусть груз весом Р равномерно движется со скоростью о вдоль бесконечной балки, лежащей на сплошном одно­ родном упругом основании (рис. 37.1, о).

Рис. 37.1. Действие дви­ жущегося груза на бес­ конечную балку, лежа­ щую на сплошном уп­ ругом основании

Отличительной чертой этой задачи является возмож­ ность стационарного режима движения, при котором прогиб под грузом остается все время п о с т о я н н ы м , а груз движется по горизонтали. Картина изгиба оси балки будет неизменной, но равномерно движущейся со скоростью движения груза и как бы с о п р о в о ж д а ю ­ щ е й груз (рис. 37.1,6). Поэтому для наблюдателя, свя­ занного с последним, изгиб балки будет выглядеть все

время одинаково; это позволяет назвать такое явление

бегущей изгибной волной.

Наряду с этим возможны также свободные колебания балки около этого стационарного режима; их исследова­ нием мы заниматься не будем.

Так как вертикальная координата груза остается не­ изменной, то вертикальное ускорение груза равно нулю, а давление груза на балку равно весу Р. В этом и состо­

k — коэффициент пропорциональности, характеризующий

287

жесткость основания и иногда называемый коэффициентом постели. Известно, что эта модель небезупречна и подвер­ галась строгой критике в задачах статики балок на упру­ гом основании. Тем не менее мы воспользуемся этой мо­ делью и пойдем еще дальше по пути схематизации, счи­ тая, что упругое основание лишено свойств инерции и демпфирования. Таким образом, упругость останется един­ ственным физическим свойством, которым обладает исполь­

ференциальное уравнение изгиба балки записывается в форме

Здесь правая часть представляет собой интенсивность нагрузки и состоит из двух членов: инерционной нагрузки

иреакции упругого основания. Перепишем уравнение (37.2) в форме

Здесь аргумент Z—z—vt представляетсобой абсциссу текущего сечения балки, отсчитываемую от подвижного начала координат, совмещенного с грузом. Нашей задачей является выяснение вида вновь введенной функции }.

Нели обозначать штрихами дифференцирование этой функции по ее аргументу | —z —vi, то нужные нам про­ изводные функции у запишутся в виде

Теперь уравнение в частных производных (37.3) переходит в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Линейное дифференциальное уравнение (37.7) имеет постоянные коэффициенты, и мы, не задерживаясь на

288

подробностях его простого решения, приведем оконча­ тельные результаты. Для той части бегущей волны, ко­ торая расположена впереди движущегося груза (т. е. при

Для другой части волны (при £<©) уравнение изогну­ той оси имеет ту же форму:

/|» е '® 5 (£>, sinp£-(-DJcosp|)4eI 6 (£), siпр| 4 £>4 cosPi),

(37.10)

но, конечно, с другими значениями постоянных.

Для определения восьми постоянных С, и D(, входя­ щих в выражения (37,8) и (37.10), воспользуемся следую­

Таким образом, бегущая волна имеет симметричную форму, и для анализа полученных результатов достаточно

289