книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

уравнение моментов относительно шарнира 3 содержит инер­ ционный член и имеет вид

частота свободных колебаний системы обращается в нуль, т. е. система становится неустойчивой. Для критической силы из (34.29) следует прежний результат (34.26).

Теперь вернемся к нашей теме и рассмотрим случай, когда сила Р изменяется по гармоническому закону

Тогда уравнение колебаний стержня (25.19) запишет:*! в ви­ де

Это уравнение приводится к уравнению Матье (34.7), если положить

* - » ' • « = = Р <3 ,3 3 >

где Р„„ — эйлерова критическая сила, данная выражением (34.26).

При возрастании частоты то параметры а и q пропор­ ционально уменьшаются. Штриховой луч па рис. 34.4 ука­ зывает, что система проходит ряд последовательно череду­ ющихся устойчивых и неустойчивых состояний. Наклон этого луча определяется отношением

Р» к критическому значению Ркр, тем круче проходит луч и тем шире пересекаемые участки областей неустойчивости. Конечно, это естественно, так как приближение силы Р„ к эйлеровой силе должно облегчить возникновение неустой­

271

чивости. Впрочем, потеря устойчивости возможна при сколь угодно малых сжимающих силах Р„ и даже при растягиваю­ щих силах. Хотя при />п< 0 луч q—ka проходит весьма по­ лого, но также пересекает ряд областей неустойчивости.

Устойчивость упругих систем при действии периодиче­ ских параметрических нагрузок впервые была изучена в 1924 г. И. М. Беляевым *), который рассматривал гиб­ кую двухопорную стойку с шарнирами по концам и равно­ мерно распределенной массой т (рис. 34.12). Это решение

можно получить, исходя из дифференци­ ального уравнения статического продоль­ но-поперечного изгиба

EJvlv -! Pv’ — q,

вкотором V—v(z) — отклонения произ­

жесткость при изгибе, q=q(z) — интенсив­ ность распределенной поперечной нагруз­ ки. Для того чтобы перейти к задаче о ко­ лебаниях, нужно считать отклонения функ­ цией двух переменных v—v(z, f) и при­ нять за поперечную нагрузку силы инер-

d*v

ции интенсивности — m - ^ r .

Считая, что продольная сила опреде­ ляется выражением (34.30), приходим к дифференциальггому уравнению в частных производных

E J W + lp * ' / \ c o s « , o g + / n g = 0.

Граничным условиям задачи удовлетворяют решения вида tr= Г (Z)sin-^y-.

*) Николай Михайлович Беляев (1890— 1944) — профессор Ленин­ градского института инженеров железнодорожного транспорта; в по­ следние годи жизни — заместитель директора Института механики Академии наук СССР Член-корреснондснт АН СССР (с 1939 г.). Автор ряда крупных исследовании в области прикладной теории упругости, в частности, первого исследования параметрических колебаний стержней.

272

где Рк,,=п*ЕЛ1а— первая эйлерова критическая сила для рассматриваемого стержня. Нели теперь положить

го вновь получится уравнение Л1атье (34.7). Изложенные выше соображения о возможной неустойчивости показан­ ной на рис. 34.11 упрощенной схемы полностью сохраня­ ют свою силу и в задаче Н. М. Беляева.

Любопытно, что системы, показанные на рис. 34.11 и 34.12, могут оказаться устойчивыми даже и в тех случаях, когда статическая составляющая сжимающей силы б о л ь-

втором квадранте диаграммы Айпса — Стретта; на рис. 34.13

видно, что и в этом случае возможна устойчивость системы (в надлежаще выбранном диапазоне изменения частот «). Таким образом, колебательная составляющая продольной силы при известных условиях может стабилизировать сис­ тему. которая неустойчива при действии только статиче­ ской составляющей. Па удивительный эффект в и б р а - и н о н н о й с т а б и л и з а ц и и упругих систем впер­

273

вые указал В. Н. Челомей в 1956 г. Дальнейшее развитие этой идеи можно найти в работах К. Г. Валеева (1971) и В. В. Болотина (1974).

в. Периодическое изменение инерции. На рис. 34.14 изображен горизонтально расположенный диск 1, имею­ щий форму чаши, закрепленный на упругом вертикаль­ ном стержне 2. С диском связаны концы жесткой спицы 3, вдоль которой могут скользить два симметрично распо­ ложенных груза 4. Положим, что грузам задано гармони­ ческое движение, симметричное относительно оси диска,

и нужно исследовать крутильные колебания диска вокруг оси стержня. Если / в— собственный момент инерции дис­ ка относительно этой оси, то полный момент инерции сис­ темы диск — грузы составляет

Отсюда видно, что момент инерции рассматриваемой систе­ мы является периодической функцией времени.

Не следует думать, что для учета этого обстоятельства достаточно подставить в дифференциальное уравнение

вместо / функцию времени (34.37). Дело обстоит несколько сложнее. Дифференциальное уравнение (34.38) справед­ ливо только для твердого тела, обладающего постоянным значением момента инерции, и для рассматриваемой систе­ мы оно вообще ие годится. Правильное дифференциальное уравнение можно получить, например, с помощью теоремы об изменении момента количеств движения системы в виде

Это уравнение, в отличие от уравнения (34.38), содержит

первую upon «водную искомой фуикци;| ф. и iu него урав­ нение Матье в виде (34.7) непосредственно не вытекает.

274

Тем не менее и в этой системе возможна раскачка колеба­ ний, так как коэффициент при функции <р периодически ме­ няется во времени.

г. Смешанные случаи. Возможны случаи, когда в ме­ ханической системе периодически изменяется как жесткость, так и инерция. Рассмотрим, например, систему, представ­ ленную на рис. 34.15, а (маятник переменной длины).

«)

Рис. 34.15. Смешанные слу­ чаи возникновения парамет­ рического возбуждении

В этой системе втулка массы т совершает заданные колебания но закону

Момент количеств движения системы определяется выра­

жением т г/5, в котором ф — у т л отклонения стержня от вертикали. Производная этой величины но времени

Здесь видно, что все три коэффициента уравнения — инерции, демпфирования и жесткости — зависят от /, т. е. являются заданными функциями времени. Впрочем, после очевидных упрощений, уравнение (34.43) принимает вид, в принципе тот же, как и уравнение (34.40):

275

К этой же схеме приводится, например, задача о коле­ баниях качелей (рис. 34.15,6). Раскачивание колебаний происходит благодаря периодическим приседаниям чело­ века. стоящего на качелях; при этом центр масс системы

нити, пропущенной через верхнее кольцо, можно наблю­ дать параметрический резонанс системы.

В заключение параграфа сделаем еще несколько за­ мечаний относительно выполненных к настоящему време­ ни исследований параметрического резонанса.

1.Кроме параметрических колебаний стержней изу­ чены параметрические колебания многих других упругих систем (кольца, пластинки и т. п.).

2.Изучался параметрический резонанс, вызываемый

периодическим, по н е г а р м о н и ч е с к и м в о з б у ж ­ д е н и е м (типа «прямоугольного синуса» — Е. Меттлером, периодическими импульсами — В. А. Гастевым).

3. Исследовано влияние н е у п р у г и х с о п р о т и в ­ л е н и й (в частности, вязкого трения). При этом уста­ новлено, что такие сопротивления, как правило, несколько суживают границы областей неустойчивости; впрочем, в 1961 г. Ф. Вейденхзшер и Г. Шмидт установили, что в не­ которых случаях эти границы расширяются (ими рассмо­ трен материал, следующий закону деформирования стан­ дартного линейного вязкоупругою тела).

4. Кроме условий возникновения параметрического ре­ зонанса, которые можно установить путем анализа лине­ аризованных уравнений, изучены н е л и н е й н ы е з а ­ д а ч и о параметрических колебаниях в зонах неустойчи­ вости и определены амплитуды установившихся колебаний типа параметрического резонанса (В. В. Болотин, Ф. Вей­ денхаммер).

Об этих исследованиях см. книгу В. В. Болотина (1956), обзор Ивен-Ивановски (1965) и книгу Г. Шмидта (1975, русское издание 1978 г.).

Статья Н. М. Беляева «Устойчивость призматических стержней при действии продольных периодических сил» была опубликована в сборнике «Инженерные сооружения и строительная механика» (Ленин­ град, 19124).

О стабилизирующем влиянии параметрического возбуждения см. статью П. Л. Капицы в «Журнале экспернмептальной и теоретической физики» (1951. т. 21, пни. 5) и статью В. II. Чсломея в «Докладах АН

СССР» (1906, г. 110, № 3), а также более поздние работы К- Г. Валеева

276

(Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971, № 4) и В. В. Болотина (Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974, № ft). См. также книгу Т. Г. Стрижак «Методы исследования динамических систем типа «ма­ ятник» (Алма-Ата: Наука, 1981).

Параметрический резонанс в шахтных подъемниках был иссле­ дован Ю. Г. Исполовым (Труды Лснингр. политехи, ии-та, 1905, № 265). Рис. 34.2 заимствован нами из книги В. Канннгхэма «Введение в теорию нелинейных систем» (М.; Л.: Госэнергоиздат, 1962). Уравнения гранич­ ных линий на диаграмме Айнса — Стретта см. в книге Г. Каудерера «Нелинейная механика» (М.: ИЛ, 1961).

Проблемам параметрических колебаний посвящены книги В. В. Бо­ лотина «Динамическая устойчивость упругих систем» (М.: Гостехиздат, 1956), Г. Шмидта «Параметрические колебания» (М.: Мир, 1978) и С. Л. Чсчурина «Параметрические колебания и устойчивость периоди­ ческого движения» (Л.: Изд-во ЛГУ, 1983). См. также обзор Ивеп-Ива- новски в «Applied Mechanics Reviews» (1965, т. 18, № 9).

Г л а в а VII

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

Настоящая глава посвящена проблеме действия дви­ жущихся грузов на упругие конструкции. В § 35 дается краткий исторический очерк возникновения и развития

теории. В следующем § 36 описывается ошибочное реше­ ние одной из простых задач; хотя оно было предложено

более ста лет назад, разбор допущенной ошибки остает­ ся поучительным и в паши дни. Последние два параграфа (§ 37 и 38) содержат решения двух, в некотором смысле исключительных задач о действии подвижной нагрузки.

§ 35. Краткая историческая справка

Теория динамического действия подвижной нагрузки на упругие конструкции возникла задолго до завершения теории статического расчета стержневых систем и имеет более чем вековую историю. Непосредственным поводом для постановки первых теоретических и эксперименталь­ ных исследований динамического действия подвижных грузов послужило обрушение Честерского моста (Анг­ лия) в 1847 г. Эта катастрофа сопровождалась человече­ скими жертвами и вызвала серьезную тревогу в среде английских инженеров-строптелей. Перед исследователя­ ми возник вопрос о том, в какой мере эффекты, вызывае­ мые в упругой конструкции подвижной нагрузкой, т. е. прогибы ц внутренние усилия, отличаются от соответст­

277

вующих эффектов, которые возникают в условиях стати­ ческого нагружения.

Одна из первых попыток теоретического решения этого вопроса привела к заключению, что динамические эффек­ ты должны быть в два раза больше статических. Автор этого заключения X. Кокс рассуждал следующим образом. Пусть Р — вес груза, катящегося вдоль шарнирно опертой балки, EJ — ее жесткость поперечного сечения балки при изгибе, I — пролет балки, f — прогиб балки в момент прохода груза через ее середину (рис. 35.1). Тогда к этому

Рис. 35.1. Изгиб балки под действи­ ем движущегося точечного груза

моменту сила Рсовершит работу Pf\ потенциальная энергия изгиба балки в тот же момент времени составит ^ 1 • ^ •

Р/*

Приравняв оба выражения, Кокс нашел / — '2АЁТ’ т‘ с*

динамический прогиб вдвое больше статического прогиба

РР

ict — 48gJ . Как видно, в этом рассуждении масса балки

полагается равной нулю (в противном случае следовало бы учесть кинетическую энергию балки).

Этот результат был полечен в 1848 г., но уже в 1849 г. был опровергнут Стоксом *). Стокс обратил внимание на ошибку в балансе энергии; Кокс пропустил работу гори­ зонтальной силы, необходимой для поддержания постоян­ ной скорости движения груза по балке. Если же считать, что такая сила отсутствует, то скорость груза, катящегося по криволинейному пути, не может оставаться постоянной

инужно учесть изменение кинетической энергии груза.

Стех пор было опубликовано большое число теорети: ческих и экспериментальных исследований, связанных

главным образом с действием подвижной нагрузки НЯ мосты В последнее время появилась еще одна важная область приложения теории -действие протекающей жид­ кости на гибкие трубопроводы.

*1 Джордж I абрисль Стоке (1819—1903) - английский физик ■ математик, член (с 1851 г.) и президент (1885—1890) Лондонского кор©*' ленского общества Труды Стокса посвящены оптике, гидродинамике и математической физике.

m

В зависимости от способа схематизации инерционных свойств тел, образующих систему, существуют четыре принципиально различных варианта постановки задачи о действии подвижной нагрузки. Отличительные черты этих вариантов можно видеть в следующей таблице, относя­ щейся к двухопорной балке.

M s Z

нет да

М т Р ^ _____ „ v Мт 1

Да нет

____

Кратко охарактеризуем каждый из этих вариантов. Вариант 1. Все инерционные эффекты предполагаются пренебрежимо малыми и давление груза на балку при­ нимается равным весу груза. При такой постановке учи­ тывается, можно сказать, не «динамичность», а «кинематичность» нагрузки, т. е. переменность расстояния г во времени (г—vt при постоянной скорости движения груза о). В 1868 г., независимо друг от друга, Э. Винклер и О. Мор *) предложили при решении таких задач строить

специальные графики, называемые ныне линиями влияния

(в старой русской технической литературе их называли

инфлюентными линиями) — графики изменения внутрен­ них усилий или перемещений в зависимости от коорди­ наты груза, графики строятся в предположении, что вес груза равен единице. На рис. 35.2 показаны примеры: линия влияния левой опорной реакции (рис. 35.2, а), линия влияния изгибающего момента в середине балки (рис. 35.2, б), линия влияния прогиба середины балки (рис. 35.2, в).

*) Отто .Мор (1835— 1918) — профессор Штутгартского, а затем Дрезденского иолитсхникумоп. Автор реп» работ в области сопротивле­ ния материалов и строительной механики.

279

При статическом расчете мостов с помощью линий влияния определяют эффекты одновременного приложения различных систем сил, а также находят самое невыгодное расположение грузов.

Понятно, что такая квазистатическая постановка за­ дачи уместна лишь при достаточно малых скоростях дви­

Это выражение получается из чисто статического реше­ ния, однако входящая сюда величина N заранее неизве­ стна и согласно (35.1) сама зависит от прогиба у. Иск­ лючив давление N из равенств (35.1) и (35.2), Виллис

Однако Виллис не смог решить это непростое уравне­ ние с переменными коэффициентами и обратился за по­ мощью к Стоксу, который в том же году дал решение

№