книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

момента, а, наоборот, его уменьшение (участок АВ). Точке В(ф«=я) соответствует состояние неустойчивого равновесия без внешней нагрузки. Для постепенного дальнейшего уве­

личения фо требуется момент обратного знака (участок

BCD).

Безразмерный момент т', соответствующий максимуму

кривой, определяет наибольшее значение сопротивления повороту; оно является критическим значением нагрузки,

показано на рис. 13.6, а штриховыми стрелками. Однако после перескока система не придет в состояние устойчивого равновесия, и сразу же произойдет следующий перескок и

что значение ml является минимальным значением безраз­ мерного момента, обеспечивающим непрерывное вращение стержня. Так как при больших нагрузках равновесных со­ стояний кет вообще, то обсуждаемая здесь система ближе к другим системам, рассмотренным в этой главе, чем к си­ стемам с перескоками, которым была посвящена вторая глава.

стержней с различным значе­ нием a&i', здесь же штриховой прямой показана зависимость nu^ttla (фо) ДЛЯ консольного стержня с прямолинейной осью.

112

Легко видеть, что при некоторых значениях парамет­ ра а&, криволинейный стержень, свободно лежащий в оболочке, повернуть труднее, чем прямолинейный стержень такой же длины с жестким закреплением. Вот до ка­ кой степени гибкий вал может утратить свойства ме­ ханизма)

Явления, происходящие при вращении ведущего конца гибкого вала, во многом сходны с явлениями, происходя­ щими при нагружении кольца опрокидывающими момента• ми (рис. 13.8). График зависимости между нагрузкой и углом поворота сечения имеет такой же вид, как график, изображенный выше на рис. 13.6, а. При малых значениях

Рис. 13.8. Схема нагружения кольца равномерно распределенными опрокидывающими моментами

момента кольцо обнаруживает упругое сопротивление оп­ рокидыванию. Однако существует некоторое критическое значение момента, после достижения которого кольцо теряет устойчивость и начинается безостановочная серия переско­ ков; кольцо превращается в своеобразный механизм.

Впервые поведение гибкого вала при его вращении исследовано в статьях И. И. Губановой «Вращение криволинейного упругого стержня в иедеформируемой криволинейной оболочке» (Изв. АН ЛатвССР, 1956, № 10), «Осложненные случаи вращения криволинейного упругого стержня в криволинейной трубке» (об. «Вопросы динамики и прочнос­ ти», Рига, 1958, выл. V). Дальнейшая разработка той же проблемы дама в работах М. F. Massoud (Trans. ASME, 1963, ser. E, № 3), А. П. Гусь­ кова и В. А. Светлицкого (об. «Расчеты на прочность в машинострое­ нии», М.: Машиностроение, 1977, № 18).

Задача об опрокидывании кольца была решена Р. Граммелем (см. Бицено К., Граммель Р. Техническая динамика.— М.: Гостехнэаат, 1950, т. 1).

113

Г л а в а IV

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ИСЧЕЗНОВЕНИИ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ

В этой главе рассматривается тот особый вид потери устойчивости, когда при некоторой нагрузке упругая си­ стема вообще перестает обладать устойчивыми формами равновесия и переходит от покоя к движению. Этот вид потери устойчивости был проиллюстрирован рис. 0.4 введе­ ния и связан, в частности, с проблемой действия «следящих» нагрузок, направление которых меняется при изменениях конфигурации системы.

§ 14. Следящие нагрузки. Статическая

постановка задачи

Положим, что упругая консольная стойка нагружена на конце сжимающей силой Р. Чему равно критическое значение силы? Кажется, что известная из общего курса сопротивления материалов

формула

Два таких варианта показаны на рис. 14.1, б и в. В пер­ вом случае сжимающая сила проходит через фиксирован­ ную точку А при любых отклонениях стойки. Во втором случае сжимающая сила остается перпендикулярной к тор­ цу консоли; такую силу иногда называют тангенциальной

114

(она касательна к оси стержня в концевом сечении), но ча­ ще — следящей. Практически следящая сила может возник­

нуть, например, при истечении струи под давлением из емкости, установленной на конце стойки (или из ракетного двигателя).

Если, следуя методу Эйлера, изучать возможности су­ ществования отклоненного состояния равновесия, то нужно исходить из дифференциального уравнения изогнутой оси стержня

o,v + a V = 0

(14.2)

(a* = />/(£/)),

которое в равной степени пригодно для всех трех случаев, изображенных на рис. 14.1; то же относится и к виду общего решения этого уравнения:

Для названных случаев совпадает и запись большинства граничных условий:

Но четвертое граничное условие, относящееся к перере­ зывающей силе *) на конце стержня (при г=1), в случаях а, бив выглядит по-разному:

В этих различиях и сказывается влияние особенностей поведения нагрузки при изгибе стойки.

Если далее последовать методу Эйлера, то для случая а получится приведенный выше результат (14.1). а для слу-

*) Здесь применена герминология, которой пользовался II. Ф. Папкович. Под перерезывающей силой подразумевается проекция полной силы, действующей в рассматриваемом сечении, на направление этого сечения в д е ф о р м и р о в а н н о м состоянии; перерезываю­ щая сила равна EJv“' . В отличие от этого, поперечной силой называется проекция той же полной силы на направление сечения в недеформиропанном состоянии (см. Папкович П. Ф. Строительная механика кораб­ ля.— Л .: Изд-восудостроительной промышленности. 1941. т. II. с. 252).

При малых перемещениях и в отсутствие продольных сил попереч­ ная и перерезывающая силы неразличимы. Из-за этого часто полагают, что одному понятию соответствуют два как бы конкурирующих термина; по мысли П. Ф. Папковича, эти термины следует связывать с двумя, вообще говоря, несовпадающими понятиями.

115

чая б — трансцендентное уравнение, определяющее крити­ ческие значения безразмерного параметра аI:

В частности, при удалении точки А в бесконечность г //-* о о и уравнение (14.8) принимает вид tg а/= о о ; отсюда следует прежний результат (14.1). При конечных значениях г кри­ тическая сила оказывается иной. Так, например, при г—1 характеристическое уравнение принимает вид t g a / —2а/; наименьший отличный от нуля корень этого уравнения («/)кр= 1.166, т. е. критическая сила равна

Уже отсюда видно, что критическое значение нагрузки существенно зависит от характера поведения нагрузки при изгибе стойки.

Случай 6 разберем подробнее. Рассматривая отклоненное положение, можно заметить, что горизонтальная составляю­ щая сжимающей силы противодействует изгибу стойки; поэтому можно ожидать, что критическая сила окажется большей, чем по формуле (14.1). Сейчас мы увидим, в какой неожиданной мере оправдывается это предположение.

Четыре постоянные, входящие в общее решение (14.3), связаны между собой граничными условиями (14.4) и (14.7). Подставляя (14.3) в эти условия, получим однородную си­ стему

Сразу обратим внимание на два последних уравнения — в них входят только постоянные С* и С*. Система этих урав­ нений имеет решение С»=С»=0, которое является тривиаль­ ным и соответствует исходной форме равновесия. Иное, от­ личное от нуля решение системы возможно, если ее опреде­ литель равен нулю. Но в нашем случае это исключено, так как

независимо от значения параметра a /.

Следовательно, система двух последних уравнений (14.10) имеет только гривналыюе решение С3= С 4= 0 ; при

U 6

этом из двух первых уравнений (14.10) следует, что С,= =С,=0.

Впрочем, внимательный читатель, вероятно, уже заме* тил несовершенство схемы изгиба на рис. 14.1, в: кривизна оси не согласована но знаку с изгибающим моментом в лю­ бом сечении стержня. Попытки исправить рисунок так, чтобы было достигнуто соответствие знаков кривизны и изгибающего момента, обречены на неудачу (попробуйте!). Уже это чисто качественное соображение позволяет усом­ ниться в существовании изогнутых форм равновесия. Итак, прямолинейная форма является единственной формой рав­ новесия.

поскольку отклоненных форм равновесия нет, то прямоли* нейная форма устойчива при любых значениях сжимающей силы; соответственно стойка, изображенная на рис. Н .\, в, была названа стойкой, не теряющей устойчивости. В этом выводе допущена ошибка, которая в логике называется под­ меной тезиса.

В самом деле, следует различать две ситуации: 1) отсут­ ствие отклоненных форм равновесия, т. е. единственность прямолинейной формы равновесия; 2) устойчивость этой прямолинейной формы равновесия.

Лишь привычка к постановке задачи Эйлера мешает уловить разницу между этими ситуациями. Дело в том, что из е д и н с т в е н н о с т и прямолинейной формы рав­ новесия вовсе не следует, что она у с т о й ч и в а. Напри­ мер, можно себе представить, что после возмущения этой формы стержень станет колебаться около нее с возрастаю­ щими амплитудами. Возможно также монотонное удаление от исходной формы равновесия.

Таким образом, тщетность поисков смежных форм рав­ новесия еще не дает права признать исходную прямолиней­ ную форму равновесия устойчивой. Для надежной опенки устойчивости системы необходимо отказаться от статическо­ го метода Эйлера и обратиться к динамическому анализу, что и сделано в следующем параграфе. Забегая несколько вперед, сообщим читателю, что критическое значение следя­ щей сжимающей силы составляет 20,05 EJH* (при равномер­ ном распределении массы вдоль оси).

117

Обнаруженное выше отсутствие смежных форм равнове­ сия само по себе несколько настораживает и заставляет усомниться в самом методе Эйлера. Но существуют более коварные случаи, когда результаты применения метода Эйлера не содержат в себе ничего подозрительного, кажутся вполне правдоподобными, а в действительности лишены какой-либо ценности.

В 1952 г. Г. Циглер подробно и в различных вариантах рассмотрел модельную задачу о действии следящей силы на

существует нетривиальное положение равновесия. Этот результат выглядит самым заурядным, а конечность эйле­ рова значения нагрузки может усыпить внимание и привести

кошибочной оценке ситуации. Дело в том, что, как показал

Г.Циглер, на самом деле потеря устойчивости наступает

при м е н ь ш е й силе

+ 2 0 - Y 2 Ж + 3 Т ° ' + Й‘ .

118

но это не эйлерова потеря устойчивости, в переход системы от покоя к движению — колебапиям с возрастающими ам­ плитудами. Чтобы выявить такую опасность, необходим динамический анализ возмущенного движения.

Однако кое-что полезное можно почерпнуть и из стати­ ческого анализа, если не требовать от него больше, чем он в принципе может дать. В частности, статический анализ позволяет выявить некоторые любопытные а н о м а л и и продольно-поперечного изгиба той же стойки, если к ней кроме следящей силы одновременно приложена какая-либо поперечная нагрузка, например, внешний изгибающий мо­ мент Af* на конце стержня (рис. 14.3, а). В данном случае изогнутая ось описывается прежним уравнением (14.3), а для определения постоянных интегрирования служат гра­ ничные условия

v (0) = 0, о' (0) = 0, £ЛЛ(/) = Л1., о '" (0 = 0.

При этом решение запишется в следующем виде:

о — •мt *j [(1—cos аг) cos а /- Н а г — sin аг) sin а/]. (14.12)

двух последних кривых. Так, например, если к стойке, нагруженной достаточно большой следящей силой, дополни­ тельно приложить положительный момент, соответствующий рис. 14.3, а, то стойка изгибается в направлении, противо­

лению внешнего момента.

Аномальные свойства стойки можно легко установить и

из выражений для прогиба и угла поворота конца стойки:

которые вытекают из (14.12). Выражение (14.13) становится отрицательным, когда параметр а/ переходит через значение 2,331, а выражение (14.14) — когда а I становится большим, чем п. Я. Б. Львип, который в 1972 г. впервые отметил описанную аномалию, образно назвал ее негативизмом (в психиатрии так называют отрицательные устремления чело­ века, т. е. его склонность поступать противоположно внеш-

119

Нему воздействию). Заметим, что при малых значениях ос/ (например, при а /= 1 ) изгиб стойки происходит вполне «нормальным» образом, но с ростом at, в предкритическом состоянии все больше проявляются аномалии, как бы пред­ вещающие близкую потерю устойчивости.

Впрочем, по этому признаку все же нельзя предсказать, чану равно критическое значение параметра нагрузки; это значение (при равномерном распределении массы стержня по его длине а/=4,48) может быть найдено только путем динамического анализа и никак не вытекает из выражений (14.13) и (14.14).

Ошибочное заключение А. Пфлюгера о неограниченной устойчи­ вости стойки, сжатой следящей силой, приведено в его книге «StabilitStsprobleme der Elastostatik* (Berlin: springer-Verlag, I960). Любо­ пытно, что в том же году к тому же заключению пришел В. И. Феодосьев, см. задачу № 95 в первом издании его книги «Избранные вопросы и задачи посопротивлению материалов» (М.: Гостехиздат, 1950); в треть­ ем издании дано правильное решение.

Случай следящей силы рассматривается в книге А. Р. Ржаницина «Устойчивость упругих систем» (М.: Гостехиздат, 1955) под заголовком «Невозможный случай граничных условий». На с. 162 из верного ут­ верждения о веконсервативности следящей силы делается неожиданный вывод: «Поэтому практически подобные условия осуществить невоз­ можно». Здесь совершенно напрасно осуществимость тех или иных граничных условий связывается с консервативностью системы.

Упомянутая выше работа Г. Циглера опубликована в журнале «Ing. Archiv» (1952, т. 20, № 1). Негативизму стержня, сжатого следя­ щей силой и поперечной нагрузкой, был посвящен доклад Я. Б. Львииа на Всесоюзной конференции по строительной механике (Ленинград, 1977 г.). См. также статью В. В. Болотина в сб. «Проблемы устойчивос­ ти в строительной механике» (М.: Наука, 1965, рис. 10).

$ 15. Следящие нагрузки. Динамическая постановка задачи

Как уже говорилось во введении, для динамического исследования устойчивости равновесного состояния меха­ нической системы изучают ее движение, возникающее после некоторого начального возмущения; по свойствам этого возмущенного движения можно судить об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия. Если окажется, что возмущенное движение происходит в виде колебаний с воз­ растающими амплитудами или же представляет собой неко­ лебательный уход от состояния равновесия, то последнее неустойчиво.

Вновь обращаясь к вопросу об устойчивости консольной стойки, нагруженной следящей силой, положим, что исход­ ное состояние равновесия, соответствующее прямолинейной

120