книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

ражает тенденцию прогибов к увеличению при росте ско­ рости движения груза.

Автором приведенного решеивя является В. Л . Бядерман (см. книгу: Пономарев С. Д ., Бидерыан В. Л ., Лихарев К. К., Макушин В. М., Фоодосьев В. И. Основы современных методов расчета на проч­ ность в машиностроении,— М.: Машгнэ, 1952, с. 198—202).

§ 38. Действие равномерно распределенной ' движущейся нагрузки

В предыдущем параграфе разобран особенный случай действия подвижкой нагрузки, в котором масса г р у з а не имела никакого значения. Здесь мы остановимся на другом столь же особенном случае, в котором, однако, не играет роли масса у п р у г о й к о н с т р у к ц и и .

Вотличие от рассмотренных выше задач, где речь шла

одвижении одиночного груза, обратимся к анализу дей­

ствия бесконечной полосы равномерно распределенной

ш ш ш ш ш н ш и Е Б

Рис. 38.1. Действие равномерно распределенной движущейся нагрузки

нагрузки q, движущейся вдоль балки с постоянной ско­ ростью v (рис. 38.1). Эта система может находиться в ква­ зистатическом состоянии, которому соответствует неиз­ менная во времени кривая изгиба балки. Одновременно эта кривая является также траекторией движения эле­ ментов подвижной нагрузки. Вследствие кривизны тра­ ектории сила действия элемента подвижной нагрузки на балку не равна его весу, а определяется суммой веса q dz

и силы инерции —^ ~ d z {у — прогиб балки, р — радиус

кривизны, и2/р — вертикальное ускорение элемента на­ грузки). Если р — интенсивность собственного веса балки, то интенсивность полной нагрузки на балку составляет

Соответственно этому дифференциальное уравнение изог­ нутой оси балки имеет вид

291

В частности, наибольший прогиб балки (в середине про­ лета) оказывается равным

,38'5)

Как видно, он увеличивается с ростом скорости v и стре­ мится к бесконечности при и п/2. Таким образом, ско­ рость

0= у ] / ( 3 8 . 6 )

является критической. Полезно заметить, что эта форму­ ла совпадает с формулой (4.48), найденной в § 4 при ис­ следовании устойчивости трубопровода, для которого под­ вижной нагрузкой является текущая жидкость.

менной во времени кривой изогнутой оси балки. Для иссле­ дования его устойчивости нужно изучить движение, ко­ торое будет совершать система около квазистатического режима, если он будет нарушен каким-либо возмущением.

При этом движении изогнутая ось уже пе будет оста­ ваться неизменной во времени, а ее уравнение представит

Соответственно появятся силы инерции элементов самой балки, а силы инерции подвижной нагрузки будут опи­ сываться сложнее, чем в случае квазистатического режима.

Интенсивность сил инерции балки определяется через частную производную

292

Для определения сил инерции подвижной нагрузки необходимо учитывать, что координата г элементов на­ грузки сама зависит от времени:

г —vt,

поэтому проекция скорости элемента подвижной кагрузкл на ось у равна полной производной

<>» ду ду dz dy ду И ~ д П д г < и

Аналогично вертикальное ускорение элемента подвижной нагрузки следует записать в виде

Часто третье слагаемое уравнения (38.9) относительно мало, а в одном случае даже точно равно нулю *). По­ этому ограничимся решением упрощенного уравнения

*) Эго —случай встречного движения двух полос нагрузки со Скоростями v и —о вдоль двухопорной балки (движение вдоль моста двух поездов навстречу друг другу).

293

Этому уравнению и граничным условиям шарнирного опи рания удовлетворяет функция

Важно заметить, что они зависят от скорости движения нагрузки. Критическим следует считать состояние, когда собственная частота обращается в нуль. Это состояние определяется условием

и ее наименьшее значение (при я = 1) совпадает с резуль­ татом (38.6).

Решение задачи для квазистационарного режима дал Бресс в книге, указанной на с. 318.

В статье Х.Эшлн и Г. Хевиланда «Изгибные колебания трубы, содержащей текущую жидкость» (Journal of applied mechanics, 1950, № 3) допущены ошибки при составлении основного дифференциального уравнения задачи. См. об этом в статье В. И. Феодосьева «О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости» (Ипж. сб., Изд-во АН СССР, 1951, т. л ). Более полный анализ проблемы см. а статьях О. Н. Мухина «Динамический критерий устойчивости трубо­ провода с протекающей жидкостью» (Изв. АН СССР, Механика, (965» АЙЗ) и А. А. Мовчана «Об одной задаче устойчивости трубы при про­ текании через нее жидкости» (ПММ, 1905, т. 29, вып. 4 с. 760—762).

Околебаниях моста при встречном движении поездов см. в книге

И.И. Гольденблата «Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений» (М.: Госстройиэдат, 1947).

Близкой теме посвящена статья Я. Кожешника «Поперечное коле-, бание напряженных гибких звеньев передач» (сб. «Теория механизмов и машин», посвященный 70-летию И. И. Артоболевского,— М,: Наука, 1976, с. 170— 176).

294

Г л а в а VIII

АЭРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ

Напомним читателю, что с задачами аэроупругости мы

§ 39. О динамических задачах теории

аэроупругостн

При динамической постановке задачи об аэроупругой неустойчивости наряду с аэродинамическими и упругими силами в рассмотрение вводятся также силы инерции и исследуется процесс движения во времени. Это позволяет установить такие опасности потери устойчивости упругих конструкций, находящихся в потоке газа, которые нельзя уловить при статическом анализе. Чаще всего динамическая потеря устойчивости наступает при скоростях меньших, чем критические скорости, вычисляемые на основе стати­ ческих представлений; это делает особенно важным изу­ чение динамических задач аэро­ упругости.

Наглядную характеристику раз­ личных типов задач аэроупругости дает схема, изображенная на рис.

39.1.

В вершинах символического треугольника буквами А, У и И отмечены все три категории сил, участвующих в явлениях аэроуп­ ругостн. С вершинами треуголь­ ника штриховыми линиями связа­ ны четыре кружка, соответствую­ щих определенным типам задач.

Если учитываются только силы упругости (У) и силы инерции (Я), то мы приходим к

задаче о свободных колебаниях механической системы (точка М на рис 39.1).

При решении задач о дивергенции мы учитывали только аэродинамические (А) и упругие (У) силы; такой поста­ новке отвечает кружок с буквой Д на рис. 39.1.

Задачи динамики полета жесткого самолета обозна­ чены на рис. 39.1 буквами Д/7; в нашей книге, посвя­

295

щенной деформируемым системам, эти задачи не рас­ сматриваются.

В каждом из перечисленных случаев учитываются только две категории сил. Наиболее полная постановка задач аэроупругости предусматривает одновременный учет всех трех категорий сил (буква Ф на рис. 39.1) *). Буква Ф означает флаттер — одно из наиболее опасных аэроупругих явлений.

Вот что пишет о развитии авиации в тридцатых годах нашего века один из крупнейших специалистов в области летных испытаний самолетов:

«С появлением новых скоростных самолетов в авиа­ ции едва ли не всех передовых стран мира прокатилась волна таинственных необъяснимых катастроф.

Случайные очевидцы, наблюдавшие эти катастрофы с земли, видели во всех случаях почти одинаковую картину: самолет летел совершенно нормально, ничто не внушало ни малейших опасений, как вдруг внезапно какая-то неведомая сила, будто взрывом, разрушала машину — и вот уже падают на землю изуродованные обломки: кры­ лья, оперение, фюзеляж...

Все очевидцы, не сговариваясь между собой, приме­ няли выражение — взрыв, так как не представляли себе других возможных причин столь молниеносного и полного разрушения. Однако осмотр упавших обломков не под­ тверждал этой версии: никаких следов взрыва — копоти или ожогов — на них не оказывалось.

Самым надежным источником информации — докладом экипажа потерпевшего аварию самолета — воспользовать­ ся, как правило,— увы! — не удавалось. Те же, насчи­ тываемые буквально единицами летчики, которым уда­ лось выбраться из стремительно летящих вниз, беспоря­ дочно вертящихся обломков фюзеляжа н воспользоваться парашютом, ничего сколько-нибудь существенного доба­ вить к рассказам наземных очевидцев не могли. Очень уж неожиданно и быстро развивались события: всего за несколько секунд до катастрофы ничто не предвещало ее, а затем сразу — удар, треск, грохот, и самолет разлетается на куски!

*) Такое представление нескольких механических задач с помощью единой схемы было предложено Колларом в 1930 г. Мы воспроизвела здесь лишь часть схемы Коллара и нс отметили некоторые другие явления, также' хорошо иллюстрируемые с помощью треугольника Коллара.

290

Новому грозному явлению было дано Название «флат­ тер» (от английского flutter — трепетать), но еще, если не ошибаюсь, Мольер сказал, что больному не делается легче от того, что он знает, как называется его болезнь по-латыни.

Одна за другой приходили тревожные вести о таинст­ венной гибели французских, английских, американских скоростных самолетов.

Не миновала сия горькая чаша и нас».

Таким образом, вначале инженеры и летчики еще не разбирались в причинах описанного грозного явления. Лишь после глубоких теоретических исследований, а так­ же натурных и модельных испытаний удалось устано­ вить, что флаттер — это проявление динамической неус­ тойчивости, когда возмущенное движение представляет собой упругие колебания со стремительно возрастающими амплитудами. Важно, что свойства устойчивости зависят от скорости полета — система, устойчивая при малых ско­ ростях, становится неустойчивой после того, как скорость достигла некоторого критического значения.

Основные трудности исследования флаттера несущих поверхностей самолета связаны со сложностью описания аэродинамических сил: возможность различного модели­ рования этих сил привела к нескольким вариантам тео­

рии флаттера. Анализ явления флаттера крыла, основан­ ный на так называемой квазиспшционарной теории, был

выполнен Р. Фрэзером и В. Дунканом, М. Раушером и Е. П. Гроссманом в 1928— 1937 гг. Более точно аэроди­ намические силы описываются в нестационарной теории классического флаттера, которая применялась й к изу­ чению колебаний лопаток турбомашин.

Впоследствии выявились другие ситуации, которые потребовали разработки особых -подходов к анализу аэро­ динамической неустойчивости. В частности, обнаружи­ лось, что при действии ветра возможна аэродинамиче­ ская неустойчивость крупных инженерных сооружений. Так, в 1940 г. по этой причине произошла одна из круп­ нейших аварий — обрушение Такомского моста; как выяс­ нилось, в данном случае имела место аэродинамическая неустойчивость особого вида, называемая срывным флат- тером; подобные явления с особой силой проявляются в случаях обтекания упругих конструкций потоком жид­ кости (в.частности, перископов подводных лодок).

После второй мировой войны в связи с развитием ра­ кетной техники интенсивно развивалась теория панель­

297‘

ного флаттера — явления аэроупругой неустойчивости панели, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. В по­ следнее время большое внимание уделяется родственным вопросам гидроупругих колебаний.

Перечисленные вопросы обсуждаются в следующих параграфах этой главы,— конечно, в сугубо эскизном виде.

Литература, относящаяся к различным типам флаттера, будет ука­ зана в конце каждого из следующих параграфов. Приведенная выше цитата заимствована нами из записок заслуженного летчикз-иепытате- ля СССР, Героя Советского Союза At. Л . Галлая («Новый мир», 1960, № 7. с. 113).

Очерк аэроупругих явлений см. в книге А. С. Вольмнра «Оболочки

Для выяснения природы классического флаттера рас­ смотрим колебания предельно упрощенной модели упруго закрепленной пластинки, изображенной на рис. 40.1; предполагается, что горизонтальные перемещения невоз­ можны. В отличие от схемы, принятой при изучении ди­

вергенции (рис. 4.9), плас­ тинка имеет две степени свободы, и ее положение характеризуется двумя ко­ ординатами — углом пово­ рота ф и вертикальным перемещением у середины пластинки. Обе координа­ ты являются функциями времени:

Ф = Ф(0 , У=У{0 - (40.1)

Нашей задачей является определение вида этих фун­ кций и затем — оценка воз­ можности флаттера.

Размер пластинки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, обозначим через /; коэффициенты жесткости упругих опор Cj и с3 будем относить к единице длины пластинки в указанном направлении. Положим также, что масса пластинки распределена равномерно, и обозначим через т массу, соответствующую единице площади срединной плоскости пластинки.

29а

На пластинку прн ее движении действует подъемная сила

приложенная на расстоянии а от правого края пластинки, а также реакции упругих опор, пропорциональные пере­ мешениям краев пластинки:

Составим дифференциальные уравнения движения . Одно из них описывает вертикальное движение центра тяжести пластинки

а другое — поворот пластинки

Подставляя сюда выражения (40.2), (40.4) и (40.5) для Y, R и М, получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Решение полученной однородной системы будем разыс­ кивать в виде

299

После подстановки этих выражений в (40.8) получим

А (— о* + QU )H- Ва1г= О,

(40.11)

A o u + B l — afi + a J - 0 .

При движении пластинки не может быть, чтобы Л и В одновременно равнялись нулю; из этого следует, что ра­ вен нулю определитель системы уравнений (40.11):

т. е.

Для устойчивости системы нужно, чтобы все четыре значения © были вещественными; в свою очередь для этого требуется, чтобы оба значения о>* были веществен­

Таким образом, для устойчивости рассматриваемой системы нужно, чтобы разность anat*—ol5a ai располага­

200