книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

и вместо однородною дифференциального уравнения (4.32) мы получим неоднородное дифференциальное уравнение

я пропорционален скорости течения жидкости. Рассматри­ ваемым граничным условиям и дифференциальному урав­

Отсюда можно заключить, что критическое состояние на­

т. е. при скорости течения жидкости вдвое большей, чем было найдено в §4 (см. формулу (4.37)).

Конечно, невозможно себе представить, чтобы пред­ варительная (и притом сколь угодно малая) погибь тру­ бопровода могла вдвое повысить его устойчивость. Все дело в том, что само решение (9.20) при sl=n становится неустойчивым, и мы можем убедиться в этом, исследуя диф­ ференциальное уравнение в вариациях.

Для этого предположим, что дифференциальное уравне­ ние (9.19) удовлетворяется не только найденным решением (9.20), но и смежным решением у(г)+Ъу(г). Подставив эту

существует ненулевое решение для функции by(2); это сви­ детельствует о неустойчивости решения (9.20) при si—л.

Таким образом, формально пользуясь деформационными расчетами (методом неидеальностей), мы можем не заметить некоторых критических состояний.

Нужно помнить об этой особенности деформационных расчетов (настоящий параграф и призван служить таким напоминанием), но в то же время было бы совершенно неверным преувеличивать ее значение. Деформационные

81

особенно если надлежащим образом учтены нелинейности и неидеальности системы.

Работу Г. Циглера см. в сборнике «Проблемы механики», вып. I I (М .: И Л , 1959, с. 119). Об ошибке, допущенной в книге B U r g e r m c is le r u. Steup «SUbilitatstheorie» (т. 1, Berlin, 1957. с. 583), см.: А . А . Пиков* ский «Статика стержневых систем со сжатыми элементами» (М .: Физматл», 1961, с. 361— 362). См. также доклад В. В . Болотина «О понятии устойчивости в строительной механике» (сб. «Проблемы устойчивости

В этом параграфе мы остановимся на особенностях постановки задач об устойчивости двух различных расчет­ ных объектов равномерно сжатой вдоль оси цилиндри­ ческой оболочки (в предположении малых осесимметрич­ ных перемещений) и внецеитренно сжатого тонкостенного стержня с открытым профилем (рис. 10.1). Обе задачи

Рис. 10.1. а) Схема цилин­ дрической круговой обо­ лочки; б) элементарная балка-полоска; «) анеценгрекно сжатый тонкостей* ный стержень открытого

профиля

были решены давно: первая в 1908 г., а вторая в 1940 г., но впоследствии они дали повод для оживления споров, полностью не утихших до настоящего времени. Как мы

и д е а л ь н о с т и и «чистая» эйлерова постановка задач, основанная на предположении, что неидеальности отсут­ ствуют, попросту невозможна. Тем не менее в решениях Р. Лоренца и В. 3. Власова (первых исследователей ука­ занных задач) можно заметить стремление игнорировать

62

случае шарнирного опирання торцевых сечений и принял

Jiff»

w —0, *5р - —0 при 2— 0 и г = 1. (10.2)

В этом случае решение дифференциальногоуравнения (10.1) имеет вид

Здесь п — произвольное целое число, равное числу полу­ волн, на которые подразделяется образующая оболочки при потере устойчивости. Подставляя (10.3) в (10.1), по­ лучим уравнение

из которого следует выражение для критического сжимаю­ щего усилия:

Как видно, результат зависит от числа п. Последнее мож­ но найти, исходя из условий, что практическое значение имеет наименьшая нагрузка, которая может быть получена из формулы (10.5). Полагая, что л>1 (это допустимо для достаточно длинных оболочек), можно рассматривать Т как функцию непрерывного аргумента п и записать уеловне минимума Т в виде

Отсюда, 8 частности, вытекает выражение (6.4), которое уже обсуждалось (правда, в другой связи) в § 6. Вскоре после Лоренца С. П. Тимошенко пришел к тому же резуль­

В 1926 г. Л. Феппль обратил внимание на особую роль, которую играет граничное условие » = 0 в рассматриваемой

84

задаче. Дело в том, что вследствие эффекта Пуассона уже с самого начала нагружения возникает тенденция к поле* речному расширению оболочки. Поэтому, если закрепление

концов именно такое, как это принял Лоренц, т. е. ® =0 при г—0 и г—1, то уже при малых нагрузках срединная

поверхность должна принять бочкообразную форму. Следо­ вательно, изгиб образующих в с е в р е м я с о п у т с т ­ в у е т продольному нагружению и перестает служить при­ знаком потери устойчивости. Допустима ли для этой задачи эйлерова постановка, которой воспользовался Лоренц?

Этот вопрос был разъяснен И. Геккелером в 1928 г. Его рассуждения сводятся к следующему. Для изолиро­ ванной шарнирно опертой балки-полоски на упругом осно­ вании решение Лоренца верно, но для оболочки уравнения задачи нужно записывать несколько иначе. Полное пере­ мещение w следует представить в виде суммы двух сла­

есть одинаковое для всех точек срединной поверхности перемещение, вызываемое осевым сжатием оболочки, а а>,(г) — перемещение, возникающее вследствие изгиба об­ разующих и соответственно удовлетворяющее дифференци­ альному уравнению

Если на торцах оболочки граничные условия для функ­ ции w имеют вид (10.2), то соответственно для функции ш, граничные условия следует записывать в виде

Таким образом, задача сводится к интегрированию одно­

родного дифференциального уравнения (10.11), но при неоднородных граничных условиях (10.12).

Возможен также другой, эквивалентный вариант записи уравнений задачи. Подставим в (10.11)

65

как это следует из (10.9). Тогда получим н е о д н о р о д ­ н о е дифференциальное уравнение

при однородных граничных условиях (10.2). Следовательно, при правильной постановке задача в це­

становится все более слабым. Как оказывается, при нагруз­ ке, определяемой формулой Лоренца — Тимошенко, пере­ мещения становятся неограниченно большими. Поэтому формуле (10.8) можно приписать известное формальное зна­ чение — она определяет критическую нагрузку в смысле метода неидеальностей (см. начало §9).

Таким образом, при правильном анализе эйлерова постановка задачи невозможна и речь может идти о д е ­ ф о р м а ц и о н н о м р а с ч е т е , т. е. исследовании постепенно развивающегося изгиба. Но при такой трактовке необходимо учитывать нелинейные явления. По мере раз­ вития изгиба эти влияния будут сказываться все более заметно, и притом задолго до того, как сжимающее усилие достигнет значения (10.8). Так, неизбежно возникнут пластические деформации (прежде всего у концов оболочки, где изгиб наиболее интенсивен), после чего использование чисто упругих соотношений вообще становится невозмож­ ным. По этой причине формула Лоренца — Тимошенко не может правильно ответить также и на вопрос о критической

66

силе, понимаемой в смысле метода неидеальиостей. Единст­ венное значение, которое можно придавать указанной фор­ муле,— это значение довольно грубой в е р х н е й о ц е н- к и критической нагрузки.

При иных граничных условиях может стать уместной эйлерова постановка задачи. Пусть, например, на торцах оболочки отсутствуют изгибающие моменты, а также связи, препятствующие радиальным перемещениям точек средин­ ной поверхности. Тогда граничные условия должны быть записал» в виде

Согласно соотношению (10.9) те же граничные условия от­

Таким образом, задача сводится к интегрированию одно­ родного дифференциального уравнения (10.11) при одно­ родных же граничных условиях (10.16); на решении этой эйлеровой задачи мы не будем останавливаться (она иссле­ дована Н. А. Кильчевским в 1942 г., а затем им же вместе

с С. Н. Никулинской в 1965 г.).

Потеряустойчивости внецентренносжатоготонкостен­ ного стержня. В 1929 г. Г. Вагнер впервые исследовал

крутильную форму потери устойчивости центрально сжа­ того тонкостенного стержня с открытым профилем. При этом Вагнер принял, что переход в закрученную форму равновесия происходит в виде поворотов сечений вокруг центров изгиба. Позднее было замечено, что допущение Вагнера необоснованно и, как правило, не соответствует действительности. В 193? г. Лундквисг и Флнгг определил» координаты центра поворота сечений из условия минимума критического значения сжимающей силы.

Однако существует частный случай, для которого теория В атера оказывается верной: если центр изгиба и центр тяжести сечения совпадают (например, в случаях двутавро­ вого или зетового сечений), то в той же точке располагается и центр поворота при крутильной форме потери устойчи­ вости. Немного задержимся на этом частном случае, кото­ рый обладает одной любопытной особенностью. В указан­ ном случае критическая сила определяется выражением

87

(имейся в ййду шарнирное закрепление концов)

Здесь / — длина стержня, EJ,a— секториальная жесткость, GJK ~ жесткость свободного кручения, гр — полярный ра­ диус инерции поперечного сечения. Разумеется, это зна­ чение окажется расчетным, если оно меньше критической силы, соответствующей изгибной форме потери устойчи­ вости:

{EJ(пи, — наименьшая жесткость нри изгибе). В случаях, когда поперечное сечение обладает нулевой секториальной жесткостью (например, крестообразное сечение, сечение в форме уголка и т. п.), формула (10.17) приобретает вид

(10.19)

'р

Отсюда следует неожиданный вывод о том, что в рассмат­ риваемых случаях критическая сила, соответствующая крутильной форме потерн устойчивости, н е з а в и с и т о т д л и н ы с т е р ж н я .

Для весьма длинных стержней критическая сила опре­ деляется формулой (10.18). С уменьшением длины крити­ ческая сила (10.18), определяющая изгибную форму потери устойчивости, будет постепенно увеличиваться и, наконец, сравняется с критической силой (10.19). Длина «равиоустойчивого» стержня определяется из равенства выражений (10.18) и (10.19):

Для всех стержней, имеющих длину /< /* , расчетным ока­ жется одно и то же значение (10.19), и дальнейшим умень­ шением длины стержня нельзя добиться никакого увеличе­ ния критического значения сжимающей силы. Мы не будем углубляться в причины этого, по-видимому, физически несостоятельного вывода: они далеко выходят за пределы темы настоящего параграфа; заметим только, что все дело в приближенности технической теории тонкостенных стержней и, в частности, в гипотезе нелеформируемости контура сечения,— ионятно, что чем короче стержень, тем

68

менее надежна эта гипотеза *). Вернемся теперь к основ­ ной теме.

Общую теорию устойчивости тонкостенных стержней с открытым профилем разработал В. 3. Власов **); его результаты были опубликованы в 1940 г. Остановимся на решенной им задаче о внецентренном сжатии тонкостенного стержня и обозначим: г — координата сечения, измеряемая вдоль оси стержня, х, у — координаты точек сечения в си­ стеме главных центральных осей инерции, a*, av — коорди­ наты центра изгиба, |(г) и л (г) — перемещения центра из­

в текущем сечении. Тогда система дифференциальных урав­ нений, определяющих изгиб и кручение стержня, принимает вид

+ (r'N + 2ft,/И„ - 2 р уМх—GJk) 0 - 0.

Как видно, эти уравнения неоднородны, и в общем случае при внецентренном сжатии одновременно происходит не только сжатие и изгиб стержня, но и его закручивание. Отметим два исключения из этого общего правила.

а. Сжимающая сила приложена в центрах изгиба торце*

* ) Эта особенность вскользь отмечена во втором томе книги: Тимошенко С. П . Сопротивление материалов,— М .: Н аука, 1966, с. 226.

* * ) Василий Захарович Власов (1906— 1958) — с 1936 г. н до конца своих дней профессор Московского инженерно-строительного инсти­ тута. С 1953 к — член-корреспондент Академии паук СССР Автор мно­ гочисленных исследований в области теории юикостенных конструкций и оболочек.

49