книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

по. что обычные демпферы сухого трения страдают одним недостатком: в некоторой зоне частот их работа неустой­ чива. Поэтому представляется полезным описанное выше преобразование сухого трения в вязкое трение.

На этой идее основан демпфер В. А. Кудинова (рис. 32.3, а). Демпфер состоит из двух частей, которые порознь

6)

соединяются с теми деталями, относительные колебания которых необходимо демпфировать. Одна часть представ­ ляет собой корпус 1 произвольной конфигурации, в кото­ ром расточены два параллельных отверстия. Вторая часть состоит из картера 2, в котором на подшипниках смонтиро­ ваны два валика 3, имеющие параллельные оси и соединен­ ные между собой передачей 4; один из валиков получает вращение, например, при помощи гибкого вала 5. Валики входят в отверстия корпуса 1 с трением, значение которого

251

регулируется винтами 6. При колебаниях демпфируемого объекта в демпфере развивается сила сопротивления, ирактически п р о п о р ц и о н а л ь н а я с к о р о с т и от­ носительного движения.

Та же идея используется в системе подачи станка, схематически изображенной на рис. 32 .3,6. Направляю­ щие выполняются в виде двух вращающихся стержней, вдоль которых на втулках перемещается узел; при относи­ тельно медленных продольных движениях узла возникает продольная сила, л и н е й н о зависящая от скорости продольного перемещения (вращение может быть придано не стержням, а втулкам; понятно, что это ке меняет дела). Описанная конструкция также обеспечивает устойчивое демпфирование продольных колебаний, если они по какойлибо причине возникают. Кроме того, такая конструкция хороша тем, что в ней отсутствует «зона застоя» при изме­ нениях направления движения; такая зона всегда возникает в системах с сухим трением.

Во всех системах подобного типа быстрое движение в одном направлении облегчает преодоление трепня в пер­

пендикулярном направлении. Этим свойством, в частности, объясняется используемое в технике явление виброразделе­ ния. Прежде чем перейти к анализу этого явления, необхо­ димо остановиться на следующей задаче Н. Е. Жуковско­ го *) («задача о плоском рассеве»).

Пусть £От) — неподвижная система осей, лежащих в горизонтальной плоскости, и хОху — система осей, лежа­ щих в той же плоскости н жестко связанных с горизонталь­ ной площадкой А, имеющей шероховатую поверхность; оси х, у соответственно параллельны осям |, ц (рис. 32.4, в). Положим, что площадка А поступательно движется, оста­ ваясь в той же плоскости £0ц, причем каждая точка совер­ шает равномерное движение по окружности радиусом R. Таким образом, абсолютное движение какой-либо точки площадки описывается уравнениями

*) Николай Егорович Жуковский (1847—1921) — профессор ме­ ханики Московского высшего технического училища (с 1879 г.) и Мос­ ковского университета (с 1886 г.), член-корреспондечт Петербургской Академии наук (с 1894 г.). Автор ряда основополагающих работ в обла­ сти гидро- и аэродинамики, основатель ЦАРИ.

252

Конечно, они одинаковы для всех точек, т. е. не связаны с координатами £«, г)в. Далее положим, что на площадке находится плоская частица массы т; координаты частицы в подвижной системе осей обозначим через х и у. Если ча­ стица движется относительно площадки А (скользит по ней), то x=x(t), y=y{t), и проекции ускорения частицы бу­ дут состоять из двух слагаемых, определяющих относи­

На частицу действует сила трения постоянного модуля F=fmg, направленная против относительной скорости,

Рис. 32.4. Система координат е, ц неподвижна, система координат х, у движется поступательно

имеющей проекции х и у. Следовательно, проекции силы трения на оси |, ц (или на оси х, у) имеют вид (рис. 32.4, б)

Теперь запишем дифференциальные уравнеиия движения

Подставив сюда выражения (32.5) и (32.6), получим

* 4 -fg~-r=== = /?0)*COSttlf,

(32.8)

у -rig TTJ - — = R tf sin mt.

V x*+ yi

153

Разумеется, эти уравнения имеют место при условии, что частица в самом деле скользит по площадке, т. е. если

У~х* + у*Ф 0.

и определяют силу трения покоя (силу сцепления). Модуль этой силы

должен быть меньше предельного значения силы трения

(32.11)

Таким образом, условие относительного покоя частицы

Предположим, что последнее условие выполнено; можно убедиться, что дифференциальные уравнения (32.8) имеют частное периодическое решение

Постоянные х , и уф, входящие в решение (32.13), являются координатами центра круговой траектории частицы в подвижных осях х0,у. При этом модуль скорости скольже­ ния остается неизменным во времени:

Для определения траектории относительного движения исключим время t из уравнений движения (32.13). Таким образом мы найдем, что рассматриваемое решение опись!*

264

вает относительное движение частицы по круговой траек­ тории с радиусом

(32.16)

несколько меньшим, чем радиус R абсолютных траекторий точек площадки А.

С увеличением коэффициента трения радиус траекто­ рии уменьшается и при f=R&tig обращается в нуль; этому соответствует «прилипание» частицы к площадке. Наоборот, с уменьшением коэффициента трения радиус траектории частицы увеличивается и в предельном случае, когда /= 0 , становится равным радиусу R. При этом частица свободно скользит но площадке, а ее относительное движение точно воспроизводит переносное движение площадки, но соверша­ ется в противоположном направлении; в системе коорди­ нат частица неподвижна.

Для проверки физической реализуемости найденного движения необходимо убедиться в устойчивости периоди­ ческого решения (32.13). Это дополнение к решению Н. Е. Жуковского сделал Цзя Шу-хуай; как оказалось, решение (32.13) устойчиво.

На основе изложенного решения задачи Н. Е. Жуков­ ского можно перейти к объяснению процесса виброразде­ ления.

Представим себе, что на горизонтальной площадке А располагается сосуд, заполненный некоторой сыпучей средой, а частица т находится внутри среды, выше уров­ ня площадки; примем что объемный вес частицы больше объемного веса среды. Если площадка вместе с сыпучим телом покоится, то частица может падать («тонуть») в сы­ пучем теле под действием своего веса; однако это будет лишь при условии, что предельное значение вертикальной силы трения частицы о сыпучую среду достаточно мало *). Практический иптерес представляет противоположный случай, а именно, когда это предельное значение велико; тогда частица будет покоиться в сыпучем теле.

Теперь предположим, что горизонтальной площадке задано такое же движение, как и в задаче Н. Е. Жуков­ ского, причем вместе с площадкой совершает плоскопарал­ лельное движение связанное с ней сыпучее тело. Как мы теперь знаем, при выполнении условия (32.12) частица сга-

*} Под силой трения здесь условно принимается разнодействуюшая сил сопротивления среды движению рассматриваемой частицы.

265

нет проникать сквозь среду, стремясь двигаться в горизон­ тальной плоскости по круговой траектории.

Но благодаря круговому движению в горизонтальной плоскости частица m уже не встретит такого же сопротив­ ления по вертикали, как в случае покоя сыпучего тела. Иными словами, упомянутое круговое движение создает условия для падения частицы в сыпучем теле, подобно тому как вращение цапфы облегчает ее движение вдоль под­ шипника.

Таким образом, на круговое движение частицы в го­ ризонтальной плоскости накладывается движение по вер­ тикали; соответственно траекторией частицы служит вин­ товая линия. Описанные явления служат принципиальной основой процесса виброразделения сыпучих смесей: более тяжелые частицы приобретают возможность постепенно опускаться вниз, причем движение по вертикали весьма сходно с падением тела в вязкой среде.

Эта схема рассуждений делает попросту излишними

в роли восстанавливающей силы, служит темой задачи 32.10 задачника И В. Мещерского {32-е изд.,— М.: 1970).

Демпфер В. А. Кудинова описан в «Бюллетене изобретений» Комитета по делам изобретений н открытий при Совете Министров СССР

(1961, № 8). Схема, приведенная на рис. 32.3, заимствована из статьи

цесса вибросепарации было дано И. И. Блехманом, В. В. Гортинским и Г. Е. Птушкиной в статье «Движение частицы в колеблющееся среде при наличии сопротивления типа сухого трения» (Изв. АН СССР,

ОТН, Механика и машиностроение, 1963, № 4); см. также цитированную книгу И. И. Блехмана и Г. Ю. Джанелидзе (гл. XII).

§ 33. Демпфирование колебаний трубопровода кориолисовыми силами

Известно, что на колебательные свойства трубопроводов существенно влияет скорость течения жидкости. Для тру­ бопровода с закрепленными концами установлено, что с увеличением скорости течения частота свободных колеба­ ний уменьшается и может наступить критическое состояние, характеризуемое нулевым значением частоты; в этом сле-

255

дует видеть одно из проявлений д е с т а б и л и з и р у ю ­ щ е г о действия потока постоянной скорости. Пульсация давления и скорости также может послужить причиной воз­ никновения вредных колебаний, угрожающих прочности трубопровода и плотности соединений.

Тем не менее могут существовать такие устройства, в которых течение жидкости неожиданно оказывает д е м п ­

может помочь лучшему уяснению механики взаимодействия пото­ ка и трубопровода.

Обратимся к простейшей за­ даче этого типа и сначала рас­ смотрим совершенно жесткую консоль, левый конец которой упруго защемлен (рис. 33.1, а), причем с — коэффициент жест­ кости защемления (момент, раз­ вивающийся при повороте кон­ соли на угол, равный единице). Пусть т — масса единицы дли­

Теперь усложним задачу и представим себе, что кон­ соль представляет собой трубу, т. е. обладает продольным каналом, вдоль которого слева направо непрерывным по­ током течет жидкость; на правом конце происходи! сво­ бодное истечение жидкости (рис. 33.1,6). Массу единицы длины струи обозначим через /и», скорость течения — через I».

В чем выразится влияние потока на колебательные свой­ ства системы? Сразу подчеркнем: было бы ошибочным счи­ тать. что система сохраняет свои консервативные свойства

•>57

и дело сводится лишь к тому, что собственную частоту нуж­ но определять по формуле (33.1) с заменой т на сумму m + nif Для правильного ответа на только что поставлен­ ный вопрос необходимо тщательно рассмотреть возникаю­ щие при колебаниях силы, составить дифференциальное уравнение колебаний, а затем исследовать его решение.

Обозначим через г координату произвольного сечения трубопровода и через <р=<р(0 — угол поворота трубы в момент времени ( (рис. 33.1, в). Тогда при малых колеба­

ниях <рг, ф2, фг — соответственно перемещение, скорость и касательное ускорение произвольного сечения трубы. При колебаниях между частицами жидкости и трубой возник­ нут силы взаимодействия, перпендикулярные оси трубы и зависящие как от координаты г, так и от времени t\ отнесем эти силы к единице длины и обозначим их интенсивность через F=F(z, 0, так что на частицу жидкости, занимающую участок длиной dz вдоль оси системы, действует со стороны

где w — проекция абсолютного ускорения частицы на на­ правление, перпендикулярное оси 2. Если рассматривать движение частицы как сложное, связав подвижную систе­ му с трубой, то w можно представить в виде суммы двух сла­ гаемых: кориолисова ускорения 2ф© и касательной состав­

ляющей переносного ускорения ф2. Таким образом, согласно (33.2) находим интенсивность сил, действующих со стороны трубы на струю жидкости:

Обращаясь теперь к трубе, нужно принять, что на нее со стороны жидкости действуют те же силы (33.3), но име­ ющие противоположное направление (рис. 33.1, г). Эш силы создают отрицательный момент относительно центра упругого защемления

I

М —— j т,(ф г + 2фи) zdz = — /я ,(ф - у - ; фо/1) . (33.4)

Кроме того, на трубу действует момент упругого защемле­ ния, равный — сф, и поэтому дифференциальное уравнение движения трубы приобретает вид

— сф.| Л4 = /ф,

268

где по-прежнему 1—mlV3. Подставляя сюда выражение (33.4), получим

В этом уравнении содержится первая производная, и ко* эффиниент при ней — положительный; отсюда ясно, что колебания рассматриваемой системы носят затухающий характер, н возможно даже, что вместо колебаний труба будет совершать неколебательное движение, постепенно приводящее систему к положению равновесия. При этом затухание будет тем более интенсивным, чем больше ско­ рость течения жидкости.

Чем физически можно объяснить происхождение демп­ фирования в рассматриваемой системе?

В дифференциальном уравнении (33.8) «квазивязкое» слагаемое, содержащее первую производную угла поворота трубы, возникает вследствие эффекта Кориолиса. Кориоли­

сова сила — 2т,Уф является силой, действующей на трубу со стороны струи; эта сила пропорциональна угловой ско­ рости ф и создает момент противоположного знака.

Следует еще раз подчеркнуть, что речь идет о системе сугубо специального вида; достаточно учесть поперечную податливость опоры, как выяснится д е с т а б и л и з и р у ­ ю щ е е влияние потока на трубу (для того чтобы предста­ вить себе это явление, достаточно взять в руки жесткий на­ конечник поливочного шланга).

Об устойчивости консольного трубопровода, обладающего конеч­ ной нагибной жесткостью, см. книгу В. И. Феодосиева «Избранные за­ дачи и вопросы по сопротивлению материалов* (М.: Наука, 1967, 3-е изд., задача 140; 4-е изд., задача 149). См. также литературу, указан­ ную в конце §38 нашей книги.

В экспериментах А. П. Ковревского над упругой консольной тру­ бой (корневое сечение было жестко защемлено) обнаружено возраста­ ние демпфирования с ростом скорости течения жидкости (см. его статью в «Известиях высших учебных заведений БССР». Минск. 1964, Ni 4).

§ 34. Параметрическое возбуждение колебаний

Рассказ о рассматриваемом здесь своеобразном типе колебаний начнем с упругой системы, показанной на рис. 34.1. Система состоит из сосредоточенного груза 1, закрепленного па конце невесомого стержня 2, который шарнирно закреплен на верхнем койне; другой опорой

стержня служит короткая втулка 3. Эта система может совершать колебания в плоскости чертежа, при этом груз

будет двигаться вдоль оси у, а стержень — изгибаться по схеме двухопорной балки с консолью. Рассмотрим сво­ бодные колебания, которые вызваны некоторым начальным возмущением изображенного на рисунке равновесного сос­ тояния. Пренебрегая восстанавливающим действием силы тяжести, т. е. считая, что восстанавливающей силой яв­

Если расстояние s постоянно, то дифференциальное уравнение (34.3) описывает свободные колебания массы около ее среднего положения, причем дробь 3ЕЛ[т Ц1— —s)2] представляет собой квадрат частоты свободных коле­ баний.

Допустим теперь, что втулка 3 скользит вдоль срежня 2, следуя заданному закону

втулки до верхнего шарнира. В этом случае коэффициент жесткости оказывается функцией времени

260