книги / Теория инженерного эксперимента

200=6' • 150 -f с' • 1502,

откуда находим, что с’ — 0,007 и Ь' = 0,171. Теперь

/=0,171 (V—20)—0,0077 (V2—40К + 400),

следовательно, уравнение данной кривой имеет следую­ щий вид:

/=0,0077У2—0,137V—0,33.

Для проверки соответствия полученного уравнения на­ ходятся значения / при различных значениях V. Эта проверка не вызывает затруднений. Полученные значе­ ния нанесены на фиг. 10.3 при V = 40, 80, 120 и 160 в. Предсказанная величина тока примерно на 1 ма больше на нижнем конце кривой и на 2 ма меньше на верхнем ее конце. Эта ошибка не превышает 2%, ее можно умень­ шить, подобрав кубическое уравнение. При тщательном подборе уравнения ошибка может не превышать 0,5% во всем интервале значений.

10.3.Интерполяция и экстраполяция

Вразд. 7.3 было показано применение графических ме­ тодов экстраполяции для проверки соответствия данных. Если точки образуют плавную кривую в плоскости (X, У), то графики можно использовать также для интерпо­ ляции данных с большой точностью. Интерполяция мо­ жет выполняться также различными численными мето­ дами, один из которых будет здесь рассмотрен. Такие простые методы интерполяции, как, например, линейная интерполяция, известны всем инженерам. Нет также не­ обходимости останавливаться на подборе уравнения, как это делалось в предыдущих разделах и гл. 9, а затем ис­ пользовать это уравнение для нахождения промежуточ­ ных значений. Необходим метод, который не требует боль­ ших вычислений, связанных с подбором нужного урав­ нения или кривой, но в котором используются более

двух точек. Интерполяция особенно важна при проведе­ нии факторного эксперимента (разд. 6.3—6.5), когда по тем или иным причинам невозможно определить необхо­ димые промежуточные значения.

Описанный здесь метод основан на применении интер­ поляционной формулы Лагранжа [6 ], которая будет ис­ пользоваться здесь без доказательства. Допустим, что при проведении эксперимента были получены следующие точки: (Xlt У^), (Х2, К2).......(Х„, Yn) и требуется найти Y при значении X, которое не было установлено на испы­ тательной аппаратуре. В данном случае формула Лаг­ ранжа имеет следующий вид:

Совершенно очевидно, что при п = 10 потребовалось бы выполнить большой объем вычислений. Однако такая задача легко может быть решена с помощью вычислитель­ ной машины. Чтобы обработать данные на вычислитель­ ной машине, нужно в программу включить формулу Ла­ гранжа и в запоминающее устройство машины ввести же­ лаемое число экспериментальных отсчетов. Если затем потребуется значение XY, которое не было получено в эксперименте, то с использованием всех данных это зна­ чение может быть вычислено по формуле Лагранжа.

Пример 10.2. В примере 6.2 после усреднения резуль­ татов испытаний двигателя внутреннего сгорания были получены следующие данные:

Предположим теперь, что по некоторой причине данные о расходе горючего при нагрузке 44 кГ не были получены либо было получено неточное значение. Какой расход горючего предсказывает формула Лагранжа?

Решение. Поставим в соответствие символам в формуле (10.4) следующие данные о нагрузке на двигатель и рас­ ходе горючего:

Подставив эти значения в формулу Лагранжа, получим

+22 — 87,5' 22 — 66 *

У= —8,75 -f 17,6 + 2,72 = 11,57. Величина, получен­ ная в эксперименте, равна 11,9. Если нанести указанные три точки на график и провести через них плавную кри­ вую, то, по-видимому, получим значение, лежащее в ин­ тервале от 11,4 до 11,5 в зависимости от используемого

лекала. Преимущество математического метода состоит в том, что он может применяться автоматически и впослед­ ствии его можно продублировать каким-либо другим спо­ собом для получения точного интерполированного значе­ ния.

Еще ничего не было сказано об экстраполяции к точ­ кам, лежащим за пределами интервала значений, рассмо­ тренных в эксперименте. Например, при отсутствии зна­ чения расхода горючего при нагрузке 87,5 кГ можно было бы по формуле (10.4) определить недостающий результат. Такая процедура математически не обоснована, посколь­ ку данная формула не позволяет находить значения, ле­ жащие за пределами рассматриваемого интервала. В то же время формула Лагранжа дает приемлемую точность, если берется не слишком большой интервал экстраполя­ ции, и, по-видимому, этот метод предпочтительнее гра­ фической экстраполяции, осуществляемой на глаз. Неко­ торые считают, что такие «отчаянные» методы не вызы­ вают доверия. Несомненно, это объясняется тем, что им никогда не приходилось сталкиваться с такими ситуация­ ми, когда определенная часть экспериментальных данных

равно é^lR, а общее количество энергии, рассеиваемой на резисторе за бесконечное время, равно

оо

Г3fi

) R-2t/RC dT *

0

После интегрирования получаем

e-ît/RC

2R •

иокончательно общая энергия равна

СЕ2

2 •

стор может быть небольшим. Если калориметр, в который помещен резистор, содержит 30 г воды, то ее температура увеличится на 2,8 °С и можно вычислить количество на­ копленной энергии. Аналогичный анализ показывает, что энергия, накапливаемая на конденсаторе, в точности равна энергии, рассеиваемой на резисторе за время за­ рядки конденсатора. Этот вывод можно проверить путем разряда конденсатора через резистор и повторного изме­ рения температуры калориметра.

Даже если бы в этом эксперименте не удалось изме­ рить накапливаемую и рассеиваемую энергию, то все же целесообразно путем интегрирования определить энер­ гию с помощью функции, описывающей заряд или разряд.

Данный конденсатор и источник напряжения можно за­ ряжать через несколько резисторов и для каждого слу­

чая построить график зависимости e%/R от времени. Интегрирование каждой кривой с использованием плани­ метра или с помощью правила Симпсона для суммирова­ ния площадей1 должно привести к одинаковым резуль­ татам, поэтому значимые различия в площади под кри­ выми будут свидетельствовать о наличии ошибки.

Рассмотрим другой пример. Испытаниям на сжатие подвергается несколько тонких стержней с различным отношением длины L к радиусу R и регистрируется мак­ симальная нагрузка, которую может выдержать каждый стержень. Полученные данные (зависимость максималь­ ного напряжения от отношения L/R) характеризуются следующим функциональным соотношением:

Ь + с (LIR)2 '

где S — напряжение в кГ/см2, a, b и с — постоянные, определяемые экспериментальным путем, зависящие глав­ ным образом от вида материала и граничных условий при испытаниях стержня. Посмотрим, можно ли получить еще какую-либо информацию при дифференцировании экспериментальной функции.

Беря первую производную по L/R, имеем

Приравнивая dS!d(L/R) нулю, видим, что функция не имеет максимума или минимума, кроме L/R = 0. При необходимости можно исследовать наклон различных

1 Разделим ось х под кривой на п равных отрезков шириной А единиц каждый, при этом чрсло отрезков п должно быть четным.

Тогда площадь J/rfx находится из соотношения

Площадь = У М У » + Уя) + * (УЧ + У, + У, + • • • + У/i-i) +

+ 2(Уа + У4 + У, + • • • + У„_г)],

где первый отрезок ограничен точками У„ и У4, второй — точками У| и У| н т. д.

участков кривой. Вместо этого найдем вторую производ­ ную и, определим точки перегиба. Вторая производная имеет вид

Приравнивая вторую производную нулю, сокращая соот­ ветствующие члены и выполняя необходимые алгебраиче­ ские преобразования, получаем

Нас интересует только положительный корень. Итак, мы видим, что существует единственная точка перегиба. При 6 = 1,1 и с = 4,0* 10“ 5 в точке перегиба L/R = 165. Те, кто знаком с сопротивлением материалов, знают, что

Основной урок, который необходимо извлечь из этих двух примеров, состоит в том, что математический анализ экспериментальных данных будет наиболее успешным, если исследователь имеет некоторое представление о том, что можно ожидать и в каком направлении следует дви­ гаться. Если исследователь не знает, что (efyRjdt пред­ ставляет собой мгновенное значение энергии, рассеивае­ мой на конденсаторе, то он не сможет правильно выпол­ нить интегрирование; с другой стороны, маловероятно, что дифференцирование кривой e(t) принесет какую-либо пользу, если в эксперименте есть какая-нибудь ошибка. Можно найти точку перегиба кривой, однако этот показатель окажется бесполезным, если не будет известно, что в этой точке один теоретический механизм сменяется дру­ гим. Несомненно, имеются кривые, которые могли бы открыть некоторые «секреты» любому, кто пожелает про­ интегрировать или продифференцировать их тем или

иным способом. Чтобы инженер мог в конечном счете воспользоваться возможностями математических методов анализа, он должен очень глубоко знать теорию экспери­ мента, а не быть только специалистом по аппаратуре, познания которого ограничиваются применяемым им ис­ пытательным оборудованием.

10.5.Выводы

Вэтой главе были рассмотрены некоторые общие ме­ тоды анализа экспериментальных данных. Основным тре­ бованием для всех экспериментов, связанных с получе­ нием количественных результатов, является правильный выбор числа значащих цифр при обработке и анализе данных. Если число значащих цифр мало, то при об­ работке данных может ухудшиться точность либо могут потеряться значащие цифры, а при слишком большом чис­ ле значащих цифр существенно усложняются вычисле­ ния и увеличивается объем работы как при ручном счете, так и при использовании вычислительных машин. Кроме того, излишние значащие цифры в отчетах о результатах

эксперимента могут ввести в заблуждение, и они неверны в том смысле, что показывают точность эксперимента, которая в действительности не была достигнута. Если у исследователя имеются какие-либо опасения, то все же лучше застраховаться и выбрать несколько дополнитель­ ных значащих цифр, так как при слишком малом их чис­ ле могут накапливаться ошибки округления.

Когда кривую нельзя подобрать методом наименьших квадратов или другим графическим методом, то обычно подбирается общий многочлен типа (10.1). Формальный метод решения задачи основан на использовании опреде­ лителей и допускает применение цифровой вычислитель­ ной машины. Когда подбор многочлена осуществляется от руки, часто можно получить решение быстрее, преоб­ разовав систему координат X Y таким образом, чтобы одна из постоянных многочлена оказалась равной нулю. Важ­ ную роль при решении уравнения играет выбор точек. При неправильном выборе точек часто получают неудовле­ творительную точность на участках кривой, которые имеют сложную форму. Практическое правило состоит в

ЗАДАЧИ

ванное округление этих чисел.

10.2. В примере 2.3 рассматривалось определение твер­ дости по Бринелю. Если полученный средний диаметр углубления от индентора составляет 4,0475 мм, то каким образом следует округлить это число: 1 ) для представле­ ния его в отчете'об^’испытаниях и 2 ) когда предполагает­ ся, что это число будет использовано при выполнении математических операций?

10.3. Допустим, что при измерении длины с уверен­ ностью можно взять три значащие цифры и дополнитель­ но еще одну цифру, точность которой сомнительна. Пред­ ставляемый результат должен иметь только две знача­ щие цифры. Длина равна 1,899 см. Определите, сколько цифр следует сохранить при выполнении следующих вычислений: полученный результат необходимо возвести

вкуб, а затем в эту же степень возвести число 1 , 1 .

10.4.Подберите многочлен, удовлетворяющий сле­ дующим данным:

Проверьте уравнение у = А + Вх + Сх2 и оцените его соответствие экспериментальным данным.

10.5. На фиг. 6 . 8 по четырем точкам построена кривая зависимости удельного расхода горючего от тем­ пературы. В примере 9.4 эти данные были проанализи­ рованы графическим методом. Полагая, что для’этих дан­ ных невозможно подобрать уравнение прямой," подбери­ те многочлен второй степени и сравните на глаз степень соответствия графиков, изображенных на фиг. 9.10 и 9.11.

1 0 .6 . В приложении А рассматривается эксперимент с измерением вязкости. Подставьте в формулу Лагранжа значения времени и массы — 30, 40 и 50 а (игнорируя остальные две группы данных) и путем экстраполяции