книги / Теория инженерного эксперимента

имеются три степени свободы и вероятность того, что узлы трещин и узлы каналов имеют одно и то же распре­ деление, настолько мала, что ее не удается определить даже с помощью более обширных таблиц. Эта вероятность значительно меньше 0,1%. Поэтому с определенной уве­ ренностью можно утверждать, что эти распределения не являются одинаковыми.

Рассмотрим теперь другую гипотезу, согласно которой ожидаемое распределение дает сеть железных дорог в штате Огайо. Объединяя данные для узлов одной и трех дорог, имеем шесть членов и, следовательно, пять степе­

Из фиг. 8.1 видно, что распределение узлов марсиан­ ских каналов соответствует распределению узлов желез­ ных дорог в штате Огайо с вероятностью, значительно меньшей 0,001. Таким образом, имеются веские основания утверждать, что распределение марсианских каналов не соответствует ни одному из рассмотренных распределений и что эти группы данных не связаны друг с другом.

Доказали ли мы, что марсианские каналы действитель­ но не созданы искусственным путем? Конечно, нет. Един­ ственное, что мы сделали, это показали, что внешнее сход­ ство между сетью марсианских каналов и сетью железных дорог в штате Огайо (в обоих случаях максимальное число объектов, образующих узел, равно четырем) не существен­ но. Важную роль играет то обстоятельство, что наиболь­ шее число каналов в узле равно одному и трем, а распре­ деление железных дорог является совсем иным. Здесь наи­ большее число дорог, образующих узел, составляет семь, восемь и более. Трудно представить себе, чтобы эти раз­ личия были вызваны ошибками измерений или обманом зрения. По-видимому, мы поступили правильно, отклонив гипотезу о разумной жизни на Марсе, пока не будут по­ лучены более достоверные данные. Процесс исследования не завершается статистическим анализом данных. Стати­

стический анализ позволяет лишь получить общие или частично сформировавшиеся представления и впечатле­ ния, чтобы в дальнейшем сосредоточить на них внимание или полностью от них отказаться.

8.3. Критерий t Стьюдента

Критерий х2 применяется в том случае, когда рассмат­ риваются целые числа. Критерий t Стьюдента1 позволяет использовать проценты, дробные числа и т. п. Этот кри­ терий применяется для проверки гипотез различного рода, но мы рассмотрим гипотезу, которая находит наиболее ши­ рокое применение в инженерной практике: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности». Можно привести следующие примеры применения этой гипотезы: « 1 0резисторов из коробки А имеют среднее сопротивление, равное 12,4 ком, а 10 резисторов из коробки В имеют сред­ нее сопротивление 11,9 ком. В обеих коробках находятся резисторы с одинаковым номинальным сопротивлением». «Измерение расхода горючего на трассе протяженностью 1 0 0 км, производимое через каждый километр пути, по­ казало, что автомобиль Л потребляет в среднем 0 , 1 2 л/км,2 а автомобиль В — 0,128 л/км. Имеется ли различие в рас­ ходе горючего между автомобилями А и В?»

Когда проверяется различие между двумя средними,

обьем выборки В; scyM— известное среднее квадратическое

Для данной гипотезы число степеней свободы равно (па 4- пь — 2). Зная число степеней свободы и /, с по­ мощью графика, изображенного на фиг. 8.2, находим вероятность появления данного (или большего) значения /, если оба эти средние значения относятся к одной и той же совокупности. Другими словами, вероятность, рав­ ная 0,05, означает, что полученное (или большее) значе­ ние / может появиться случайным образом лишь в одном случае из 20, если эти две выборки относятся к одной и той же генеральной совокупности. Вероятность 0,01 озна­ чает, что данное событие может появиться лишь в одном случае из 100. Для этих уровней значимости справедли­ во все сказанное при рассмотрении критерия х2Вероят­ ность 0,05 еще дает основания сомневаться в справедли­ вости гипотезы, а вероятность 0,01 убедительно показы­ вает, что эти две выборки действительно относятся к раз­ личным совокупностям. Вероятность 0,001 и меньше дает почти полную гарантию того, что сформулированная гипо­ теза не справедлива.

Пример 8.2. Из партии бетона, замешанной 25 мая, взяты восемь проб и подвергнуты испытаниям на сжатие. Получены следующие данные о прочности на сжатие: 305,6; 270,8; 298,0; 218,6; 273,3; 270,8; 229,4 и 265,8*кГ/см2. Из партии бетона, замешанной 4 июня, взя­ то 17'проб и после испытаний получены следующие ре­

316,3 кГ/смг. Насколько известно, состав бетона и методи­ ка испытаний не менялись. Определите, относятся ли эти две группы данных к одной и той же совокупности?

Решение. В этом случае применим критерий / . Д л я

первой выборки Хп =266,7 кГ/см*, а для второй Х} = = 298,1 кГ/см2. Составим таблицу результатов и по фор­ муле (8.4) вычислим среднее квадратическое отклонение для обеих выборок.

По формуле (8.4) находим ‘

s = ( 6 2 7 |r a - ^ 5 2 )V* SBB(45>97 )i/t= 7fo7 « î7,1 кГ/см\

Это среднее квадратическое отклонение для двух выборок, рассматриваемых совместно. Заметим, что для майского

5218,52=2

замеса характерен значительно больший разброс данных, чем для июньского. Находим t по формуле (8.3):

перь с помощью графика, изображенного на фиг. 8.2, определяем, что при данном значении t вероятность того, что обе эти выборки относятся к одной и той же совокуп­ ности, ничтожно мала. Таким образом, справедливость гипотезы, согласно которой обе партии бетона и методика исследований одинаковы, весьма сомнительна1.

1 Данные заимствованы из работы [4]. Эти две группы данных составляют часть результатов испытаний, проводившихся ежеднев­ но и рассматриваемых как единая генеральная совокупность. Одна­ ко данные, полученные в эти два дня, показывают, что контроль за качеством бетона был неудовлетворительным.

Т абли ца 8 .1

Значения критерия F ’) при Р=0,05

1) f - s j / s j .

Дисперсионный анализ находит важное применение при планировании экспериментов по методу латинского квадрата, что было показано в гл. 6 . При этом учитывается влияние таких факторов, как рабочая смена, станок или рабочий, чтобы определить, оказывают ли они значимое влияние на производительность. При проведении экспе­ риментов могут рассматриваться антидетонирующие до­ бавки, скорости обработки, квалификация персонала, проводящего^испытания, и множество других параметров. В гл. 6 нас интересовало определение функциональной зависимости Y от X , а дисперсионный анализ обычно при­ меняется в экспериментах, где ставится более скромная цель, а именно когда необходимо определить, оказывает ли переменная X какое-либо влияние на переменную Y.

К сожалению, применение дисперсионного анализа в многофакторных экспериментах довольно'сложно и со­ пряжено с возможностями появления ошибок. Полное понимание принципов дисперсионного анализа важно да­ же в самых простых задачах. Недооценка недостатков это­ го метода может привести к неправильной оценке диспер­ сии или числа степеней свободы, необходимого для обра­ щения к таблице значений F. Поэтому читатели, которым

потребуется планировать эксперименты такого рода, должны тщательно изучить соответствующие пособия^по математической статистике либо, что еще лучше,'записать­ ся на курсы прикладной статистики.

8 . 5. Пуассоновское распределение

В промышленном производстве и экспериментальной работе возможно появление случайных событий, которые то следуют с большой частотой, то появляются совсем редко. Счет числа частиц космического излучения, до­ рожно-транспортные происшествия и выход из строя оборудования могут быть примерами таких событий. С другой стор оны, возможны и такие события, появление которых кажется случайным, но в действительности они следуют некоторой детерминированной схеме. Число ста­ тических импульсов, появляющихся на экране радиоло­ катора за час, может быть чисто случайным, но оно может вызываться движением транспорта в часы пик или рабо­ той местной телевизионной станции. Число ошибочных соединений за сутки на телефонах-автоматах центральной телефонной станции может иметь чисто случайное распре­ деление, но может зависеть от расписания движения пригородных поездов или даже схемы движения полицейского'патруля.

[Для проверки случайности появления группы событий или некоторого числа объектов эмпирическое распределе­ ние проверяется на соответствие пуассоновскому распре­ делению. Это Граспределение отличается "от нормального и выводится либо на основе допущений о случайных эф­ фектах 13], либо из другого, так называемого биномиаль­ ного 'распределения, которое здесь не рассматривается. Если эмпирическое распределение по форме очень близко к пуассоновскому, то можно предположить, что случайно появляющиеся большие числа не являются необычными, а представляют собой выборку из соответствующей совот купности, распределенной по пуассоновскому закону. Такой вывод избавляет нас от изучения интервалов или экспериментов, в которых появляются такие большие числа, в надежде найти некоторый особый перемежат ющийся эффект, вызывающий их. Нормальное рас*

участками на стекле микроскопа, карте или графике, в которых содержится нулевое число событий или объектов, а для пуассоновского распределения нуль является ниж­ ним пределом. Нормальное распределение, рассмотрен­ ное в гл. 2 , является симметричным относительно сред­ него значения'и простирается от — оо до -foo. Пуассо­ новское распределение является асимметричным и описы­ вает вероятность появления случайных событий.

Пусть Р — общее число событий, объектов, неисправ­ ностей или происшествий, N — общее число рассматри­ ваемых интервалов времени или участков на стекле микро­ скопа, карте и т. д. (часть которых может ’содержать нулевое число событий или объектов). Тогда среднее число

Вероятности появления определенного числа событий при пуассоновском законе распределения 'приводятся в сле­ дующей таблице:

Эти члены образуют пуассоновский ряд, сумма членов которого 'равна единице. Каждый член выражает вероят­ ность того, что произойдет данное число событий, будет наблюдаться данное число объектов, появится данное число неисправностей^ и т. д. Если т меньше единицы, то вероятность максимальна при нулевом числе событий. При 1 < т < 2 максимальной является [вероятность появления одного события и т. д. Для проверки на соот­ ветствие пуассоновскому распределению обычно вычис­ ляется каждый член ряда и с помощью критерия уг эти члены сравниваются с членами эмпирического ряда ана­