книги / Теория инженерного эксперимента

ИЛИ

2 07\т — $ Ь = ^ (Уравнение гиперболы).

Данные, представленные в виде графика, изображенного на фиг. 9.10, и полученное на их основе уравнение до­ вольно удобны. Например, мы видим, что если двига­ тель работает при высокой температуре, то удельный расход горючего уменьшается до 0,485, что лишь немно­ гим меньше величины, полученной в процессе экспери­ мента. Экстраполируя данные в другую сторону, находим, что, когда АТ снижается до —15,4 °С, удельный расход горючего увеличивается до бесконечности. Такой резуль­ тат просто означает, что интервал экстраполяции слиш­ ком велик и не позволяет получить правильные данные.

На данном этапе опытный экспериментатор пожелает узнать, не допускаем ли мы ошибки, полагая, что (Т—27), а не Г является значимой переменной. Можно ли обна­ ружить этот факт на основе полученных данных, а не из теоретических соображений? Посмотрим, как это мож­ но сделать.

Из фиг. 9.10 видно, что уравнение, связывающее «не­ обработанные» переменные, имеет вид

После преобразований имеем

Т = ——----\-а.

b S — 1 т

Получена функция (6 ) из табл. 9.1, где вместо У стоит Т, а вместо X — удельный расход горючего S. Составим таблицу необходимых величин для проверки этой функ­ ции:

десятой наименьшего деления, все случайные отклоне­ ния сгладятся и будет невозможно получить какой-либо показатель точности. Эти случаи представлены на фиг. 9.12. Поскольку на большинстве графиков обе шкалы имеют равные деления, часто такие идеальные условия бывает невозможно обеспечить, но стремиться к этому необходимо.

Второй принцип, который важно соблюдать при по­ строении графиков, состоит в том, что обычно следует

го выбора системы координат, состоят в том, что случай­ ные ошибки якобы легче всего обнаружить, когда точки группируются относительно прямой, имеющей наклон ~ 4 5“. Легко показать, что в действительности все об­ стоит иначе. Полагая, что наилучшей или точной функ­ цией на фиг. 9.13 является линейная, и рассматривая точку (X, У), находящуюся на некотором расстоянии от прямой, можно сказать, что случайную ошибку (по X , У или, возможно, по обеим координатам) легче всего обна­ ружить в том случае, когда резко отклоняющаяся точка находится на максимальном расстоянии от наилучшей прямой, измеряемом по перпендикуляру к этой прямой. На фиг. 9.13 по оси Y выбраны три шкалы различного масштаба, и очевидно, что это расстояние не максималь­ но при угловом коэффициенте, равном единице, а при уве­ личении наклона прямой оно увеличивается. Таким об­ разом, при построении графиков на бумаге формата 279 X 216 мм не следует ограничивать размеры графика по оси У, чтобы получился квадратный формат, а необ­ ходимо использовать весь лист. Следовательно, угловой коэффициент прямой, обеспечивающей наилучшее пред­ ставление данных, не равен единице, а зависит от формата имеющейся графической бумаги.

9.5.Выводы

Вданной главе мы коснулись лишь немногих основ­ ных графических методов, доступных экспериментато­ рам. Для применения классического метода наименьших квадратов необходимо, чтобы: а) ошибку имела только зависимая переменная У; б) для всей области данных эта случайная ошибка имела одну и ту же величину и в) при построении графика эти данные образовали пря­ мую. Даже в том случае, когда не все эти требования стро­ го выполняются, экспериментатор может принять реше­ ние о применении метода наименьших квадратов просто вследствие того, что этот метод позволяет получить гра­ фик, в котором отсутствует субъективная ошибка, непро­ извольно вносимая исследователем. При использовании более сложных методов наименьших квадратов большин­ ство этих ограничивающих условий можно ослабить или

исключить, однако применение этих методов вызывает затруднения, требует больше времени и обычно их мож­ но встретить лишь в учебниках повышенной сложности. Если независимую переменную X удается разбить на равные интервалы, то прямую наименьших квадратов можно построить чисто графическим способом быстро и без последовательных приближений, но при этом остаются в силе три основных условия, ограничивающие приме­ нение классического метода наименьших квадратов. При использовании чисто графического метода отсутствуют статистические показатели, описывающие рассеивание то­ чек относительно прямой. Однако этот недостаток легко восполняется тем, что с графика можно снять откло­ нения по Y, свести их в таблицу и на основе этих данных вычислить среднее квадратическое отклонение.

Приближенный метод подбора прямой состоит в том, что все данные делятся на три группы, выбираются ниж­ няя и верхняя группы данных, для каждой группы на« ходятся средние значения X и Y и через эти две точки проводится прямая. Метод группировки позволяет бы­ стро построить прямую, но его точность может оказать­ ся недостаточной, если число имеющихся точек относи­ тельно невелико.

В случае получения данных, не образующих линей­ ного графика, необходимо изучить их и попытаться преоб­ разовать таким образом, чтобы можно было построить прямую. Это можно сделать, нанеся исходные данные на специальную графическую бумагу либо преобразуя пере­ менные, как показано в табл. 9.1, до тех пор, пока не бу­ дет получен требуемый результат. Если получен линейный график, то не представляет труда найти уравнение пря­ мой в отрезках, а затем с помощью алгебраических пре­ образований перейти к другим формам, которые, по мне­ нию исследователя, являются наиболее подходящими. Понимание физического смысла эксперимента дает возмож­ ность выбрать метод построения прямой, наиболее соот­ ветствующий полученным данным, и можно ожидать, что окончательное уравнение позволит обнаружить совер­ шенно неожиданный теоретический материал при условии, что вся эта работа проводилась тщательно. Хотя здесь и не было приведено ни одного примера, совершенно оче­

видно, что для преобразованных переменных вполне приемлем метод наименьших квадратов. Этот метод ре­ комендуется применять в тех случаях, когда разброс данных велик и предполагается, что прямая обеспечивает наилучшее соответствие полученным данным, либо когда из теории известно, что после преобразований может быть получен линейный график.

Три простых правила позволяют получить графики с минимальной неопределенностью и минимальной слу­ чайной ошибкой, обусловленной считыванием данных: 1 ) вероятная ошибка в данной точке равна примерно половине наименьшего деления шкалы графика; 2 ) по возможности для любых данных следует строить линей­ ный график; 3) выбор длины шкал должен производиться из условия максимального использования выбранного формата графической бумаги.

З А Д А Ч И

Методом наименьших квадратов постройте графики для приведенных ниже данных. Определите возможность применения графического метода Асковица и запишите уравнение прямой.

9.1.

9 . 2 .