книги / Теория инженерного эксперимента

сложным, он все же довольно прост, и с помощью линейки и циркуля (для деления отрезков в отношении 1 : 2 ) за несколько минут можно обработать 20—30 точек. Для проверки построение прямой можно произвести с друго­ го конца, откладывая отрезки, соответствующие V3 S.

Фи г . 9.4. Пример построения прямой графическим методом наи­ меньших квадратов (методом Асковица).

О экспериментальные точки; X точки, соответствующие 2/sS; ф точки на пря­ мой, построенной методом наименьших квадратов.

Третья точка также будет лежать на прямой. Это построе­ ние не показано на фиг. 9.4, но читатели могут попытать­ ся выполнить его самостоятельно.

Метод Асковица не является приближенным, если по оси X откладываются совершенно одинаковые отрезки, но он имеет те же недостатки, что и классический метод, а именно : только переменная Y может иметь ошибку, гра­ фик; должен быть линейным и все данные должны иметь одинаковую точность. Этот важный метод построения прямой игнорируется в большинстве учебников по мате-

магической статистике, очевидно, на том основании, что он позволяет лишь найти прямую и не дает какого-либо количественного показателя точности. Применяя простой метод, описанный в предыдущем примере, легко найти величину отклонения точек от прямой и вычислить сред­ нюю квадратическую ошибку. Данный метод вполне за­ служивает того, чтобы инженеры освоили его.

Пример] 9.3. Используя данные из примера 9.1, с по­ мощью графического метода Асковица найдите прямую наименьших квадратов.

Решение. Применение этого способа для построения прямой возможно благодаря тому, что каждый раз уве­ личение переменной L происходит на одинаковую вели­ чину. Построение прямой показано на фиг. 9.5. Полу­ чаем в точности такую же прямую, что и при использо­ вании численного метода, в пределах ошибок графиче­ ского построения.

В настоящее время известен ряд других методов пост­ роения прямой, не связанных с нахождением наимень­ ших квадратов [1J. Наиболее простым из них является так называемый метод группировки. Для применения это­ го метода необходимо знать хотя бы одну точку прямой (это может быть начало координат), так как определяется лишь угловой коэффициент, и не обязательно, чтобы слу­ чайную ошибку имела только переменная Y. Построение прямой производится очень быстро.

Если задан ряд экспериментальных точек с коорди­ натами X и Y, то угловой коэффициент прямой, соеди­ няющей эти точки, можно вычислить по формуле

(9 1 ) 2

где Y и X — координаты т точек, сгруппированных в одной части графика, a Y' и X ' — координаты т точек, находящихся в другой части графика. Нас интересует, сколько точек следует брать из общего числа полученных данных, чтобы составить две группы по т точек.

С помощью статистического анализа [4] можно пока­ зать, что если интервалы между значениями X примерно одинаковы, то имеющиеся данные необходимо разделить

О эксперим ентальны е точки; X точки, соответствую щ ие */«£; ф точки н а п р я ­ мой, построенной методом наим еньш их квадратов.

на три равные группы и использовать группу точек с координатами (X, У), находящихся в верхней части графика, и группу точек с координатами (X ', У ), находящихся в нижней части графика, исключив среднюю группу то­ чек. В этом случае нарушается общее практическое пра­ вило статистического анализа: «Статистический критерий оказывается наиболее эффективным при использовании всех данных». Можно сказать, что если до проведения эксперимента известно, что будет использован метод груп­ пировки, то не следует тратить усилия на получение дан­ ных в средней части интервала значений X , а необходимо сосредоточить внимание на первой^и последней'третях этого интервала. Однако на практике могут потребовать­ ся данные для всего интервала значений, с тем чтоб#

В данном случае Y = АТ и X — L.

На фиг. 9,.6 изображена прямая наименьших квадра­ тов, полученная в примере 9.1 или 9.2, и для сравнения проведена прямая через ту же точку L = 0, угловой коэф­ фициент которой найден методом группировки. При таком небольшом числе точек, очевидно, лучше всего провести прямую на глаз, чем применять этот приближенный ме­ тод. Однако при наличии 20—30 точек метод группиров­ ки обеспечивает гораздо меньшее отклонение от прямой наименьших квадратов. При большом числе точек он наи­ более удобен для быстрого, построения прямой. И нако­ нец, необходимо сделать одно краткое, но важное замеча­ ние. Ни один инженер не станет применять какой-либо статистический метод в ущерб наглядности или здраво­ му смыслу. Непринятие прямой, построенной методом группировки, означало бы нарушение всех канонов ин­ женерной целесообразности.

9.3. Исследование функций графическими методами

В предыдущих главах было показано, что различные функциональные соотношения можно преобразовать та­ ким образом, чтобы получить графики в виде прямой, что удобно при выборе интервалов между значениями пере­ менной (разд. 6.1), при экстраполяции (разд. 7.3) и при­ менении метода наименьших квадратов (разд. 9.1 и 9.2). В экспериментальной работе часто может возникать обрат­ ная ситуация. Имея данные, которые в определенной си­ стеме координат могут быть представлены в виде прямой, мы должны найти ее уравнение. Такое уравнение обычно называется эмпирическим. Это означает, что его находят на основе эмпирических данных, а не из теоретических соображений. Эмпирические соотношения получают при изучении физических, химических и электрических свойств в теплотехнике, гидромеханике и во многих но­ вых областях, еще не имеющих прочной теоретической базы.

Независимо от характера эксперимента основной зада­ чей является выбор и преобразование системы координат таким образом, чтобы полный набор данных давал по воз­

В некоторых случаях получают U-образную или коло­ колообразную кривую в линейных координатах. Это сви­ детельствует о том, что имеет место параболическая функция или более общая полиномиальная функция

При наличии у кривой нескольких экстремумов эта функция может иметь дополнительные члены. В случае уравнения параболы, состоящего из трех членов, воз­ можны несколько способов получения линейного графика. Возьмем на гладкой кривой, построенной по полученным данным, произвольную точку (Xlt Ух). Тогда

УЬ Х ^ -|-

Вычитая это уравнение из (9.17), получаем

У—Yi=b (Х - Х у) + с (Х2-* ? ).

Разделив обе части данного уравнения на ( X —Х х) , имеем

(У — У х) /( Х — Х х) от X будет иметь вид прямой. Другой способ состоит в том, что дифференцируется

уравнение (9.17):

ж = ь + ь х .

Если значения X берутся через равные интервалы, то график зависимости AY/AX от X будет иметь вид прямой.

Эти и некоторые другие способы построения линейных графиков приведены в табл. 9.1. Доказательство этих правил оставим для упражнений.

Следует заметить, что в таких экспериментах нет не­ обходимости пользоваться только фактическими данными. Наилучшая методика состоит в том, что вначале данные наносятся на график в линейных координатах, а затем через точки проводится плавная кривая. После этого вы-