книги / Теория инженерного эксперимента

В следующих задачах найдите функцию, позволяющую получить линейный график и формулу, удовлетворяю­ щую полученным данным. Покажите с помощью графика,

9.9.Получены следующие данные о падении давления

впатрубке:

9.10. Имеются следующие данные о производитель­ ности насоса:

9.11. Получена следующая зависимость удельной теп­ лоемкости сплава от содержания в нем компонента А:

Указание: проверьте функцию (7) из табл. 9.1.

9 .1 2ч В какой-либо или во всех приведенных выше пяти задачах исследуйте функцию, которую вы нашли для крайних точек, и укажите любые другие значения, пред­ ставляющие теоретический интерес.

9.13. Покажите, что формулы (1)—(7) в табл. 9.1 позволяют построить линейный график для данных, при­ веденных в^задачах 9.7—9.11.

9.14. Найдите уравнение наилучшей прямой, представ­ ляющей зависимость доли скоростного напора, сохранив­ шегося после частичного перекрытия трубопровода гидрав­ лической системы, от процента перекрываемой площади поперечного сечения трубопровода с регулируемым пе­ рекрытием. Кроме того, решите, целесообразна ли экст­ раполяция этих данных.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

Невозможно провести четкую границу между чисто статистическим анализом и графическим анализом, ко­ торый в свою очередь отличается от математического анализа. Метод наименьших квадратов позволяет полу­ чить математическое выражение кривой, которое нахо­ дится чисто численными способами и имеет прочную ста­ тистическую основу. Почти все, что можно сказать в за­ щиту такого довольно произвольного деления, исполь­ зуемого в последних четырех главах данной книги, это то, что вывод некоторых аналитических методов основан главным образом на статистических методах, рассмотрен­ ных в гл. 8 . Другие методы связаны с графическими ,по­ строениями (они описаны в гл. 9). Вопросы, которые не были рассмотрены в этих двух главах,'собраны в дан­ ной главе и названы математическими методами, хотя в некоторых случаях лучше было бы назвать их численными методами. Кроме того, необходимо подчеркнуть, что в ли­ тературе накоплен обширный материал по математиче­ скому анализу экспериментальных данных; здесь мы мо­ жем очень кратко коснуться лишь некоторых наиболее важных и элементарных вопросов. Такие важные методы, как гармонический анализ, численное решение дифферен­ циальных уравнений, построение номограмм, и множест­ во других вопросов можно найти в соответствующих спра­ вочных пособиях. Значительную часть этого специального материала экспериментатор обычно никогда не усваивает, тем более что он всегда может обратиться за помощью к специалистам. Методы, изложенные в данной главе, яв­ ляются довольно простыми, носят общий характер и используются многими экспериментаторами.

1 0.1 . Значащие цифры

Вопрос о значащих цифрах, вероятно, следовало бы рассмотреть ранее, хотя именно при операциях с числами и вычислениях они приобретают наибольшую важность. Значащие цифры несут информацию о значении измеряе­ мой величины. Если например, измеренная емкость кон­ денсатора равна 0,213 мкф, т. е. известны три значащие цифры, то этот факт не изменится, если емкость записать как 0,21310_в ф или 213 000 пкф. При записи таких боль­ ших чисел, как последнее, возможна путаница, так как можно подумать, что емкость действительно известна с точностью до шестой цифры. Чтобы исключить такие недоразумения, лучше всего записывать эту величину как 213-103 пкф.

Как и следовало ожидать, число значащих цифр вы­ бирается исходя из результатов анализа неопределенности, рассмотренного в гл. 2 и 3. Если, например, неопределен­ ность измерения составляет 1 0 %, то в лучшем случае мы можем указать не более двух значащих цифр. Напри­ мер, такой отсчет, как 98, означает, что результат заклю­ чен между 97 и 99, но в то же время с вероятностью 10% он может лежать между 95 и 101 или даже в более широ­ ких пределах. При неопределенности, равной 1%, мы

оценивать ошибку нет ничего плохого, если только этим не злоупотреблять.

Как показано в гл. 3, при обработке данных ошибки определенным образом комбинируются. Если допустить небрежность, то можно потерять значащие цифры. Пред­ положим, что при испытаниях на коррозию определяется потеря веса. Перед испытаниями вес образца составлял 1,54 кГ, а после испытаний— 1,52 кГ. Потеря веса со­ ставляет 0,02 кГ, т. е. мы имеем только одну значащую цифру. Пусть требуется сравнить этот результат с резуль­ татом при другом испытании, который также оказался равным 0,02 кГ. Очевидно, что мы не можем прийти к ка­ кому-либо выводу. Значащие цифры практически исчез­ ли, поэтому в этом случае необходимо использовать весы,

которые позволяли бы получить четыре, а то и пять зна­ чащих цифр.

Если исследователю предстоит большой объем обработ­ ки данных с применением технических средств или вычис­ лительных машин, то обычно в запасе необходимо иметь хотя бы одну значащую цифру. Пусть необходимо воз­ вести в квадрат скорость 107 м/сек, точный результат равен 11 449 м2/сек%. Поскольку вначале мы имели три значащие цифры, то, округляя, получаем 11Г400. Допу­ стим теперь, что к 11 449 нужно прибавить 6540, точный результат равен 17 989, а прибавляя 6540 к округленному числу, получаем только 17 940. Таким образом, при округ­ лении мы потеряли одну единицу третьего разряда. Если

180*102). В цифровых вычислительных машинах числа мо­ гут иметь до 1 2 знаков, и такие ошибки округления экспериментатор может практически исключить. Как только последовательность вычислений будет закончена, необходимо округлить результат до намеченного числа цифр, с тем чтобы он не вызывал у читателя недоверия или подозрения.

Стандартная логарифмическая линейка длиной 25 см при выполнении операций умножения и деления дает максимальную неопределенность 0,3—0,5% (для 95% всех отсчетов). Для линейки длиной 50 см неопределен­ ность в два раза меньше, а для спиральной линейки, имеющей шкалу длиной 150 см, она меньше в шесть раз. На такой линейке можно выполнять вычисления с точ­ ностью до четырех знаков, а для малых чисел — с точ­ ностью до пяти знаков. Четырехзначные таблицы ло­ гарифмов имеют точность до четвертого знака, и один знак необходимо добавлять в случае интерполяции. Точ­ ность номограмм, диаграмм и графиков в каждом случае необходимо устанавливать отдельно. Если графики по­ строены с соблюдением рекомендаций, изложенных в разд. 9.4, то инженер может снимать результат с точ­ ностью до половины наименьшего деления шкалы. При проведении эксперимента нельзя применять приборы.

при выполнении вычислений вручную лишь в том случае, когда возможны упрощения. Если подбор кривых должен производиться с помощью вычислительной машины, то целесообразность применения определителей становится более очевидной, так как данный метод решения уравне-

Ф и г. 10.1. График функции с максимумом, построенный по четырем точкам (одна из них в начале координат). Посколь­ ку вправо от максимума име­ ется точка перегиба, две из четырех точек находятся в этой части и только одна — слева.

ний является автоматическим и позволяет применять стандартные программы.

Независимо от того, решается система уравнений не­ посредственно или с помощью определителей, исследова­ тель должен выбрать две—три или большее число точек таким образом, чтобы подобрать наилучшую функцию. Допустим, что для кривой, изображенной на фиг. 10.1, необходимо подобрать уравнение при п = 3. Левая часть кривой с непрерывно убывающим наклоном представляет собой функцию простого вида, а правая часть имеет точ­ ку перегиба. Таким образом, можно предположить, что подобрать уравнение для правой части кривой труднее, поэтому постараемся взять побольше точек на этом участ­ ке кривой. После того как будет найдено уравнение для п = 3, естественно проверить остальные точки, чтобы убедиться в том, что получено удовлетворительное соот­ ветствие для всей кривой. Если получено недостаточно хорошее соответствие, то можно подобрать четыре другие точки или перейти к уравнению для п = 4. Заметим, что если кривая проходит через начало координат, то постоян

ная а в формуле (10.1) равна нулю и система будет иметь на одно уравнение меньше (либо порядок определителя будет Меньше на единицу). Такой удобный результат можно получить всегда. Для этого достаточно перенести систему координат, как показано на фиг. 10.2. В систе-

В системе координат (X', Y') постоянная а = 0. После определения Ь' и с' соотношение (10.3) можно преобразо­ вать и вернуться к первоначальной системе координат

У = Д У — ЬАХ + сАХЧЬХ+ с(Х2—2ХАХ),

или

У= АУ—bАХ + сАХ2+ X (Ь—2АХ) + сХ2.

Такие преобразования всегда удобны, так как обычно многочлен, имеющий более трех постоянных, очень труд­ но подобрать при выполнении вычислений вручную.

Пример 10.1. На фиг. 10.3 показана плавная кривая, изображающая зависимость анодного тока от анодного

напряжения в триоде при постоянном напряжении на сетке, равном —5 в. Требуется найти уравнение этой кривой.

Решение. При отсутствии максимумов или явных то­ чек перегиба этим данным может вполне соответствовать

Ф и г . 10.3. График зависимости анодного тока от анодного напря­ жения в триоде (данные из примера 10.1). Пронумерованные точки (/, 2 и Э) использовались для построения кривой, а остальные точ­ ки (контрольные) иллюстрируют соответствие подобранного урав­ нения экспериментальным данным.

многочлен второго порядка. Перенеся начало координат в точку (20;0), получаем V = V — 20 и Г = I. В этом случае

Г = Ь ' (F—20)+с' (К—20)8

(при этом а' = 0). На кривой можно выбрать две точки с одинаковыми приращениями координаты V, одна*о необходимо иметь в виду, что в нижней части кривая имеет большую кривизну и здесь труднее подобрать уравнение.