книги из ГПНТБ / Барский И.Б. Динамика трактора

ционная функция является общей характеристикой рассматри­ ваемых случайных процессов. Гармонические процессы могут также характеризоваться ею.

При исследовании плавности хода тракторов воздействие мо­ жет характеризоваться двумя составляющими и более (неровно­ сти дороги и силы рабочих сопротивлений орудий и сельскохо­ зяйственных машин, неровности под левым и правым колесами, неровности под передним и задним колесами и т. д.). Тогда вво­ дят наряду с автокорреляционной функцией также и взаимные

Взаимные корреляционные функции характеризуют связь ме­ жду двумя составляющими воздействия. Если максимальные значения взаимных корреляционных функций малы по сравне­ нию с дисперсиями каждого процесса, то, следовательно, две составляющие можно считать некоррелированными. Степень свя­ зи случайных составляющих может быть охарактеризована ко­ эффициентом корреляции

VRA0)Ry(0) '

Для определения авто- и взаимно корреляционной функции по известной реализации случайного процесса интегралы (52) и

N-ti

W-H

130

Интервал L 0 = N& определяется из соотношения L 0 = Ю / т а х ,

где / т а х — максимальная волна функции неровности, т. е. мак­ симальный отрезок оси / между двумя соседними нулями функ­ ции.

/ mm — минимальная длина волны неровности, либо непосредст­ венно по записи случайного процесса, так чтобы функция мало изменялась на интервале разбиения.

При обработке функций неровностей указанным методом важ­ но правильно подготовить экспериментальный материал к рас­ чету. Необходимо на графике функции неровности выделить пе­ риодические и низкочастотные составляющие, которые искажа­ ют и затрудняют анализ корреляционной функции. Некоторые приемы выделения помех рассмотрены в работе [31]. Получен­ ные путем расчета по экспериментальным данным корреляцион­ ные функции уже не являются случайными и их целесообразно аппроксимировать подходящими аналитическими выражениями.

Неопределенные коэффициенты могут быть определены лю­ бым из методов, применяемым в теории аппроксимации. Широ­ ко используется метод наименьших квадратов. Его применение для часто встречающегося аппроксимирующего выражения

Если обозначить /* средний период прохождения через нули (по переменной /*) корреляционной фукции р(/*), то коэффици­ енты ai и Pi можно определить по следующим зависимостям:

Несмотря на большую универсальность и общность корреля­ ционных функций как характеристик случайных процессов, в практических исследованиях также широкое применение нахо­ дят спектральные характеристики. Выше было показано, что в зависимости от структуры случайного процесса, от того, какие частоты и в каких соотношениях преобладают в его составе, корреляционная функция имеет тот или иной вид. Это характе­ ризуется спектральным составом случайной функции.

Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот, то спектром колебательного процесса называется функция, описы­ вающая распределение амплитуд по различным частотам.

Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.

Аналогичное спектральное описание можно дать и стационар­ ному случайному процессу. Вся разница в том, что для случай­ ного процесса амплитуды колебаний будут случайными величи­ нами. Поскольку случайные величины характеризуются диспер­ сиями, то спектр стационарной случайной функции будет опи­ сывать распределение дисперсий по различным частотам f.

Спектр случайной функции характеризуется спектральной плотностью 5(со), которая может быть выражена через корреля­ ционную функцию

( а , 2 - а 2 - В 2 ) 2 + 4а2 2 со2

132

В дальнейшем понадобится также выражение для спектраль­ ной плотности ускорения, т. е. второй производной функции не­ ровности. Спектральная плотность второй производной от функ­ ции равна спектральной плотности самой функции, умноженной на со4:

5 у с к И = co4S(co). При этом необходимо обеспечить условие

Приведем формулы прямого и обратного преобразования Фурье для взаимных корреляционных функций и спектральных плотностей:

Для некоррелированных процессов

*,(/*) =/?*(/*) + З Д * ) ;

Sz(et) = Sx(m) + Sy(ta).

Применяется и другой способ аналитической аппроксимации неровностей пути, состоящий в определении плотности распреде­ ления длин, высот неровностей и расстояния между их верши­ нами.

Расчеты показывают, что в некоторых случаях с достаточ­ ной степенью точности эти величины распределены по нормаль­ ному закону и связаны линейными корреляционными уравне­ ниями.

133

Установим количественную связь между двумя способами

где символ М обозначает математическое ожидание случайной величины.

Законы распределения вероятностей случайных величин Xi и

Зная распределение частот гармоники, можно найти распре­ деление длин волн неровностей, если воспользоваться зависи­ мостью при v = 1 м/с

со = 2 л Л(о,

где / — длина волны неровности.

Пользуясь формулой для плотности распределения функции от случайной величины, запишем

134

Тогда

При а = 0 имеем

Таким образом удалось связать два способа обработки мик­ ропрофилей полей.

Обратимся к конкретному анализу экспериментальных дан­ ных.

В табл. И приведены результаты обработки микропрофилей с помощью теории случайных функций. Измерения микропрофи­ лей во всех случаях проводились на участках длиной не менее 50—100 м.

Оценим высоты неровностей сельскохозяйственных полей по

участков.

Таким образом, высота неровностей дорог, по которым дви­ жутся сельскохозяйственные машины, позволяют рассматривать их как дороги сильноизношенные и разбитые.

Это обстоятельство свидетельствует о том, что проблема плавности хода, подробно изучаемая в автомобилестроении, ак­ туальна и для тракторов, которые хотя и имеют более низкие скорости движения, но, как видим, работают в неблагоприятных условиях.

По данным табл. 11 были построены в логарифмических ко­

вался как совокупность реализации случайных функций угловой скорости со. Для характеристики этих функций построены рас­ пределения ординат в трех сечениях, соответствующих to = 10; 25; 50 1/с. Во всех сечениях закон распределения функции S (со) оказался логарифмически нормальным с практически постоян­ ным коэффициентом вариации для всех сечений и математиче­ ским ожиданием и дисперсией, зависящими от переменной <о. Следовательно, функция S(co) является нестационарной случай­ ной функцией.

135

»Кукурузное поле, вторая междурядная продель­

»Вспаханное поле, имитация поперечной культива­

Такую функцию удобно представить в виде произведения 5 (со) = S0(co)p,

где So (со) —математическое ожидание S(co); р — случайная ве­ личина. Математическое ожидание параметра р равно единице.

Дисперсия р постоянна и равна коэффициенту вариации функции S (со).

Зная плотность распределения функции S(co) и пользуясь за­ висимостью для плотности распределения вероятностей функции от случайной величины, можно получить

представляет собой существенно несимметричную кривую. Мак­ симум кривой (мода) смещен влево, в область малых значений параметра р.

Это свидетельствует о том, что среднее значение функции 5(со), равное S0(co) и соответствующее М(р) = 1, имеет малую вероятность появления (0,2). В то же время наиболее вероят­ ным значением параметра р будет 0,05. Этот результат ставит под сомнение возможность ограничиваться в расчетах подрессорных систем лишь средним значением спектральной плотности; необ­ ходимо принимать во внимание функцию распределения вероят­ ностей и определять наиболее вероятное значение показателя плавности хода трактора.

Для расчета колебаний тракторов небходимо также найти аналитическую формулу функции So (со). График аппроксимирую­

138

Удобство представления функции S (<о) в виде произведения 5о(со)р состоит в том, что найденная совокупность случайных функций обеспечивает аналитическую аппроксимацию, которая удовлетворяет условию существования функций спектральной плотности.

Рис. 81. График функции S0(co) для расчета:

а — ускорений подрессоренных масс; б — перемещений

функций. Для того чтобы оценить порядок коэффициентов полу­ ченного аппроксимирующего выражения спектральной плотно­ сти, по данным табл. 9 построены корреляционные зависимости между R(0), а, В (рис. 82, а). На эти графики нанесены точки, соответствующие коэффициентам аппроксимирующего выраже­ ния функции спектральной плотности.

Как видим, эти точки хорошо укладываются на графики кор­ реляционных зависимостей.

Пользуясь корреляционными зависимостями рис. 82, а, мож­ но существенно упростить обработку экспериментальных дан­ ных. Достаточно определить один параметр, например средне­ квадратичное ускорение, после чего можно, пользуясь этими за­ висимостями, определить остальные параметры функции спектральной плотности. Однако обобщенная спектральная плотность не отражает процессов, близких к гармоническим (узкополосный случайный процесс), которые также имеют мес­ то среди возможных воздействий и могут быть опасными для подвески трактора. Поэтому такие процессы следует формиро­ вать с помощью корреляционных зависимостей, приведенных на рис. 82, задав, например, коэффициент р.

139

При расчетах подвесок тракторов возникает необходимость также рассчитывать и перемещения подрессоренных масс.

Расчеты, аналогичные вышеприведенным для ускорений воз­

Рис. 82. Корреляционные зависимости между коэффициентами аппроксимирующих выражений спектральной плотности для расчета:

а — ускорений подрессоренных масс; б — перемещений

График обобщенной спектральной плотности аппроксимиру­ ется общей формулой (91) при следующих значениях парамет­ ров:

Я(0) = 8,56 см2 ; а = 0,995 1/м; 6 = 0; Л 2 = 0; Л 1 = = 1 .

Для всех полученных зависимостей при обработке неровно­ стей справедливы выводы, приведенные при анализе ускорений, создаваемых неровностями.

Представляет интерес выяснить физический смысл и некото­ рые количественные зависимости для коэффициентов а, р\ R(0)

140