книги из ГПНТБ / Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с

отдельной грани, входящей в пересечение, на кривой поверх­ ности образуются участки плоских сечений, т. е. в этом случае повторяется несколько раз задача о построении плоского сече­

ния заданной кривой поверхности (см. п. 1 1 данной главы)-

Общий принцип построения линии пересечения поверхностей

Общий принцип построения в данном случае аналогичен принципу построения линии пересечения плоскостей. Аналогия состоит в применении поверхностей-посредников, которые и в том, и в другом случае пере­

прямые линии. Кроме того, ко­ личество проведенных плоскостей-посредников ограничивается двумя (см. гл. I, п. 5).

В случае пересечения кривых поверхностей количество по­ верхностей-посредников неограничено и зависит от требуемой точности построения кривых линий пересечения заданных по­ верхностей.

Кроме того, чтобы в пересечении заданных поверхностей с поверхностями-посредниками получались простые линии, форма которых заранее известна (прямые линии или окружности), в качестве посредников можно использовать не только плоскости, но и сферические поверхности.

Исходя из сказанного, можно сформулировать принцип пост­ роения линии пересечения поверхностей в обобщенном виде.

Для построения линии пересечения поверхностей последние пересекают поверхностями-посредниками, выбранными так, чтобы в пересечении с заданными поверхностями они образо­ вывали простейшие, заведомо известные линии (прямые или окружности). На пересечении этих вспомогательных линий на­ ходят точки, общие для обеих заданных поверхностей.

Этот принцип распространяется на любые пересекающиеся поверхности. Однако в каждом конкретном случае следует прежде всего выявить возможности для упрощения его приме­ нения.

Примеры построения линии пересечения кривых поверхностей

На рис. 60 показаны два пересекающихся конуса вращения с вертикальными осями. В качестве вспомогательных к ним под­ ходят горизонтальные плоскости-посредники, перпендикулярные осям конусов и поэтому пересекающие их по окружностям. Прежде чем воспользоваться этими плоскостями, следует опре-

делить по высоте границы линии пересечения, т. е. найти ха­ рактерные точки линии пересечения — высшую и низшую. Эти точки 1 и 4 в данном случае легко отметить как точки пересече­ ния контурных образующих. Последние, строго говоря, можно рассматривать как полученные пересечением данных поверхно­ стей плоскостью-посредником, проведенной через оси вращения. Оси вращения лежат в плоскости Ф фронтального уровня, по­ этому точки 1 и 4 находим без каких-либо построений.

Для получения нескольких промежуточных точек проводим горизонтальные плоскости-посредники Г 1 и Г2. В пересечении с данными конусами они образуют две пары пересекающихся окружностей. Радиусы этих окружностей измеряем на фрон­ тальной проекции. На пересечении окружностей находим иско­ мые промежуточные точки 2, 3, 5 и 6 линии пересечения.

Построения упрощаются, если одна из поверхностей — про­ ецирующая. Так, если для пересекающихся сферы и горизон-

50

талы-ю-проецирующего цилиндра (рис. 61) применить горизон­ тальные плоскости-посредники, то одинаковые окружности, по которым они пересекут цилиндр, на горизонтальной проекции совпадут с проекцией самого цилиндра. Построения тогда сво­ дятся к проведению окружностей на поверхности сферы. Здесь, как и в предыдущем случае, сначала отмечаем верхнюю и ниж­ нюю точки линии пересечения 1 и 5. Затем проводим вспомога­ тельные плоскости Г 1, Г2 и Г3 и получим ряд промежуточных точек искомой линии.

На рис. 62 и 63 приведены примеры определения точек пере­ сечения образующих линейчатой поверхности с другой поверх­ ностью. В одном случае (см. рис. 62) образующие проведены на наклонном цилиндре, что целесообразнее, так как другой, больший цилиндр — горизонтально-проецирующий; поэтому он удобен как поверхность, с которой определяют точки пересече­ ния прямых. Выбор образующих на наклонном цилиндре не

случаен. Прежде всего были намечены образующие, «несущие» характерные точки, которых в данном случае значительно больше, чем в предыдущих. К этим образующим относятся: об­ разующие 3 и 9, контурные на фронтальной проекции — им принадлежат нижняя и верхняя точки линии пересечения; обра­ зующие 1 и 6, контурные на горизонтальной проекции — им принадлежат экстремальные точки (крайние справа) видимой

и невидимой частей линии пересечения; образующие 4 и 8, ле­ жащие в одной фронтальной плоскости с контурными образую­ щими — с их помощью получим экстремальные точки (крайниеслева) видимой и невидимой частей линии пересечения (здесь образующие обозначены номерами принадлежащих им точек).

Для построения фронтальных проекций образующих 4 и 8 использован размер г/ 1 («глубина»), параллельный одноименной оси координат. Для этого с горизонтальной проекции этот раз-

Р ііс . 64. Пример пересе­ чения разноименных про­ ецирующих поверхностен

мер был перенесен сначала на дополнительную проекцию на­ клонного цилиндра, а по ней затем построены фронтальные про­ екции соответствующих образующих (получение дополнитель­ ных изображений подробно рассмотрено в следующей главе). На дополнительной проекции показаны также образующие 2, 5, 7 и 10 с одноименными промежуточными точками. Горизонталь­ ные проекции этих образующих построены с помощью размера у2. Искомые точки пересечения найдены на горизонтальной про­ екции после проведения образующих; далее точки были перенесены на фронтальную проекцию и соединены плавной кривой.

Видимость участков линии пересечения на фронтальной про­ екции определяется характерными точками 3 и 9. В этих точках линия пересечения огибает контуры наклонного цилиндра, пере­ ходя из видимого участка в невидимый.

Для построения линии пересечения наклонного усеченного конуса и цилиндра вращения (см. рис. 63) на поверхности ко­ нуса проведен ряд образующих, и в том числе являющихся кон­ турными на фронтальной проекции. Образующие проведены че­ рез вершину конуса и точки, намеченные на его верхнем основа­ нии. В данном случае доступность вершины усеченного конуса роли не играла, так как ее горизонтальная проекция находится в пределах изображения и, таким образом, сначала могут быть проведены горизонтальные проекции образующих.

52

В данном примере, как и в предыдущем, целесообразно ис­ пользовать проецирующее положение одной из пересекающихся поверхностей. Точки пересечения образующих конуса с фрон- тально-проецирующей поверхностью цилиндра выявляются на фронтальной проекции при построении образующих. Точка А является точкой касания соответствующей образующей конуса с поверхностью цилиндра.

На рис. 64 приведен пример пересечения разноименных прое­ цирующих поверхностей: фронтально-проецирующая цилиндри­

Рис. 65. Примеры пере­ сечения поверхностей вращения по плоским кривым:

а — цилиндры одинакового

диаметра с пересекающими­ ся осями пересекаются по эллипсам; б — две соосные

поверхности вращения пере­ секаются по окружностям

ную проекции линии пересечения строить не нужно, так как они сливаются с одноименными проекциями соответствующих поверхиостей. По двум проекщгям точек линии пересечения можно построить профильные проекции этих точек, и, следовательно, участков линии пересечения. Следует заметить, что третью, в данном случае, профильную проекцию точки (или любого дру­ гого объекта) по двум данным проекциям рационально строить, не используя внешних осей координат, а «привязывая» эти точ­ ки к плоскостям, имеющимся на самом объекте, например к плоскостям симметрии (см. рис. 64). Положение горизонтальной и профильной проекций точек 1, 2 и 3 определяется размерами соответственно у 1, у 2 и у3, параллельными одной из осей коорди­ нат. Эти размеры перенесены с горизонтальной проекции на профильную на уровне соответствующих фронтальных проекций.

На рис. 65, а, б приведены примеры, когда в пересечении поверхностей вращения образуются плоские кривые — эллипсы или окружности. На рис. 65, а показаны пересекающиеся ци­ линдры одинакового диаметра, оси которых пересекаются. Если их пересекающиеся оси лежат в плоскости уровня (в данном случае, фронтального), то цилиндры пересекаются по эллипсам, лежащим в проецирующих плоскостях. В данном примере линия пересечения образована двумя полуэллипсами, лежащими во фронтально-проецирующих плоскостях. Поэтому фронтальная проекция линии пересечения образуется при соединении точек

А% 0% и В%.

53

В пересечении поверхностей вращения с совпадающими ося­ ми образуются окружности, лежащие в плоскостях; перпендику­ лярных общей оси вращения. В числе таких поверхностей вра­ щения может быть сфера (рис. 65, б); на указанной закономер­ ности основан метод, рассматриваемый ниже.

Метод сферических посредников

Сфера, центр которой лежит на оси пересекающейся с ней произвольной поверхности вращения, образует в пересечении окружности, перпендикулярные оси вращения. Если при этом ось вращения параллельна плоскости изображения, то указан­ ные окружности оказываются в проецирующих плоскостях и,

следовательно, проецируются в отрезки прямых, соединяющих точки пересечения контуров поверхности вращения и сферы (см. рис. 65, б). Таким образом, сферическую поверхность при опрепосредников можно использовать семейство концентрических сферических поверхностей, центром которых является точка пёделенных условиях можно использовать как поверхность-по­ средник.

При определении линии пересечения двух произвольных по­ верхностей вращения с пересекающимися осями в качестве ресечения осей (рис. 6 6 ). В этом случае прежде всего определя­ ют максимальный и минимальный радиусы сфер этого семей­ ства.

Максимальный радиус равен расстоянию от центра сфер до самой удаленной точки пересечения контурных образующих за­ данных поверхностей (точка Е 2). Для определения минимально­ го радиуса сравнивают две сферы, каждая из которых касается

54

одной из заданных поверхностей. Минимальный радиус будет, очевидно, равен радиусу большей из этих сфер.

.<§, а со второй заданной поверхностью — конусом — пересека­

лежащие иа видимой стороне линии пересечения). Между мини­ мальной и максимальной сферами показаны еще две сферы, образующие в пересечении с цилиндром и конусом окружности. Последние проецируются в отрезки прямых: 32-42, пересекаю­ щийся с 92-102 в точке С 2 и 52-62, пересекающийся с 112-122 в точке 0 2.

На основе рассмотренного примера можно определить усло­ вия применения концентрических сферических посредников.

Концентрические сферические посредники можно применять, когда заданы поверхности вращения, оси которых пересекают­ ся и леасат в плоскости уровня.

Сферические посредники можно использовать также во всех случаях, когда каждый из них дает в пересечении с каждой заданной поверхностью окружность, проецирующуюся в отрезок прямой.

Рассмотрим пример использования эксцентрических сфери­

Последующие построения сводятся к подбору сфер (на чер­ теже — окружностей), пересекающих тор по указанным сече­ ниям и одновременно пересекающих конус также по окружно­ стям. Для этого через центр каждого сечения на торе проводим

рез круглые сечения тора. Поскольку центры сфер взяты на оси конуса, то они пересекают конус также по окружностям. На пересечении отрезков, в которые спроецировались окружности

4.

К А С А Н И Е ( П Л А В Н Ы Й П Е Р Е Х О Д ) П О В Е Р Х Н О С Т Е Й

Поверхности, касательные одна к другой, широко применяют при конструировании плавных переходов трубопроводов, раз­ личных оболочек, элементов сложной конфигурации и т. п.

55

Как известно, плоскость касается кривой поверхности в точке, если она может быть задана прямыми, касательными к этой поверхности и пересекающимися в точке касания. Но ка­ сание в точке не представляет интереса при конструировании

сложных поверхностей. При образовании плавного перехода поверхности должны касаться по линии.

Линия касания двух поверхностей должна принадлежать обеим поверхностям, и любая пересекающая ее плоскость долж­ на пересекать данные поверхности по линиям, геометрически

сопряженным между собой. Последние можно использовать для

56

Глава IV ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ИЗОБРАЖЕНИЙ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Методы преобразования изображений на комплексном чер­ теже соответствуют образу действий наблюдателя, рассматри­ вающего какой-либо объект. Чтобы составить наиболее полное представление о геометрических особенностях объекта (его форме, размерах), наблюдатель нередко рассматривает объект в различных направлениях или, как говорят, под разными уг­ лами. Для этого либо сам наблюдатель меняет положение от­ носительно неподвижного объекта, либо поворачивает объект разными сторонами. В том и другом случае меняется направ­ ление взгляда. Для выполнения аналогичных действий, но не с самим объектом, а с его изображениями на комплексном чер­ теже существуют методы преобразования последнего.

Изменению положения наблюдателя относительно объекта соответствуют методы замены плоскостей проекций, а переме­ щению объекта относительно наблюдателя (поворачиванию объекта) — методы вращения.

Комплексный чертеж всегда преобразуют с четко поставлен­ ной целью (задачей преобразования), в зависимости от которой выбирают метод и порядок преобразования. Эта задача всегда сводится к приведению каких-либо элементов объекта в частное положение.

В данной главе рассмотрены закономерности и особенности указанных методов, а также типичные случаи их применения в зависимости от поставленной задачи.

Практические примеры использования методов преобразова­ ния комплексного чертежа приведены в следующих главах.

1 .

М ЕТО Д Ы ЗА М ЕН Ы П Л О С К О С Т Е Й П Р О Е К Ц И Й

Основные закономерности

При замене плоскостей проекций объект остается неподвиж­ ным, изменяется положение одной или обеих плоскостей про­ екций; в результате возникают новые системы плоскостей

58