книги из ГПНТБ / Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с

этой прямой, т. е. принадлежащих обеим данным плоскостям.

плоскости, т. е. одну из определяемых проекций {h-2i) можно отметить на исходном чертеже, а затем найти по точкам вторую проекцию.

Учитывая, что линии пересечения плоскости общего положе­ ния с проецирующей плоскостью получаются наиболее просто, такую плоскость применяют всегда при необходимости получе­

но получить при их пересечении еще одной вспомогательной плоскостью 2 2. Построения при этом аналогичны рассмотрен­ ным.

Вспомогательные плоскости, используемые для выявления об­ щих точек для заданных поверхностей, называют плоскостямипосредниками.

Таким образом, для построения линии пересечения плоскос­ тей в общем случае плоскости пересекают двумя плоскостямипосредниками. Каждая плоскость-посредник дает в пересечении с данными плоскостями две прямые. На их пересечении находит­ ся точка, общая для обеих данных плоскостей. Через две та­ кие точки проходит искомая линия пересечения.

Для построения линии пересечения пересекающихся пласти­

ный участок плоскости (например, плоская стенка).

'20

плоскости-посредники проводить через прямые, уже имеющиеся иа исходном изображении плоскостей-

Так, фронтально-проецирующие плоскости 0 и 2 можно про­ вести соответственно через стороны E F и G H пластинки E F G H (рис. 27). В этом случае приходится построить только две вспо­

видимые участки данных пластинок с помощью конкурирующих

щимся в точке В.

Проверка параллельности плоскостей

Необходимость такой проверки может практически возник­ нуть при анализе изображений некоторых объектов.

Очевидно, плоскости параллельны, если к двум пересекаю­ щимся прямым в одной плоскости можно подобрать пересекаю­

21

щиеся прямые в другой плоскости, соответственно параллель­ ные первым.

На рис. 29 изображены пластинки А В С и D E F G . На фрон­ тальной проекции D 2E 2F 2G 2 через точку 12 проведены прямые

Проверка параллельности плоскостей, а также их построе­ ние упрощается, если плоскости являются1проецирующими. В этом случае об их параллельности можно судить по параллель­ ности их линейных проекций (рис. 30).

6 .

В З А И М Н О Е П О Л О Ж Е Н И Е П РЯ М О Й И П Л О С К О С Т И

Известно, что прямая линия лежит в плоскости, если какиелибо две ее точки принадлежат этой плоскости. Вопрос о при­ надлежности точки плоскости на комплексном чертеже рассмот­ рен выше. Признаком принадлежности прямой плоскости может служить также принадлежность одной точки прямой данной плоскости при параллельности этой прямой какой-либо прямой, заведомо лежащей в данной плоскости (например, прямая п на рис. 18).

22

Известно также, что прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Следовательно, нужно воспользоваться признаком па­ раллельности двух прямых, рассмотренным выше.

Особый интерес представляет пересечение прямой с плос­ костью, поскольку эта задача может быть не только самостоя­ тельной, но и входящей в более сложные построения.

Пересечение прямой с плоскостью

Рассмотрим порядок отыскания точки пересечения (встречи)

прямой с плоскостью (рис. 31, а). Через данную прямую прово­ дим вспомогательную плоскость Ф. Далее определяем линию п пересечения данной плоскости 2 и вспомогательной Ф. На пе­ ресечении данной прямой m и полученной прямой п находим искомую точку К.

Рис. 31. Принцип определения точки пересечения пря­ мой с плоскостью

На рис. 31, б показан комплексный чертеж той же задачи. В качестве вспомогательной взята горизонтально-проецирующая плоскость, но можно взять и фронтально-проецирующую пло­ скость. В обоих случаях, поскольку плоскость проецирующая, уп­ рощается ее проведение через прямую и построение линии ее пересечения с данной плоскостью.

Если прямая пересекается с проецирующей плоскостью, то точка их встречи имеется на исходном чертеже, на той плоско­

23

Проверка взаимного положения прямой и плоскости

Для проверки взаимного положения прямой и плоскости можно выполнить такие же построения (рис. 32), как для оп­ ределения точки их встречи. Так, через прямую A B проведена фронталыю-проецирующая плоскость S , которая пересекается с

Кг

Кі

Рис. 32. Проверка взаимного положения прямой и плоскости:

а

плоскостью K LM N по прямой 1-2. Прямые A B и 1-2 параллель­ ны, так как их горизонтальные проекции параллельны (слияние их фронтальных проекций — частный случай параллельности).

верить это, достаточно убедиться в параллельности фронталь­ ных проекций этих прямых линейной фронтальной проекции дан­ ной плоскости. При этом следует учитывать, что указанная параллельность означает параллельность фронтальных проек­ ций данной прямой и некоторой прямой, лежащей в данной проецирующей плоскости. А к горизонтальной проекции дан­ ной прямой всегда можно подобрать параллельную проекцию прямой, лежащей в данной плоскости.

24

7.

П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р Н О С Т Ь НА К О М П Л Е К С Н О М Ч Е Р Т Е Ж Е

При создании и особенно анализе графических изображении перпендикулярность различных элементов используют особен­ но часто. Перпендикулярность рассматриваемой плоскости к плоскости проекций упрощает изображение, облегчает многие построения. По прямой, перпендикулярной другой прямой или плоскости, измеряют расстояния, а также используют прямой угол в других метрических задачах.

Отсюда ясно,, как важно определять или создавать прямые углы на комплексном чертеже.

Перпендикулярность двух прямых (проекции прямого угла)

Если проецирующие плоскости 0 и Ф (рис. 33) взаимно пер­ пендикулярны, то в пересечении с плоскостью проекций ГЕ они дадут прямые т' и п', образующие прямой угол с вершиной в точке О'. Очевидно, полученный на плоскости ГЕ прямой угол —• это проекция любого плоского угла, вписанного в двугранный прямой угол,-который образован плоскостями Ѳ и Ф. Например, произвольный (острый или тупой) угол а спроецируется в пря­ мой угол, если его стороны лежат в плоскостях Ѳ и Ф.

Прямой угол между прямыми т и п, параллельными плос­ кости П ', также спроецируется в прямой, т. е. в натуральную величину; это характерно для любого угла, обе стороны которо­

Из сказанного можно сделать важный практический вывод;

проекции перпендикулярных прямых образуют прямой угол, ес­ ли хотя бы одна из этих прямых параллельна данной плоскос­ ти проекций, т. е. является линией уровня.

Иными словами, если для проецирования любого плоского уг­ ла на одну из плоскостей проекций в натуральную величину не­ обходимо, чтобы обе его стороны были параллельны этой плос­ кости проекции, то прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна указанной плос­ кости проекций.

25

Примеры проецирования прямого угла в натуральную вели­ чину приведены на рис. 34, а, б, в. На рис. 34, а показаны про­ екции угла, который хотя и проецируется на обе плоскости про­ екций в виде прямого угла, в действительности не является пря­ мым, так как образован прямыми общего положения.

Для анализа графического изображения полезен обратный вывод: прямой угол на изображении (в проекции) соответствует прямому углу в пространстве, если одна из сторон последнего является линией уровня по отношению к плоскости проекций, на которой изображен прямой угол.

Можно ошибиться, считая прямым угол, показанный на рис. 34, д. Этот угол спроецировался в виде прямого на фронталь­ ную плоскость, но одна из его сторон — горизонталь — явля­ ется линией уровня не к той плоскости, на которую угол спрое­ цировался в прямой.

Перпендикулярными могут быть не только пересекающиеся,

26

но и скрещивающиеся прямые. Как известно, угол между скре­ щивающимися прямыми т и п (рис. 35, а) измеряется углом между одной из скрещивающихся прямых п и пересекающейся с ней прямой т*, проведенной параллельно прямой т — другой из скрещивающихся прямых. Следовательно, условие проециро­ вания перпендикулярных скрещивающихся прямых остается таким же, как и для пересекающихся прямых: проекции перпен­ дикулярных скрещивающихся прямых образуют прямой угол, ес­ ли одна из этих прямых параллельна рассматриваемой плоско­ сти проекций.

На рис. 35, б показаны перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Прямой угол между ними имеет натуральную величину на горизонтальной проекции, так как одна из скрещивающихся прямых — горизонталь /г.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая а (рис. 36, а) перпендикулярна плоскости 2, если она перпендикулярна каким-либо двум пересекающимся прямым Іг и f, лежащим в данной плоскости и проведенным через точку встречи К данной прямой с данной плоскостью. Если в качестве вспомогательных прямых взять горизонталь и фронталь в дан-

Рис. 36. Перпендику­ лярность прямой и плоскости

ной плоскости, то они служат «ориентирами» для проведения перпендикуляра к плоскости на комплексном чертеже (рис. 36, б) - В соответствии с условием проецирования прямого угла, рас­ смотренным выше, прямой угол с горизонталью будет виден на горизонтальной проекции, с фронталью — на фронтальной про­ екции. Поэтому каждая проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна к одноименной проекции прямой одноименного уровня, лежащей в данной плоскости.

27

При этом вовсе не обязательно проводить вспомогательные линии уровня через основание перпендикуляра (оно может быть неизвестным). Поскольку все линии одноименного уровня парал­

Л И Н И Я СКАТА В П Л О СК О СТ И И ЕЕ Ф И ЗИ Ч Е С К О Е З Н А Ч Е Н И Е

К.ак известно, шарик, предоставленный свободному качению по наклонной плоскости, скатывается по кратчайшему расстоя­ нию к любому горизонтальному уровню, расположенному ни­ же. Иначе говоря, шарик скатывается вдоль прямой, располо­ женной в данной плоскости перпендикулярно к любой ее гори­ зонтали. Такую прямую, исходя из ее физического смысла, на­ зывают линией ската (рис. 38). В соответствии со свойством проецирования прямого угла в данном случае он виден в на­ туральную величину на горизонтальной проекцииПоэтому про­ водят сначала горизонтальную проекцию линии ската, а затем ее фронтальную проекцию, как для прямой, пересекающейся с данными прямыми.

Очевидно, что линия ската является и линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости. Линию ската можно пред-

28