книги из ГПНТБ / Микерин, И. К. Аэродинамика летательных аппаратов

оси) вокруг бесконечно длинной прямоугольной оси

( р и с . I . 1 6 ) .

Такое движение называется вихрем. Распределение

скорости в

плоском вихре подчиняется закону

— j -

Г

V a i ï î '

где

-

циркуляция

скорости, характеризующая

интенсивность

вихря;

Т

-

расстояние

от

оси вихря.

Так как

è l

"

»t

- u

,

потенциал

скорости не

зависит

от

радиус -

вектора,

a

d ц -

V s d S

= gjft dS .

Подставляя

вместо

(tS

=

id

Q

% интегрируя, получим;

SX v

,

" - Z D

где

Ѳ

-

полярный угол

точки, находящейся

в

поле

вихря.

Поверхности

равного

потенциала

будут при

Ѳ

=

c o n s t ,

то есть

они

проходят

через

ось

вихря

и радиус

-

вектор

точки,

в) Источник (или сток) на плоскости

Источником называется некоторая

точка ( о с ь ) ,

из

кото­

рой непрерывно

вытекает

жидкость,

растекаясь

от

точки

0 по

радиусам

с

переменной

скоростью

V i

(рис.

І . І 7 ) .

В

проти­

воположном

случае,

когда жидкость

течет по радиусам

к

точке О,

kl

последняя называется

стоком. Определим потенциал

скорости

в точке А,

находящейся на

расстоянии

ß

от

источника.

Проведем из

точки 0,

как

из центра^окружность

радиуса

R

,

проходящую через точку

А. Обозначим

G

цилиндра

радиуса

ß

и образующую равную единице. В данном

случае Q. = 2

• H •

,

откуда

Ѵг

~ Jvjfç

.

Так как

if

зависит

только

от

одной переменной

, то

<ІЦ * Угаг

*çfçdl

,

a

^мст. = jfiln2.

(1.22)

Для стока

IfcT. s " g £ - ^ -

(I.22a)

Эквипотенциальными поверхностями будут окружности (если

источник

в

виде

оси ?

то цилиндрические

поверхности)

постоянного

радиуса.

Г )

ДИПОЛЬ .

Диполем

называется совокупность

источника

и

стока

с

расходами

соответственно

друга.

и

- 0-

,

расположенными

бесконечно

близко друг

от

Модули расходов

Û

сказано

подчиняются

дополнительным

условиям,

о чем

будет

/о/

ниже. Определим

потегдаял

скорости в

точке

А, находящейся

ственно

на расстоянии

ß |

и

(рис. I . 1 8 ) . Применяя

принцип

суперпозиции

можно

записать,

что,

<рд • « « , . •

-

Л

ка

^ т

а

Перейдем от полярной системы координат-

прямоуголь­

ной.

N

Пусть

ось

ОС

будет

проходить через

источник

и

сток,

а ось

У

-

между

ними, на

равном расстоянии

£

.

В

42

так как

где

0

- угол между осью диполя

и

радиус -

вектором

точки

А.

§ І . І О .

Симметричное

обтекание

цилиндра

потенциальным

потоком

идеальной жидкости

ную систему координат

ОЭСУ1

с центром на

оси

цилиндра.

Ось

ОХ

направим

по

вектору

скорости

V

„

ось

OZ.

-

по

оси

цилиндра,

а

ось

_

перпендикулярно

им

(рис.

І . І 9 ) .

В этом случае

вдали

от

цилиндра

скорость

потока

Ѵ *

=

Ѵ

1

^

При

w

w

Vi

Л

j

t

=• ° °

•

(1-27)

Ѵу

г

= О

безотрывном обтекании цилиндра га его поверхности

радиальная

скорость

Ѵг = о с г = г о)

( І - 2 8 )

Эти два

условия

являются

граничными

для

определения

потенциала

скоростей.

Для их выполнения

рассматриваемое

течение жидкости

около

цилиндра

в плоскости

ХОУ

можно

представить состоящим из

двух

простых потоков:

поступательного

со

скоростью

V

и

параллельного оси

ОХ

и

диполя,

поме-

К

cos Ѳ

(1.29)

R

На основании соотношения (1.29) получим,

что вдали

гт цилиндра

(

R

=

°* °

)

If

-

Ѵ Х ,

Ѵ х =

Ѵ ,

V if =

= 0

, т о

есть

граничные

условия

(1.27)

выполняются. Если

принять M = 2#*V2.q?

то граничное условие (1.28) также

будет выполнено. При

такой подстановке выражение (1.29) в полярных координатах

запишется:

у*

\

Cf

= V i cos Ѳ (4 * -fè

j»

( І - Э 0 )

откуда

Ѵг

= т5т

= Vcos Ѳ £l-

)

•

(ІѴЗІ)

O l

*•

У

V

= - V S i n ö f ^ î | )

^ . 3 2 )

;

ѳ

'ï о Ѳ

с / .

Из формулы

( І . З І )

видно, что на поверхности цилиндра

( t

-

7о )

радиальная

скорость

Ѵг

=

Oj

то

есть

условие

(1.28)

выполняется. На поверхности

цилиндра

окружная

скорость

Ѵѳ

=

~

£

V S i » Ѳ

. При #

= 0

( ю ш

0, рис.

І . І 9 )

Ѵѳ = °«

Действительно, частицы жидкости, встречающие поверс-

ность

тела по нормали,

полностью

теряюі свою скорость. Жри

Ѳ =

*Э0°

(точки А и. В,

рис. І . І 9 )

V e

r j3rk^

§ І . І І .

Интеграл

Бернѵлли.

Уравнение

Бернулли

Уравнение Бернулли является одним из основных уравне­

ний аэродинамики. Оно выражает закон

сохранения

энергии

вдоль отруЛки и устанавливает зависимость между

скоростью

движения и основными параметрами

жидкости:

Р Р

и

Получим уравнение Бернулли для установившегося

потенциально­

го движения идеальной жидкости. Для этого

воспользуемся

уравнениями движения в форме Эйлера

( І . І З ) . Все члены

каждо­

го из соотношений ( І . І З )

умножим

соответственно

на

dx;dy;dl

и сложим левые и правые

части. Учитывая, что g^jr = Ух )

^ z ^ b f ô -

запишем: ( V x d V x + VydVy + V t d V i )

-

дифференциал от половины квадрата скорости

&

^

Так как движение потенциальное, то сумма

£ ^ о Т *

^ у ^ У + ^ г ^ І

является

полным дифференциалом' потенциала

массовых сил.

И, наконец, остальные члены соотношения

(1.33) представляют

полный дифференциал давления, отнесенный

к массовой плотнос­

ти ß

. Таким образом, на основании соотношения

(1.33)

или изменение

одного вида энергии обязательно приводит к

изменению

других

видов. Направим оси прямоугольной системы

координат

таким

образом,

чтобы

ось

О У

была

направлена

от

центра

Земли как продолжение ее

радиуса.

Тогда составляю­

щие ускорения

массовых сил Qx=

= 0, а

^

=

.Урав­

нение Бернулли в этом случае можно записать так

V2

\.

+

i?L9 г 0 ,

а после интегрирования

получим

£

+ Р

+

J - ?

(1.35)

где

У

-

гоордияата,

характеризующая

положение

сечения струйки.

Соотношение (1.35) называется интегралом Бернулли.

Каждый член этого соотношения

характеризует

энергию единицы

массы

газа:

•g-

-кинетическую,

- потенциальную массовую,

t dp

-

потенциальную

энергию

давления.

J

-j~

Следовательно, соотношение (1.35) моэдо сформулировать

так: при установившемся потенциальном движении идеальной

жидкости

суіпа

кинетической,

потенциальной

массовой и потен-

Для несжимаемой жидкости fi

=> c o n s f

и соотно-

шение (1.35) принимает вид:

+ ^ У + ^ - = С

ИЛИ ^ + Р

= ^

t p r

р

=

С ь

(1.36)

где fi

= J>ty

-

уА ельный вес жидкости .

Каждый член соотношения 'Т.36) имеет размерность дав­

ления и

называется

^^г

-

скоростной напор,

характеризующий

кинетическую

энергию

единицы

объема

жидкости;

Р

-

статическое давление,

характеризующее

потенциальную

энергию

единицы

объема

жидкости;

давления и положения единицы объема есть

величина постоянная

во всех сечениях одной и той же струйки.

При

полете летатель­

ного аппарата в воздухе изменение высоты

У

небольшое,

поэтому потенциальная энергия положения

изменяется

мало и в

уравнении Бернулли вторым членом пренебрегают

ввиду

его малости.

4 Г ' Р = C O h i t

(1.37,

Уравнение Бернулли для сжимаемой

жидкости

г

do

При изменении

массовой

плотности

J

~р"

можно

взять,

если есть аналитическая зависимость между

P a ß

Получим уравнение Бернулли для изэнтропического

течения.

В этом

случае отношение

= const = А .

Следова­

тельно.

р = А Р '

-, dp

= А К Р К И

dp.

Таким

образом, уравнение

Бернулли для сжимаемой

жид­

кости принимает вид:

I й

t £ У +~

J-

= const

( I e 3 8 )

Если взять два различных сечения одной струйки, то

для них уравнение Бернулли

можно записать так*.

Для воздуха второй

член уравнения Бернулли значительно

меньше первого и третьего

и им пренебрегают. Поэтому уравне­

ние

Бернулли для воздуха

с учетом сжимаемости имеет вид:

k.

Зак . І 7 ? р .

' 49