Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Микерин, И. К. Аэродинамика летательных аппаратов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 394 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Возьмем элементарную струйку в установившемся потоке

жидкости и выделим в ней два сечения: І - І и 2-2, перпендику

лярные векторам скорости. Обозначим Ft и Vs. площади по перечных сечений. Ввиду малости сечений можно положить

плотности и скорости в каждом сечении постоянными и равными

их средним значениям ( р и с . I . I I ) .

Так как жидкость не втекает и не вытекает через боковую

поверхность, а движение установившееся, то масса жидкости, находящаяся между сечениями І - І и 2-2 со временем не изменя

ется .	Следовательно,		масса	жидкости, втекающая		через сечение
І - І в	единицу	врецени, должна быть			равна массе жидкости, выте
кающей через		сечение	2-2:
	Л V, F ,			V a F â	= c o n s f .

Это уравнение можно сформулировать так: при установив шемся тг ченти ."адкоста м&лсовый секундный расход через любое


сечение струйки есть				величина постоянная. Уравнение ( I . I 2 )
называется		уравнением постоянства расхода.
	Если	жидкость		ьесгтамаемая,		то плоіность не изменяется,
то есть		= р£		-JS и уравнение*			постоянства	рас
хода	принимает вид:
		V, F«		'	Va Г л s	C o n s t	(1 . 12а)
или	при установившемся				движении	несжимаемой жидкости		объем
ный секундный расход жидкости через любое							сечение струйки
есть	величина постоянная.
Уравнение		( І . І 2 а )	можно		представить в таком виде:
		V i -	s				(1.126)

На оснозашш соотношения(l.I2öJможно заключить, что скорость течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения струйки, схедовательно, с уменьшением поперечного сечения стру£.си скорость увеличивается и наоборот, при расширении струйки скорость уменьшается.

§ 1.6. Уравнения движения в Фодае Эйлера

Уравнения получены в 1755 г . членом Российской Акаде мии наук, петербургским ученым Л.Эйлером на основании 2 з а кона механики, который гласит, что инерционные силы, дей ствующие на тело, равны сумме поверхностных сил, то есть

£ F пев = т Ш"

Ур&лнения справедливы для изэнтропического течения идеальной жидкости. Для зывода уравнений введем в потоке движущейся

жидкости	прямоугольную систе..;у координат OLOtjZ					( р и с . 1 . 1	2 ) .
В некоторый		момент	времени	£>	выделим в	потоке
частицу	ллдкости в		Еиде бесконечно малого параллелепипеда
dzciydè		с гранями, параллельными			координатным плоскостям.

При принятых выше допущениях (нет теплообмена и отсутствуют силы внутреннего трения) на частицу жидкости действуют сила:

а) поверхностные:

-силы давления;

-массовые - силы веса.

б) инерционные.
Пусть	Р	- средняя массовая	плотность жидкости
выделенной	частицы",	тогда	- масса этой час

тицы. Составам уравнения равновесия сил, действующих на выде31

ленную	частицу в проекциях на координатные оси.					Рассмотрим
силы,	действующе		в	направлении оси	О Х .
а) Поверхностные			силы.
	Пусть	Р (х,		У, Z , i e J - среднее	значение	давления
левой	грани,	а р (х+с/лгдг^)-среднее			давление правой		грани.
Тогда	сила давления,			действующая в направлении		оси	О Х ,
равна


Давление	D	в общем случае зависит от четырех параметров:
X , У, 1,"fc-			При	тереходе			от	левой	грани к правой изме
нился лишь аргумент				X	на		величину		dot	. Будем полагать
функцию	Р	непрерывной				и дифференцируемой. Раскладывая
функцию	р	(х+	0.x,	У, ï,		t o )		в ряд Тэйлора
и ограничиваясь			двумя		первыми членами				ряда, получим:

Эх

При определении массовых сил будем учитывать только силу

веса, которая, как известно, равна Q = Ш^- и направлена

к центру Земли. В общем случае ускорение земного тяготения может не совпадать по направлению ни с одной из осей введен

ной нами системы	координат.
Обозначим проекции ускорения			9	н а °°ш введенной
системы координат	ЭС.У.І	соответственно		9 * / ^ У < < ? г
Тогда массовая сила, действующая на частицу жидкости в
направлении оси	ÛLX будет	равна
32

е с т ь

Р х м =	m £	*	-JxLxcLycL-L
б) Инерционные	силы.
Так как масса		частицы	равна Pdxdydï.	, то

Уравнение равновесия сил в направлении оси О Х будет иметь вид:

Сокращая все члены полученного соотнршения на		pdxdijdi.,
получим уравнение Эйлера	для единичной массы в	направлении
оси О Х :
" 7 *	Р ах

Выясним физический смысл всех членов полученного уравнения. Величина "apf ~ ускорение частицы в кчправления оси ОХ;

Çx	-	ускорение,	вызванное массовыми силами;
^5	- ускорение, вызванное силами давления.
Составляя	аналогичные уравнения в направлении осей			ОУ и 02.
получим ещё 2		уравнения:
• a t	9	* j y - »	^
Таким образом,составляющие полного ускорения частицы
жидкости	вдоль координатных осей складываются из			ускорения ,
За.:. 17"-,.				'3-

от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения являются основными дифференциальными уравнениями движения идеальной жидкости. Они справедливы .для снимаемой и несжи маемой жидкости. Различие будет лишь в характере изменения плотности: для несжимаемой жидкости fi = СОП&і: , для сжимаемой плотность является переменной величиной.

Левые части уравнений Эйлера можно представить в разверну том виде, если'учесть, что

где	I = X , У, 2..
В этом	случае уравнения Эйлера принимают вид:

è t v x à x V y a y Y * a z . p aor >


èt + v * a x + v W + v		* à T		^ э у '
еѴг^и	<*li+v	&k	-	о - i - ^
Т ѣ + Y *àx	ѵ У Э у t V	i J t	- Я г		p a i -

( І Л З а )

Для установившегося движения	ЛѴ* _ ЭѴу _ Э Ѵ н = 0
Для установившегося движения	' ^ f	~ c5t ~ и
уравнения Эйлера упрощаются:		, ft

Уравнениг Эйлера не учитывают вязкость среды. С учетом

вязкости эти уравнения,известные как уравнения Навье-Стокса,

имеют вид: 3<+

д t *^dX + Ѵ У д У + W

РдХ V№2

д-^Загі

( І . І З в )

ô t	Чгдх	Щ	^ді	J d i +	V l d a : 2 t d y 2 d ï 5	з а і і
где	ѳ	=	a y	' d i
		a x	a y	' d i
		§	1.7.	Вращательное	движение
				жидкости
	Как известно, произвольное				движение твердого	тела

можно разложить яа два вида: поступательное движение центра

масс и вращательное движение вокруг			центра	масс. Движение
жидкой чаотшн	оказывается	сложнее.	При перемещении она
может изменять	свою форму,	объем, то	есть	деформироваться.

Поэтому общее движение жидкой частицы состоит из трех видов:

поступательного, вращательного и деформационного. Также, как

и для	твердого	тела	пар	метры			1		•> Ѣdt
						% Vu. Vç. in					dVs.
характеризуют поступательное движение. Выяснил,dt										какие пара
метра описывают деформационное, и вращательное движения
жидкости. Возь..ем частицу жидкости							в	виде	параллелепипеда
с ребрами		,с{у,			.	Рассмотрим			движение		одного из
ребер	(например, ребра			А 0 , A i )			(рис.		І . І З ) .
Пусть	составляющими		скорости		в	точке		Ао	буду?		Vac,Ѵу, .
Тогда	составляющие		скорости		в	точке		А< будут, равны:


Если	бы в	точке	Д 4	приращения скоростей			не было,		ребро
Д й	Д	двигалось		бы	поступательно. Изменение			скорости
в направлении оси			ОХ		, то	есть параметр	- ^ д . - Q X		вызовет
изменение		длины отрезка			d x	(ребра Ао	Ai),	или его

деформацию (растяжение или сжатие). Частная производная

будет характеризовать удельную линейную деформацию,

О X

то есть деформацию отрезка единичной длины. Изменения ско

рости в	точке	А в		направлении		других осей		А — d X	и
у а /								о ос
^ Д ^ -	d l	вызовут			поворот	отрезка	А 0	А^соответственяо
вокруг осей		ОН.		и	О У , а	частные	производные
и			• будут характеризовать угловую скорость
поворота	вокруг		этих		осей. Если рассматривать ребра				А0А_2И
А 0 А3 , можно установить, что частные производные									и \| ^
характеризуют удельную линейную деформации этих ребер, а
•^•~» ;		;	-g-j— ;		-^—	- угловую скорость ращения.

Таким образом, производные от составляющих скорости по одно

именным координатам ' ffi" ' i f характеризуют

удельную линейную деформацию жидкой частицы или деформацион

ное	движение, а частные производные от составляющих скорости
по	разноименным ксординатам	- g - ^ ; ^^-/		-g^-;		-^j-',^^)^
- угловую скорость вращения		или вращательное			движение части
цы. Вращательное движение жидкости в аэродинамике						называется
вихревым. Угловая скорость вихревого движения обозначается CÜ .
Как и любой вектор его можно разложить на составляющие по
осям прямоугольной системы		координат:	UOx,		l ü y ,	COj.Путем
простейших геометрических построений и вычислений можно
получить, что
i n	- i / î W i â & V и ) - i	fé&-*&V	U)	Л	/ ^ - < Ш 1
ш * " a l a y " 5 ? h ^ « - ^ 1 3 ? д д г > ш і а ^ х						a y j i . 1 4 )
36

Вихревое движение жидкости широко	представлено	в	природе
и используется в технике. Теория	вихрей играет	значительную
роль в аэродинамике: она положена	в основу теории		крыла при

дозвуковых скоростях полета. Для количественной оценки вих ревого движения вводится понятие циркуляции скорости. Для выяснения этого понятия возьмем в потоке движущейся жидкое -


ти замкнутый		контур	L	(рис. I . 1 4 ) . Пусть в		некоторой
точке	M этого	контура	вектор	скорости равен V		. Выде
лим в	окрестности точки ш вектор				элемента контура	dt
и составим скалярное			произведение		Vdl =с(.Г - Vcosddf =\/idl>

Это скалярное произведение называется элементарной циркуля

цией	скорости,		а интеграл ф^^І - <p\}odt = [~>
вычисленный		для	одного и того же момента времени по всему
контуру L		,	называется циркуляцией скорости по конту-
РУ	L

При вычислении циркуляции Г обязательно задается направление обхода контура ъ процессе интегрирования. Выра жению для Г можно придать другой вид. Из век торного анализа известно, что скалярное произведение двух век торов равно

поэтому		Г =	$Vdl = Ф vx doc + VydU + V;>cU
Физического			смысла		циркуляция	скорости не имеет. Условно
можно	сказать,			что	циркуляция	есть	"работа"	скорости на	пути
L	•	Однако		она	является важной		величиной	в аэродинамике.
По значению				Г	вычисляется	подъемная сила		крыла при	дозву
ковых	скоростях полета.

§ 1.8. Понятие о потенциальном движении жидкости. Потенциал скорости

При обтекании тел потоком жидкости вращательное

движение наблюдаеіся в местах резких изменений скорости. Для тонких удобообтекаемых тел, которые являются важней шими для авиационной и ракетной техники такими местами

являются: пограничный слой, скачки уплотнения, спутная струя

за телом. В остальной ч-сти потока вращения не наблюдается, поэтому случай, когда отсутствует вихревое движение, имеет важное практическое значение. Рассмотрим такое движение более подробно. При гтсутствии вращения угловая скорость

GÜ = 0	и		= ООу - U> £ = 0.		На	основании		соотношения
( I . I 4 )	можно		записать, что в этом случае
~èT		~	à*>	a i 'Эх	>	ег	'	ci.15)

Соотношения (I . 15 ) позволяют значительно упростить вычисле

ние	, Ѵу	И	V i	как функции		координат потока,
заменив	эти три неизвестные одной.
Предположим,			что	сущестъует	функция	Ifj^yг ^( зависящая
только	от координат пространства,				полный дифференциал кото
рой
dif = Ѵхр(х + Yydy + Vîûfi .							( І Л 6 )
Если составить		для	c i	if выражение в частных			производных
ä i t - ^ d x			* ^ d y * ^ d %				( І Л Ѵ )

и учесть, .что в соотношениях (І4 Іб)^Е.І7) d"X , d У и d"h 33

суть произвольные приращения координат, получим

Из математики известно,		что необходимым и достаточным
условием	существования	функции	является	равенство
частных	производных, определяемых		соотношениями	( І . І 5 ) .

Эти соотношения справедливы для безвихревого движения.

Таким образом, если движение жидкости происходит без враще

ния частиц вокруг своей оси, то выражение				( І . І 6 )	является
полным дифференциалом	некоторой функции координат Ц(х,ЧлУ
Эта функция называется, потенциалом скорости.
Всякому движению жидкости,		происходящему без вращения
частиц, соответствует	свой потенциал		tf	и наоборот,		если
существует потенциал	скорости ^	,	то движение		происходит
без вращения частиц, поэтому такое движение называется
потенциальным. Для потенциального		движения проекция				скорости

на любое направление равна частной производной от потенциала

скорости на это направление, то есть

				V« = U	•
С введением функции			If	упрощаются многие		расчеты	в	аэро
динамике,	так как вместо			Ѵос , Ѵц,	Ѵг.	необходимо		звать
выражение	для	Lf	. Например,		уравнение	неразрывности
для несжимаемой жидкости вместо соотношения						( І . І І б )	принима
ет вид
							(1.19)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 394 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ