книги из ГПНТБ / Микерин, И. К. Аэродинамика летательных аппаратов

I .

Гипотеза сплошности среды

Воздух, как и любое другое вещество, имеет молекуляр­

ную, прерывистую

структуру.

Однако во многих

задачах

аэро­

динамики можно отказаться от молекулярного строения возду­

ха и рассматривать его как

сплошную среду.

Действительно,

если взять частицу воздуха объемом в I мм3 ,

то при исследо­

ваниях её можно считать

точкой. Но у поверхности

Земли в

I мм3 воздуха содержится

27

• ІО*6 молекул,

так

что дискрет­

ность строения воздуха при исследованиях не скажется.

Схема, заменяющая прерывистую структуру воздуха сшіош-

яой средой, получила название гипотезы сплошности среда.

При этом предположении получены основные законы движения.

Следовательно, они имеют

силу в достаточно плотных слоях

атмосферы на высотах

И

6z

60 - 80

км. При больших И

гипотеза сплошности среды не применима и таи имеют силу

законы аэродинамики разреженных

газов.

2. Принцип обращенности движения

ПрЕ определении аэродинамических сил, действующие:

на поверхность тела, движущегося в воздухе,

обычно исполь­

зуют принцип обращенности движения, то есть

полагают,

что

ае тело движется в неподвижном воздухе,

а

неподвижное

тело

обтекаемся потоком воздуха,

имеющим во

всех

точках вдали

от тела скорость,

равную по величине скорости полета

тела,

но

обратную по направлению

(рис.1.6).Законность

этого приема

вы­

плотность и температура не изменяются с течением

времени,

то движение называют установившимся. При этом і

различных

есть:

Ѵ х

Іі

(SC, У,

Vy =• f a

( X , y, z j ;

V y

=

V y

(CC, У,

Z f t j ;

P

=

P

( x , y . E . t ) ;

(

'

T

=

T ( a , y . - H - . - fc) .

5. Понятие

об

идеальной

жидкости

где

JS

р

J

соответственно

плотность,

давление

'

4 ,

4

и

температура начального

состояния

газа;

Р

Р

Т

текущие

значения

параметров

газа;

К

-

показатель адиабаты, равныйдля

воздуха

1,4.

§

1.4.

Способы

изображения

потока.

Ст?.уіі,-:а

В

момент

времени

"fc0

возьмем

в

пространстве,

з а ­

полненном

жидкостью,

некоторую

точку

A Q . Пусть

в

этой

точке

скорость

Ѵ о

( р и с . 1 . 7 ) .

Отложим

от

точки А 0

вдоль

вектора

Ѵ о

бесконечно малый отрезок

длиной

Л

"£.< .

Конец

этого

отрезка

обозначим

A j .

Пусть в

этот же

момент времени

t 0

скорость

в

точ­

ке А равна V*

-

Отложив'от точки

отрезок

Д £ двдоль

вектора, получим

точку

ft

г

. скорость

в которой

равна

У 2

(вагот

же момент

времени

) .

Продолжая

этот

процесс

далее,

получим

ломаную ли-ию А 0 Aj A j A j . . . .

An ,

образованную

отрезками

Д

, А

, à Z$

... Д&і. Если

положит»

25

линия называется линией

тока. Таким образов, линия тока

представляет собой огибающую векторов скорости в разных

точках потока,

веятых в

один и тот же для всех точек момент

времени

і » х

. Через

каждую точку в потоке можно про­

кости, н:холящуюся

в точке

рассмотрим

её

движение

во

времени. Как известно, геометрическое место

точек,

показы­

вающее последовательное

положение частицы

в

потоке,

называ-

ется траекторией. Необходимо четко представлять различие

между линиями : тока и траекториями частил. Траектория

час ­

тицы фиксирует изменение

положения одной и

той же частицы

с течением времени;

линия тока

указывает

направление

ско­

Так,

если взять

частицу в точке AQ в момент

времени

t o

, .

то,

двигаясь по

направлению вектора

Ѵ о ,

через

промежу­

ток

времени

A t

= А^1

она

может

подойти

к точке

A j .

Однако, за

это

время величина

и направление

скорости

в

точ­

лению к точке Ао, то

есть

частица сойдет с линии

тока, соот -

• ветствующей

времени

"to

и перейдет на линию тока,

прохо­

дящую через

точку A j ,

но

соответствующую времени

t o

+ û t . ,

Возьмем в потоке движущейся жидкости небольшой

замкну­

тока. В результате получим некоторую замкнутую боковую

поверхность, которая называется

трубкой тока.

2и.5кость,

заполняющая трубку тока, называется струйкой. По

своей

дли­

не

струйка может сужаться, расширяться, изменять

свою форму

и

направление, приспосабливаясь

к обтекаемому

телу. Но

так

жидкость не может втекать или вытекать. Это

обстоятельство

позволяет рассматривать течение в струйке изолированно

от

окружающего п с о к а , как

если бы струйка имела непроницаемые

стенки. При исследовании

движения жидкости

вокруг тела

весь

§ 1.5.

Уравнение

неразрывности.

Уравнение

расхода

Для математического описания движения жидкости

необходимо знать

следующие

параметры:

Ѵ х

= Va (bc.V.îL.iJ

» Ѵу ( x . y . - L / t ) ,

Va

«

V i

(эс, y. t . t ) ,

P = D t a , y , i , t )

JO =>D

&,Ч.Ъ.Ь),

T =

T (3C, y . z . - t ;

в каждой

точке потока в любой момент времени.

Следовательно,

для определения

этих

параметров

необходимо

иметь

систему

из

6 уравнений. Параметры состояния газа связаны меаду собой

уравнением ( I . D . Поэтому для определения остальных неиз­

вестных

необходимо иметь 5 уравнений. Этими

уравнениями

явля­

ются: а)

уравнение неразрывности; б) 3 уравнения Эйлера;

в) уравнение

Бернулли.

I .

Уравнение

неразрывности в

общем

виде

Уравнение

неразрывности

выражает

закон

сохранения

материи

применительно к жидкости и устанавливает

зависимость

между плотностью и скоростью.

1 При

вызоде

уравнения

используется

гипотеза

сплошности среды. В поле потока

введем

прямоугольную

систему

координат

ОХЯЪ. и выде­

лим элементарный

объ^м

пространства

в виде

параллелепипеда

с гранями, параллельными основным координатным плоскостям.

Пусть в

рассматриваемый

момент времени

t o

средняя

плот­

ность жидкости внутри выделенного объема

равнаß ("X, Я,

1.Ло\

тогда масса жидкости в этом объеме в момент

времени

Ѣо

будет

m ( t u )

а р а н а ч и ъ .

( рис .

І . І О ) .

Предположим,

что в момент

времени t

» to+rft плотность

измени­

лась и стала

flfa,У.%

, і й

+ ö f t j .

Будем

считать функцию

26

непрерывкой,

дифференцируемой. Тогда,

расклады­

вая функцию

р (Х,У, ъі tQ

+ dt

) в ряд Тэйлора

и ограничи­

ваясь двумя

членами ряда, полу^ш J> (be,У.Z.,i0

>dt)=ß(x.Utu)*%[dl

Следовательно, масса сре;м в рассматриваемом объеме в момент

времени

t 0

+-dt

будет

равна

miu

+

ut)z[}(x.i}xU)i-&ldt]dzdtidi

Таким образом, за время

d t

произошло изменение

массы

жидкости в

объеме

dxdydl

на величину

a m

~

m

жидкости

через

грани

выделенного

параллелепипеда.

Рассмот­

рим движение жидкости в направлении

осп О Х

. З а

время

Ct t

через

левую грань,

имеющую координату

X

,

г

выделенный

объем пространства

втекает

масса жидкости

( fi^TÙx dydï

, где функция (ß4x)x

имеет

сред-іее

зна­

чение для левой

гра:и за время

d t .

За это же время

через

правую грань, с

координатой

ОС + dx

,

вытекает масса

жидкос­

ти (>PVx)x+dx

dydidt

Раскладывая функцию

Vx)a+dxв

РВД Тэйлора

аналогично

функции

ß

(х, Уд , і 0 +dtj . запишем

O y

к

O j

,

аналогично

можно

получить:

dm,

- ^

d

x

d

y d i

d t

,

d m г - â ^ l

d x d y

d i d t,

•4

общий

расход

массы

d m = d r n x + d m l J + d m ? = -

a

ay

e i

d x d y d i d t .

L

Приравнивая полученное

соотношение

и соотношение ( CL )

и сокращая при этом на

,

получим

уравнение

неразрывности

в

общем

виде:

_ а Р

ы

=

0 .

(I . 10)

a t

ô ï

a y

Из

векторного

анализа

известно,

что

Эзс

ay

è i

v _ o

v

другой вид, если

продифференцировать функции Р Ѵ*, рѴ д,Р Ѵ і

как произведение

двух неизвестных величин,

то есть:

a (Pfa) - ар

+ û a v r .

аі^Ь)-Л^м

, о avw •

a t P V i ) - U ? v , + P - â V i

Учитывая также,

что

_ di

V,

получим

at ^Dcdt + ay dt diût

~"ß^x

+ эу~ +

а £ 1

ИЛЕ

4 f

d . v T

( L I T )