книги из ГПНТБ / Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]

где [а*, а**] — пределы допустимых вариаций параметров мо­

дели. Различные дополнительные ограничения на поведение си­ стемы выделяют в параллелепипеде (1) некоторую замкнутую область Сг, объем которой считаем положительным.

Качество модели определяется функцией Ф (а) (критерием

роль каждого из критериев. Для этого надо исследовать возмож­ ности оптимизации модели по каждому из критериев Ф^, которые могут оказаться весьма противоречивыми.

2. Задана иерархия структур, расположенных, например, по возрастанию числа степеней свободы. Требуется найти модель, удовлетворяющую некоторым заданным условиям, с наиболее простой струшурой.

3. Задано желательное поведение динамической системы х (t). Требуется среди возможных решений у (t\ а) системы, описываю­ щей исследуемый процесс, найти такое, которое минимизирует функцию

Ф (а) = ||x(t) — y(t; а

Существующие аппроксимационные методы решения задач синтеза чаще всего не дают оптимальных результатов, так как они не гарантируют физической реализуемости модели. Потребо­ валось создание новых методов, учитывающих сложные функцио­ нальные ограничения.

Пусть при описании модели даны уравнения состояния, а также любые ограничения, накладываемые на систему и выражаемые

При конструктивной реализации моделей возникает следую­ щая задача: из множества моделей выбрать оптимальную, которая максимизирует некоторый функционал, зависящий от решения системы (3).

В некоторой замкнутой области Сг, принадлежащей паралле­

4

ние. Тогда вектор а+ будем называть оптимальным на области G. Для краткости значения Ф (а+) при а+£G будем записывать в виде Ф (а+ | G).

Условиями нахождения оптимальной модели, удовлетворяю­ щей (4), являются функциональные неравенства в виде ограни­

Рассмотрим в качестве примера постановку задачи оптималь­ ного проектирования редукторной установки с косозубым зацеп­

На основании принципа Даламбера взаимосвязь между жесткостными и инерционными параметрами для установившихся вы­ нужденных колебаний без демпфирования описывается следующей системой уравнений:

Здесь A — максимальная погрешность пересопряжения, являю­ щаяся фактором, приводящим к возбуждению колебаний в си­ стеме редуктора; гх, г2 — радиусы инерционных дисков шестерни и колеса.

5

Впроцессе проектирования передачи обычно заданы верхняя

инижняя границы допустимых изменений параметров.

**

к ’

Известны также аналитические зависимости, устанавливаю­ щие прочностные ограничения на звенья передачи.

£, &+1.

Для рассматриваемой пары на основании формулы Герца контактные напряжения в полюсе зацепления и изгибные напря­

зубья с учетом передаваемой мощности N, числа оборотов колеса п п величины диаметра его делительной окружности dA\ ss — тор­ цовой коэффициент перекрытия; тп — нормальный модуль за­ цепления; b — ширина зубчатого колеса.

Значения кКц, X, Ъ, as приведены в [6], ср2, <р3, у2, Уз— решения системы уравнений (6). Проектируемая передача может быть рассмотрена, в частности, при одном из следующих критериев качества:

1) динамическое усилие в зацеплении должно быть минималь­ ным на заданном частотном отрезке [со*, со**], а вибрационные нагрузки, передаваемые на корпус редуктора через опоры, не должны превосходить наперед заданных величин, т. е. требуется найти минимум величины 1

со**

6

где F**, FT, F*T — ограничения на усилия в зацеплении и в опорах. Оптимизация передачи по целевой функции (11) соот­ ветствует минимуму контактных и изгибных напряжений в (9)

и(10);

2)суммарное усилие в опорах минимально при силовых огра­ ничениях (12)—(14). Необходимо найти минимум величины

О)**

3) межцентровое расстояние минимально и т. д. Рассмотрен­ ный пример позволяет отметить следующие моменты, возникаю­ щие при решении задач оптимального проектирования машин

имеханизмов:

1.Минимизируемые функции зависят от многих переменных, т. е. задача является многопараметрической (в рассмотренном примере 9 параметров). Перед проектировщиком нет априорной информации о рельефе r-мерной гиперповерхности поиска; возни­ кает необходимость в просмотре множества вариантов решения.

2.Оптимальные значения вектора а +=(а^, . . ., аД могут ока­

заться на границе области G.

3. Осуществление физической реализации конструкции вы­ двигает непременное условие поиска моделей с учетом ограниче­ ний в виде системы неравенств, это существенно усложняет про­ цесс оптимизации, поскольку пространство поиска зачастую ока­ зывается невыпуклым и несвязным.

Для большинства локальных методов оптимизации, приме­ няющихся в задачах нелинейного программирования с ограниче­ ниями, характерны свойства, существенно ограничивающие их применение. Во-первых, эти методы эффективны при поиске па­

где размерность гиперпространства поиска существенно больше, эти методы становятся практически неприемлемыми. Во-вторых, в результате наложенных даже на «хорошие» функции ограниче­ ний в виде нелинейных неравенств пространство поиска может оказаться невыпуклым и несвязным. В-третьих, разработчики лишены необходимой информации о рельефе поверхности поиска.

Универсальными методами, позволяющими просмотреть все гиперпространство параметров независимо от его свойств, являются методы статистических испытаний (метод Монте-Карло и ЛП-

поиск [8—10]).

Метод ЛП-поиск — детерминированный аналог метода МонтеКарло, позволяющий в отличие от последнего осуществлять в гиперпространстве параметров квазиравномерный поиск.

При решении задач оптимального проектирования метод ис­ пользуется не только для поиска глобального оптимума, но также

7

и для решения уравнении, описывающих проектируемую систему (интегро-дифференциальных уравнений, систем линейных урав­ нений), для вычисления многомерных определенных интегралов, расчета систем с вероятностными характеристиками и др. Схема применения ЛП-поиска при исследовании экстремальных задач в теории машин и механизмов показана на рис. 2.

Статистическое моделирование в диалоге «человек-ЭВМ» по­ зволяет построить процесс нахождения оптимальной модели проектируемой системы как итеративный.

Итерация модели может включать изменения: размерности вектора а (в ряде случаев это эквивалентно изменению числа степеней свободы), функциональных ограничений и ограничений на параметры. Итеративное построение модели предполагает ее усложнение в процессе эволюции структуры — от более простой, основанной на априорной интуиции проектанта, к сложной, ох­ ватывающей по возможности максимальное количество информа­ ции, противоречивых требований и множество ограничений. На первом этапе получают модель в первом приближении. Варьи­ руя параметры системы и различные физические условия ее^' ра­ боты, находят дополнительную информацию, которая позволяет существенно уточнить ранее сформулированные условия задачи. Если полученная на первом этапе модель удовлетворяет замыслу проектировщика, то процесс моделирования на этом заканчивается. В противном случае строят уточненную модель. Этот процесс продолжают до получения желаемых конечных результатов.

Укажем на следующие основные направления в диалоге «чело­ век-ЭВМ»: построение человеко-машинных процедур, учет не­ сравнимости критериев и снятие неопределенности в процедуре исследования гиперпространства поиска. Окончательное решение в формировании критериев и их весов после диалога «человекЭВМ», по-видимому, принадлежит проектировщику.

Трудности в принятии оптимальных решений связаны с необ­ ходимостью учета множества критериев, а также с неопределен­ ностью, возникающей при недостаточной информации о проекти­ руемой динамической системе. Предъявляемые к проектируемой модели требования часто имеют противоречивый характер. В этой связи и очевидно желание проектировщика при многокритериаль­ ной постановке получить компромиссное решение. К векторной оптимизации проектировщик может прийти после анализа одно­ критериальных задач: в результате статистического исследования задач скалярной оптимизации выявляются новые неучтенные факторы-критерии, которые желательно учесть на новой стадии проектирования модели.

Укажем на основные проблемы решения задач векторной оптимизации:

— определение области компромиссов, оптимальных по Па­ рето;

8

Р и с. 2