книги из ГПНТБ / Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]

тие А). В силу центральной предельной теоремы теории вероят­ ностей (которую здесь можно взять в форме теоремы А. Я. Хин-

Иными словами, погрешность метода вероятностного модели­ рования при вычислении вероятности события А имеет порядок

8 ~ 1jsjN • Отсюда видно, что уменьшение ошибки 8 приближен­ ного решения задачи методом вероятностного моделирования связано со значительным увеличением числа испытаний N , а зна­ чит и с увеличением времени вычислений, например, увеличе­ ние точности на порядок приводит к стократному удлинению времени решения задачи.

При решении ряда задач точности механизмов и прикладной метрологии [1—4] на основе метода статистического моделиро­ вания для удовлетворения требуемому уровню точности оказыва­ лось достаточным N = 1000, чему соответствовало вполне при­ емлемое машинное время вычислений. При исследовании эффек­ тивности двухступенчатого автоматического контроля размеров изделий [5] требуемая точность метода достигалась за счет увели­ чения количества реализаций до N = 10 000. Возросший объем количества реализаций потребовал существенного увеличения машинного времени решения задачи, в связи с чем встал вопрос о повышении быстродействия вычислений. Решение этого вопроса оказалось возможным благодаря применению более произво­ дительных методов имитации случайных величин, в частности, нормально распределенной случайной величины.

При моделировании нормального закона распределения, кото­ рому достаточно часто подчинены случайные параметры, учиты­ ваемые при решении задач точности механизмов и прикладной метрологии, как правило, пользуются центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой сумма боль­ шого числа слагаемых при выполнении достаточно общих условий имеет асимптотически нормальное распределение. В качестве случайных слагаемых выступают случайные числа St., равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. После соответствующей норми­ ровки суммы щ слагаемых получаем величину

являющуюся асимптотически нормально распределенной случай­ ной величиной с математическим ожиданием, равным 0, и сред­ ним квадратическим отклонением, равным 1.

112

Образование нормальных чисел методом суммирования щ рав­ номерно распределенных случайных чисел при малых щ не дает полного эффекта, так как последовательность таких сумм при ма­ лых п0 не удовлетворяет критериям «нормальности». Для ре­ шения указанного выше класса задач целесообразно щ = 10.

Значительный эффект увеличения быстродействия имитации нормальных чисел по сравнению с методом имитации их по фор­ муле (2) дало применение метода композиции [6] с использова­ нием различных приемов моделирования для разных частей рас­ пределения. Представим плотность / (у) нормального закона

распределения по формуле полной вероятности

где H( z ) =P( v ^ z) — интегральная функция распределения слу­ чайного параметра v; f(y/z) — условная плотность вероятности. Из формулы (3) следует, что нормально распределенную случай­ ную величину 7] можно имитировать в соответствии с плотностью /(y/z), получив предварительно реализацию z параметра v.

Нами был использован непрерывно-дискретный вариант (3),

при котором фигура единичной площади, ограниченная осью у и кривой /^(у), разбивалась на три непересекающиеся части с пло­

щадями р { (см. рисунок). Основной принцип разбиения (4) заклю­ чался в том, что часть I, определяемая отрезком [а, Ь] на оси у и имеющая наибольшуюплощадь (наибольшую вероятность р г),

должна соответствовать наиболее просто и быстро имитируемой

деления малых вероятностей по методу статистического модели­ рования, для их имитации целесообразно использовать особо точ­ ные методы. Даже существенное усложнение операций с редко встречающимися /2(у) и / 3(у) мало скажется на среднем времени имитации 7].

Воспользовавшись симметричностью fT(у), можно осуществ­ лять имитацию абсолютного значения |rj нормальной случай-

113

ной величины т] (знак может быть получен специальным испыта­ нием, например, берется знак «+», если очередное значение равно­

Для имитации средней части распределения /^(у) (без «хвостов» распределения, т. е. для у £ [0, Ь]) использовался метод обрат­ ной функции Ф ~\у), где

e~&*l2dy.

При этом применялась кусочно-постоянная аппроксимация функ­ ции Ф~1(у), т. е. осуществлялся случайный выбор числа из таблицы нормальных чисел. Так, если отрезок [0,5, Ф(Ъ) ] разбить на п равных частей, то в качестве очередной реализации у из таблицы выбирается число с номером г = [п £] (здесь £ — случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0,1], а символ [х ] обоз­

Поскольку расчет параметров ак производится не в процессе имитации случайных чисел, а относится к подготовительной ра­ боте, объем вычислений здесь особого значения не имеет.

Количество п интервалов (объем таблицы) назначается из ус­ ловия обеспечения требуемой точности случайных чисел. При этом погрешность воспроизведения функции распределения (ЛФ) на участке [а, Ъ] определяется соотношением

Ф (Ь) — 0,5

2п

Для ускорения вычислений объем таблицы п обычно выбирают таким, чтобы п = 2 \ при этом для формирования адреса г исполь­ зуются первые I разрядов ненормализованного числа £ или раз­ ряды со 2-го по (/+1)-й для нормализованных чисел. Быстро­ действие этого метода является практически предельным.

Для моделирования «хвоста» распределения использовался метод М. Маллера [7], с помощью которого пара независимых,

114

Следует отметить, что метод Маллера является теоретически «точным» и требует наименьшего количества равномерно распре­

рированию с /х(у), близка к единице, то сочетание двух разных приемов моделирования для имитации средней части распреде­ ления, с одной стороны, и «хвостов» распределения — с другой, дает возможность решить одновременно две задачи: во-первых, увеличить быстродействие получения нормальных чисел, а вовторых, повысить точность имитации на «краях».

При проведении расчетов на ЭЦВМ «Минск-22» количество интервалов разбиения средней части нормального распределения

двух различных приемов моделирования для средней части рас­ пределения и «хвостов», были подвергнуты детальной статисти­ ческой проверке на «нормальность» распределения с помощью критерия А. Н. Колмогорова. Этот критерий основан на распре­

— 00

Какова бы ни была непрерывная функция распределения F(x),

где К (z) — табулированная функция распределения Колмогорова.

В таблице приведены значения Dn\Jn и К (z) для различных случайно выбранных начальных значений а0, ро, которые явля­ лись начальными в генерируемой последовательности псевдо­ случайных равномерно распределенных на отрезке [0, 1 ] чисел.

115

Сформулированы задачи синтеза скалярной и векторной оптимизации парамет­ ров машин и механизмов при наличии нелинейных функциональных ограничений на пространство варьируемых параметров. Обсуждена обоснованность выбора метода ЛП-поиска при отсутствии необходимой информации о рельефе исследуемого функционала, а также априорных знаний о весах в компромиссном функционале. Пространство поиска может быть выбрано невыпуклым и несвязанным. Иллюстра­ ций 2. Библ. 11 назв.

Рассмотрены особенности постановки на АВМ задач с использованием ЛП-по- пска. Описана блок-схема устройства, предназначенного для ввода чисел ЛПТпоследовательности, и разобрана процедура решения задач методом ЛП-поиска. Показано, что метод ЛП-поиска тесно связан с кругом вопросов, охватываемых теорией оптимального эксперимента. Иллюстрации 3. Библ. 3 назв.

УДК 518.5 : 681.534

К решению конечных уравнений на АВМ. Г у с е в В. П., Ж и р н о в А. А., С е р г е е в В. И. Сб. «Решение задач машиноведения на вычислительных маши­ нах». М., «Наука», 1974.

В статье излагается метод решения конечных уравнений на АВМ А-110. В ка­ честве примера рассматривается задача определения частот и форм собственных колебаний шестимассовой линейной системы. Дается оценка точности решения по данным расчета на ЭЦВМ. Таблиц 2. Иллюстраций 3. Библ. 4 назв.

УДК 534.1

Исследование поперечных колебании стержней переменного сечения. Бо р и - с о в Д. С. , П а в л о в Б. И., Ч е р н я в с к и й И. Т. Сб. «Решение задач машиноведения на вычислительных машинах». М., «Наука», 1974.

Предлагается методика построения дискретной динамической модели стержня произвольного поперечного сечения, позволяющая с помощью ЭЦВМ определять частоты и формы собственных колебаний, а также производить расчет вынужденных колебаний и переходных процессов. Дается пример расчета собственных частот и форм колебаний консольно закрепленного стержня. Таблиц 1. Иллюстраций 3. Библ. 5 назв.

УДК 534.1

Исследование на АВМ некоторых закономерностей внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержня. Б о р и с о в Д. С. , Ч е р н я в с к и й И. Т.

Сб. «Решение задач машиноведения на вычислительных машинах». М., «Наука», 1974.

На основе дискретной динамической модели поперечных колебаний стержней выводится новое уравнение в частных производных, решения которого хорошо согласуются с известными опытными данными. Уравнение позволяет производить расчет систем при полигармоническом или случайном возбуждении и анализиро­ вать переходные процессы. Иллюстраций 3. Библ. 9 назв.

УДК 534.1

Исследование динамики пневматической копировальной следящей системы машины

числительных машинах». М., «Наука», 1974.

Исследуется на АВМ динамическая точность трех последовательно усложняемых вариантов пневматической системы управления машины для термической резки металла. Иллюстраций 2. Библ. 4 назв.

118

Рассматриваются методы решения задач, связанных с исследованием явлений резонанса, антирезонанса, а также идентификацией параметров линейной динами­ ческой системы при помощи использования эквивалентных звеньев второго по­ рядка. Библ. 10 назв.

УДК 534.014.4

Применение метода структурных чисел к решению некоторых задач анализа ме­ ханических колебательных систем. Д о б р ы н и н С. А., Ф и р с о в Г. И.

Сб. «Решение задач машиноведения на вычислительных машинах». М., «Наука». 1974.

Рассматривается применение теоретико-множественных методов к анализу ли­ нейных колебаний механических систем. С помощью метода структурных чисел получено характеристическое уравнение и передаточные функции машины для испытаний на усталость с косвенным эластичным возбуждением. Иллюстраций 2. Библ. 4 назв.

Излагается алгоритм решения задачи кинематического расчета и выбора пара­ метров механизма резания летучих ножниц, содержащих два параллельно соеди­ ненных кривошипно-коромысловых механизма с рабочими органами, помещен­

ными на шатунные звенья, совершающие сложное движение. Иллюстраций 4. Библ. 4 назв.

УДК 62—501.3

Алгоритм наблюдения параметров и фазового состояния нелинейных объектов.

М е д н и к А. И. Сб. «Решение задач машиноведения на вычислительных маши­ нах». М., «Наука», 1974.

Разработан алгоритм решения задачи параметрической идентификации и наблю­ дения нелинейных объектов по неполной информации путем построения операциипроцедуры, включающей решение некоторой экстремальной задачи.

Алгоритм использован для решения задачи о наблюдении гирокомпаса с нели­ нейной восстанавливающей силой. Иллюстраций 1. Библ. 8 назв.

119