книги из ГПНТБ / Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]

— выделение области компромиссов, осуществляемое кай на основании априорной интуиции проектировщика, так и в резуль­ тате обзора (квазиравномерного) пространства варьируемых па­ раметров статистическими методами;

—определение схемы компромисса (используются идеи аксиматического построения и эвристические идеи; в математическом аспекте проблема аналогична проблеме упорядочения векторных пространств);

—сведения множества критериев к единому масштабу изме­ рения (проблема возникает только в случае различных масшта­ бов измерения);

—определение схемы приоритета критериев, необходимого при оценке важности критериев (решение этой проблемы приме­ няется при уточнении схемы компромисса; оценка важности крите­ риев или их сравнимости является одной из трудных проблем векторной оптимизации и связана с отказом от аксиомы полноты, используемой при построении классической теории полезности).

Пусть заданы v=qJr m целевых функционалов <DV и Ф , где

Х=1» 2, . . ., q и y= 1, 2, . . .,иг, причем оптимизация последних допускает противоречия в выборе параметров.

Сформулируем компромиссный критерий качества в задачах структурного и топологического синтеза

указывает на степень близости (не превосходящей величины Ь) желаемой характеристики х для проектируемой модели к воз­ можному процессу у (t; а) на исследуемом множестве Т с некото­ рым весом 0 > 0.

Требование у {t\ a )f М является условием физической реали­ зуемости модели в классе функций М , удовлетворяющих требуе­ мым условиям в какой-нибудь из обычно рассматриваемых метрик, в том числе и ограничениям на фазовые координаты.

«Просмотр» пространства параметров ЛП-поиском позволяет более или менее равномерно просмотреть все множество вариан­ тов и гарантирует от какой-либо односторонней схемы «пробных вариантов» (при локальном подходе). При этом с ростом числа рассмотренных вариантов возрастает вероятность получения опти­ мального (глобального) решения задачи. Особенно эта вероят­

10

ность зависит от выбора тактики р-точек, из которых поиск луч­ ших моделей осуществляется локальными методами |1].

Тактика д-точек явилась важным результатом применения ЛП-поиска. Сущность ее состоит в том, что оптимизация целевых функционалов осуществляется одновременно по одним и тем же точкам Соболя (рис. 2), при этом на печать по m-\-q критериям качества выдают р лучших результатов. Естественно, с увеличе­ нием р возрастает и полнота информации для принятия решений. При этом проектировщик располагает также рядом локально­ оптимальных моделей. Информация, полученная при тактике p-точек, позволяет как при скалярной, так и при векторной опти­ мизации уточнить один или несколько заранее сформулированных критериев или предъявить к системе новые дополнительные тре­ бования. Одновременно усложняется поиск компромиссного (обобщенного) критерия.

Отметим две кардинальные особенности метода ЛП-поиск. Во-первых, он пригоден для решения практически всех инженер­ ных задач и для его применения требуются минимальные усло­ вия (по сравнению с другими методами): функция должна быть кусочно-непрерывной и конечной. Во-вторых, при разумном зондировании в условиях неопределенности и несвязанности пространства поиска указана тактика оптимального проектиро­ вания как исследования многомерного пространства и выбор ве­ сов в компромиссном критерии качества.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.И. М. Соболь, Р. Б . Статников. ЛП-поиск и задачи оптимального кон­ струирования. — Сб. «Проблемы случайного поиска», вып. 1. Рига, «Зинатне», 1972.

2.Г. Дресиг. Применение ЭЦВМ для отыскания оптимальных пара­ метров механизма портального крана. — Сб. «Анализ и синтез меха­

5.I. Oderfeld. A contribution to sequential analyses. — Zastosowania Matem atyki, 1968, IX , N 1.

6.Д. H. Решетов. Детали машин. Машгиз, 1963.

7.В. К. Гринкевич, Р. Б. Статников. Исследование статистическими методами влияния параметров динамической системы на спектр соб­

10.Б. Феррарис. Автоматический метод поиска оптимального значения функции. Пер. с итальянского. М., ВИНИТИ, 1970.

И

ОПРИМЕНЕНИИ ЛП-ПОИСКА

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА АВМ

В. П. Гусев, В. И. Сергеев, И. Н. Статников

Непрерывно усложняющиеся структура и функции современ­ ных машин и механизмов существенно затрудняют их исследова­ ние и тем самым решение задач, связанных с их оптимальным проектированием. В настоящее время благодаря наличию универ­ сальных вычислительных машин стало возможным разрабатывать разнообразные методы исследования и оптимизации сложных ди­ намических систем. При этом широкое применение находят ме­ тоды статистического моделирования, в том числе разработанный в последние годы детерминированный аналог метода МонтеКарло — метод ЛП-поиска [1].

Сущность этого метода состоит в следующем. Задается квази­ равномерно распределенная числовая последовательность — ЛПТ-

С помощью пробных точек Qi осуществляется квазиравномерный просмотр целевой функции Y (х) в области ее существования U по «-координатам. Здесь х —«-мерный вектор, координаты кото­ рого — варьируемые параметры исследуемого объекта, т. е. сам вектор х характеризует одно из возможных сочетаний параметров модели объекта. Из соотношения (1) определяется оценка сходи­ мости ЛП-поиска, справедливая при всех N [2]

| s N (U) — NV (U) | < с («) ln'W,

где с — константа.-

При математическом моделировании исследуемой системы на универсальных вычислительных машинах вопрос сводится к раз­ работке методики планирования эксперимента. Известно [3], что наиболее трудным является случай, когда целевая функция Y (х) априорно не может быть задана.

При постановке таких задач на АВМ целесообразно приме­ нять разработанные положения ЛП-поиска. Полученная при этом информация может быть успешно использована на последую­ щих этапах расчета для предварительной оценки целевой функции. Эго позволяет при решении последней объективнымЛ1утем подойти к выбору того или иного метода оптимизации (в том числе ЛП-

12

Р и с.

поиска), провести коррекцию вида целевой функции. Использо­ вание метода ЛП-поРЮка избавляет исследователя от субъектив­ ного подхода при первоначальном выборе метода решения задачи, что является весьма важным обстоятельством при постановке за­ дач на вычислргтельных машинах.

При применении ЛП-поиска в задачах, решаемых на АВМ, может быть использована блок-схема, изображенная на рис. 1, и один из возможных варртнтов ввода чисел ЛПт-последователь- ности, показанных! на рис. 2. Все блоки, указанные на рис. 1, являются стандартными по отношению к серийным АВМ. Наи­ более ответственным является блок индикации установившегося режима в решении задачи, так как необходимо выработать кон­ кретное определенхш момента выхода на установившийся режим. Если же объектом исследования является сам неустановхрвшийся переходный процесс, то построение принципа коммутации блока индикации существенно упрощается.

Как видно из рис. 3, значение Y (х) выводится на самописец в виде ступенчатой функции. Каждая ступенька имеет одинако­ вую длхшу (например, во времени), а ее ордината равняется те­ кущему значению целевой функции. В промежутках между двумя значениями целевой функции происходит решение задачи и под­ счет целевой функции. Каждая ступенька соответствует опреде­ ленному номеру точкр1 исследуемого пространства варьируемых параметров, причем эти номера идут последовательно один за другим в соответстврш с заданной программой решения. Таким образом, выводимая на самописец целевая функция, или крите­ риальный функционал, является фактически функцией номера точки. Очевидно, на самописец можно выводить одновременно несколько критериев, являющихся функциями номера очередной точки. Такое использование ЛП-поиска уже на первой стадии исследования на АВМ позволяет избавиться от необходимостх1 просматривать каждый вариант решения задачи, что весьма важно с точки зрения постановки вопросов планирования эксперимента. С помощью графически получаемой зависимости целевой функции

13

от номера точки фактически осуществляется запоминание всех обозримых вариантов решения данной задачи.

Однако при этом следует иметь в виду, что отдельные варианты задачи могут оказаться лежащими в области как малых, так и больших (в машинных единицах) напряжений. Это существен­ ным образом влияет на точность получаемого результата. Реше­ ние может быть уточнено при постановке дополнительных вариан­ тов в условиях, соответствующих перестройке масштабов изо­ бражения искомых параметров системы, дающих возможность получать его в относительно узком интервале изменения независи­ мых переменных. Это решение может быть по-прежнему осуществ­ лено на основе изображенной на рис. 1. блок-схемы. При этом наиболее интересные с точки зрения приложений отдельные ва­ рианты соотношений параметров могут быть просмотрены отдельно с помощью устройства ввода чисел ЛПх-последовательности, которое показано на рис. 2. Один из возможных вариантов осу­ ществления такого устройства может состоять из двух восьми­

14

дорожечных шаговых искателей ШИ1 и ШИ2 по 26 контактов

вкаждой дорожке и набора потенциометров, на каждом из кото­ рых выставляется определенное напряжение, соответствующее числу Q.. Чтобы избежать влияния этих потенциометров на блоки,

вкоторые вводятся числа Qt, между входами этих блоков и по­

тенциометрами ставятся развязывающие усилители с коэффициен­ том передачи 1. Данное устройство ввода чисел ЛПт-последова- тельности позволяет варьировать одновременно до 8 переменных в задаче.

Описанная блок-схема выполнена в приложении к решению задач методом ЛП-поиска на серийных АВМ типа МН-18. Можно полагать, что распространение изложенных в работе [1 ] положе­ ний расчетного обоснования выбора оптимальных параметров ди­ намических систем при помощи АВМ откроет дополнительные возможности в области оптимального конструирования машин и механизмов.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.И. И. Артоболевский, М. Д . Генкин, В. К. Гринкевич, И. М. Соболь,

П. Б. Статников, Оптимизация в теории машин ЛП-поиском. — ДАН

СССР, 1971, т. 200, № 6.

2.И. М . Соболь. Многочисленные квадратурные формулы и функции Хаара. М., «Наука», 1969.

3.В. В. Федоров. Теория оптимального эксперимента. М., «Наука», 1971.

КРЕШЕНИЮ КОНЕЧНЫХ УРАВНЕНИЙ НА АВМ

В. П. Гусев, А. А. Жирнов, В. И. Сергеев

При изучении свободных колебаний линейных динамических

где \= са2 — характеристический корень динамической матрицы М~гС\ М — инерционная матрица; С — матрица жесткости и {я} — координатная матрица-столбец.

15

Известно [1], что для обеспечения устойчивого решения системы уравнений (1) на АВМ в общем случае требуется провести предварительные преобразования, одним из которых является метод • умножения на транспонированную матрицу. Однако при решении рассматриваемой задачи на АВМ А-110 [2] необходимость

.Л * 4 ? . « УГГвУ kTC&ul

ния частот и форм собственных колебаний одноступенчатой плане­ тарной передачи. Расчетная схема соответствующей механиче­ ской колебательной системы показана на рис. 1, на котором

С6 — жесткости на кручение соответственно ведущего и ведо­ мого валов, Сх и С2 — жесткости зубчатых зацеплений, С3 — суммарная крутильная жесткость соединения эпициклов с корпу­ сом, С4 и С5 — жесткость опор сателлитов и водила передачи.

Система линейных алгебраических уравнений для определе­ ния частот и форм собственных колебаний данной динамической системы (1), записанная в развернутой форме, имеет следующий вид:

16

где S t — кинематические параметры, характеризующие переда­ точные отношения между отдельными звеньями передачи; 1{ — моменты инерции звеньев передачи; А. — амплитуды собственных колебаний.

Так как из (4) А { определяются до произвольного постоянного общего множителя, то в качестве дополнительного уравнения при расчете на АВМ использовалось равенство

В нормированной форме (5) при выборе масштабов соответствую­ щих величин A i нормирующий множитель принят равным еди­ нице, что не накладывает на отыскиваемое решение каких-либо ограничений [3].

При расчете системы (4) на ABM А-110 принимались следую­

Результаты расчетов, полученные на АВМ А-110, удовлетво­ рительно совпадают с данными контрольных расчетов, выпол­ ненных на ЭЦВМ «Минск-2» (табл. 2).

Здесь следует отметить, что применение АВМ позволило не­ посредственно в процессе решения данной задачи получать ре­ зультаты по частотам и формам собственных колебаний в. виде

2 Решение задач

графиков или числовых величин при одновременном дискретном и непрерывном изменении в заданном диапазоне нескольких инерционных и упругих параметров системы. Это обеспечило

необходимую оперативность в оценке результатов и в подборе сочетаний в ходе последующего изменения ряда параметров си­ стемы как для выявления особенностей спектра собственных частот, так и для получения самих значений последних.

18

Некоторые из полученных зависимостей частот динамической системы от ее параметров представлены на рис. 2 и 3. Здесь на графиках в декартовой системе координат значения собственных частот даны по оси ординат, а по оси абсцисс — значения инер­ ционного или упругого параметра (/2 или С4), изменяемого не­ прерывно в широком диапазоне. Значения остальных параметров при этом были постоянны и равны исходным. При исходном зна­ чении варьируемого параметра указаны номера (К) исследуемых собственных частот системы, численные значения которых при­ ведены в табл. 2.

В полученных при расчете на ABM А-110 записях зависимостей спектра собственных частот от инерционных и упругих пара­ метров одновременно отображены качественные и количественные свойства исследуемой динамической системы. При этом действен­ ным контролем общей закономерности изменения частот являлись неравенства, определяемые теоремами Рэлея об эффекте измене­ ния масс и жесткостей [3]. По относительным величинам измене­ ния собственных частот при варьировании значением одного из параметров системы определялась степень зависимости каждой из частот от данного параметра или, наоборот, степень влияния какого-либо параметра на отдельные составляющие частотного спектра собственных колебаний.

Таким образом, проведенное сравнение решений системы урав­ нений (4) на ЭЦВМ и АВМ А-110 показало, что одновременно с затуханием переходных процессов вариации вида и 8Х;, входящие в (3), определяются в основном первичными погреш­ ностями решающих блоков [4] АВМ А-110 и слабо зависят от характера исходной системы уравнений.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.А. А. Архангельский и др. Моделирование на аналоговых вычислитель­ ных машинах. М., «Энергия», 1962.

2.Г. Ж. Юфлер. Новый тип универсальной вычислительной машины. —

Труды I Международного конгресса ИФАК, т. 3, Изд-во АН СССР, 1961.

3.И. М. Бабаков. Теория колебаний. М., «Наука», 1968.

4.Н . Г. Бруевич, Б . Г. Доступов, Основы теории счетно-решающих устройств. М., «Советское радио», 1964.