книги из ГПНТБ / Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]

туда колебаний данной координаты будет иметь конечную ве­ личину.

«Полный антирезонанс» в соответствии с (5) возникает при выполнении условия Т*в = 0 и равенства частоты внешнего возму­ щающего воздействия эквивалентной частоте оз= щв = 1/Твг* При этом передаточная функция системы становится равной нулю, т. е. колебания, соответствующие данной координате, полностью

В качестве примера рассмотрим так называемый динамический гаситель колебаний, описываемый следующей системой уравне­ ний (7):

Мх1 к1х1— Ь2 (х2— ajj) — к2 (х2— х х) = Р sin Ы,

тх2-(- Ъ2 (х2—х^) -j- к2 (х2— хг) = О,

где М — масса объекта; пг — масса гасителя; кх и к2 — коэффи­ циенты жесткости; Ъ2 — коэффициент демпфирования гасителя; Р sin азt — возмущающая сила.

Исключив переменную х2, по теореме Крамера получим

(■AlP4 + АзР>+ A.lP* + AlP+ \ ) Xl = K0 {В.^- + BlP + 1) Р sin Ы,

О т с ю д а

Из анализа (12) и (5) следует, что антирезонанс в данной си­ стеме возможен вследствие независимости В± от о> лишь при ра­ венстве коэффициента В± нулю, т. е. при отсутствии демпфиро­ вания.

Заметим, что эффект «антирезонанса», полезный в системах виброзащиты, нежелателен в системах автоматики, так как можетвызвать «разрыв» цепи управления.

Идентификация системы, т. е. определение параметров мате­ матической модели по экспериментальным данным, в частности: по дискретным значениям частотных характеристик объекта, мо­ жет в ряде случаев быть проведена с привлечением понятия экви-

50

валентного звена второго порядка. Предполагается, что точки экспериментальной частотной характеристики известны для диск­ ретного набора частот c»v, так что — U{ o>v)+ /F ( (*>v)-

Для определения дробно-рациональной передаточной функции но заданным свойствам частотных характеристик известно много методов [8]. Одним из возможных способов идентификации ли­ нейной динамической системы с заданной структурой является расчет коэффициентов передаточной функции по измеренным зна­ чениям частотных характеристик с помощью параметров экви­ валентных динамических звеньев.

Рассмотрим случай, когда числитель передаточной функции равен единице, т. е. неизвестны коэффициенты A i знаменателя передаточной функции. Количество неизвестных коэффициентов s—п. Для определения коэффициентов надо иметь п уравнений, связывающих эти коэффициенты. Решение задачи идентификации будет проводиться следующим образом. Выбирается к различных частот (dv(v= 1, 2, . . ., к). Для этих частот определяются значения амплитуд Av= /1(ojv) и фаз <pv= ( mv), характеризующих положе­ ния к точек амплитудно-фазо-частотной характеристики (АФЧХ) системы. Каждой паре значений A v и <pvсоответствуют определен­ ные значения параметров эквивалентного звена Т\х и Т \

Учитывая, что Т \ и Т \ являются функциями параметров А { исследуемой динамической системы, в результате получим систему линейных алгебраических уравнений. Так как количество неиз­ вестных коэффициентов равно п, то необходимое число частот к равно п/2. Таким образом, для определения п коэффициентов передаточной функции системы после снятия п/2 точек АФЧХ имеется алгебраическая линейная неоднородная система из п 'равнений

Можно показать [9], что в общем случае определитель этой системы отличен от нуля. Поэтому система имеет решение и притом единственное. Коэффициент усиления А0 определяется при посто­ янном входном воздействии типа единичного скачка (для стати­ ческой системы).

Точность метода при отсутствии помех определяется погреш­ ностью аппаратуры, используемой для снятия частотных характе­ ристик. Во избежание увеличения погрешности из-за пропадания значащих цифр при вычислениях следует стремиться выбирать рабо­ чие частоты cdv таким образом, чтобы соответствующие им значения как амплитуд Av, так и фаз <pv в достаточной степени отличались

друг от друга по величине. Поэтому полезно иметь некоторое предварительное представление о диапазоне существенных частот исследуемой динамической системы.

Таким образом, определение коэффициентов передаточной функции по частотным характеристикам с помощью эквивалентных звеньев сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Особенностью получаемой системы является то, что правые части уравнений составляются по результатам измерений определенных физических величин. При этом неизбежны ошибки измерений. Неточность исходных данных порождает ошибки в ре­ шении, так как изменение правых частей в пределах заданной точности влечет за собой изменение решения.

Предлагаемая процедура идентификации обладает преимуще­ ством по сравнению с методами, описанными в работе [81, где элементы матрицы коэффициентов алгебраической системы из­ вестны приближенно. Это преимущество заключается в том, что независимо от обусловленности [ 1 0 ] матрицы более точный расчет всегда дает метод, оперирующий с точной матрицей коэффициентов

инеточными правыми частями, чем метод, допускающий неточность

ив элементах матрицы, и в правых частях [10]. Анализ зависи­

мостей (1 0 ) — (11) эквивалентных «постоянных» времени ТА, и Т \ от частоты а) позволяет сделать некоторые суждения о «вырожде­ нии» системы высокого порядка в звено второго порядка.

Качество переходного процесса системы зависит от чувстви­

устойчива, можно сделать некоторые заключения о характере протекания переходного процесса, исследовав степень дрейфа

где о)р — резонансная частота.

При малом дрейфе значений эквивалентных параметров в ре­ зонансных режимах сложная система должна приближаться к си­ стеме второго порядка как по частотным свойствам, так и по ха­ рактеру протекания переходного процесса. Это подтверждает утверждение, известное в технической литературе как правило А. Ю. Ишлинского [1].

2.О. Б. Балакшин. Расчет частотных характеристик и границы устойчи­ вости линейной динамической системы высокого порядка методом эк-

52

Бивалентных звеньев второго порядка. — Сб. «Автоматизация исследова­ ний динамики машин». М., «Наука», 1973.

3.М . Ф. Диментберг. Идентификация стохастической системы. — Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1969, № 2.

4.Справочник по динамике сооружений. М., Стройиздат, 1972.

5.Л. И. Штейнволъф. Динамические расчеты машин и механизмов. Москва—Киев, Машгиз, 1961.

6.А. Ф. Бурденко, В. Ф. Флора. Определение оптимальных параметров упруго вязкого демпфера при наличии затухания колебаний основной массы. — Сб. «Акустика и ультразвуковая техника», вып. 7. Киев, «Техника», 1972.

7.Я . Г. Пановко. Введение в теорию механических колебаний. М., «Наука», 1971.

8.Р. М. Юсупов. Получение информации об управляемом процессе в само­

настраивающихся системах. М. — Л ., «Энергия», 1966.

9.Д. К. Фаддеев, В. II. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгеб­ ры. М., Физматгиз, 1960.

10.Дж. Форсайт, К. Молер. Численное решение систем линейных алгебраи­ ческих уравнений. М., «Мир», 1969.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТРУКТУРНЫХ ЧИСЕЛ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

АНАЛИЗА МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

С. А. Добрынин, Г. И. Фирсов

В статье рассматриваются некоторые вопросы решения задач анализа механических систем с помощью метода структурных чи­ сел, разработанного С. Беллертом и Г. Возняцки [1].

Прежде чем перейти к основным положениям метода, остано­ вимся вкратце на построении топологической модели механической системы, которая представляет собой совокупность полюсных уравнений отдельных ее компонент (инерционной, упругой, дис­ сипативной) и математического описания порядка соединения этих компонент, определяемого некоторым графом. В зависимости от способов измерения переменных, входящих в уравнения отдель­ ных компонент системы, различаются последовательные (сила, момент) и параллельные (линейное перемещение, угол поворота) переменные.

Функциональная связь между последовательными и парал­ лельными переменными для отдельных компонент системы опре­ деляется полюсными уравнениями этих компонент:

инерционной

Q(t) = mp2q (t),

упругой

Q(t)— cq (t),

53

диссипативнои

Q (t) = bpq (t),

где Q (t) — значение последовательной переменной, т. е. значение переменной, которая может быть замерена прибором, соединенным последовательно с данной компонентой; q (t) — значение парал­ лельной переменной, т. е. значение переменной, которая может

•быть замерена прибором, соединенным параллельно с данной компонентой; р — дифференциальный оператор, p — d/dt; т — ко­ эффициент инерции (масса или момент инерции); с — коэффи­ циент жесткости; Ъ — коэффициент, характеризующий диссипа­ тивные свойства компоненты.

Связь между параллельными и последовательными перемен­ ными для всей системы в целом выражается линейным графом, каждой дуге которого поставлена в соответствие последователь­ ная или параллельная переменная. Правила построения графа приведены в работе [2].

Использование топологических моделей позволяет существенно упростить решение таких задач анализа линейных колебательных

•систем, как

—вывод уравнений движения механической системы;

—вывод характеристического уравнения механической си­ стемы;

— установление форм свободных колебаний;

—исследование вынужденных колебаний системы;

—получение передаточных функций системы;

—анализ чувствительности передаточных функций к изме­ нениям параметров системы.

Основные практические трудности при использовании тополозических методов анализа линейной механической системы по ее графу связаны со сложностью и громоздкостью алгоритмов для перебора всех деревьев, их дополнений или других детерминантных подграфов. Методику анализа системы по ее графу и запись промежуточных операций можно существенно упростить, исполь­ зуя операции над полем модуля 2 и символику теории мно­ жеств [3].

Формализация топологических методов анализа достигается переходом к теоретико-множественным методам, в которых исход­ ная модель системы отображается частично упорядоченными мно­ жествами символов, изоморфных элементам исходной модели си­ стемы, и применению операций над полем модуля 2. Эти ме­ тоды, отличающиеся высокой степенью формализации, могут быть использованы и для анализа линейных механических систем.

Операции над полем модуля 2, применяемые по отношению к подмножествам номеров ветвей графа, лежат в основе ряда мето­ дов анализа динамической системы по ее графу, одним из которых является метод структурных чисел [1].

54

а11а12 ***а1п д _а21а22 **• а2п ?

•• • • • •

ат1ат2 *' ' ^тп

где все столбцы соответствуют деревьям ненаправленного графа. Структурное число представляет собой таблицу, индексы столб­ цов которой являются кодами ветвей дерева графа системы. Будем рассматривать структурное число как совокупность столб­ цов ак1 т. е.

и считаются равными, если они содержат одинаковые элементы независимо от их последовательности.

В соответствии с определением операций над полем модуля 2 структурное число не может содержать равных столбцов.

Анализируя свойства графа системы, можно определить сле­ дующие основные свойства структурных чисел и правила действия с ними [ 1 ].

Структурное число не изменяется при перестановке столбцов, перестановке строк и перегруппировке элементов в отдельных столбцах.

т. е. когда они имеют одинаковые столбцы, независимо от порядка элементов в столбцах и порядка расположения столбцов.

Следует заметить, что равенство структурных чисел представ­ ляет собой отношение эквивалентности, т. е. является рефлексив­ ным, симметричным и транзитивным.

Суммой структурных чисел А и В называется структурное число С, содержащее все столбцы чисел А и В, за исключением идентичных столбцов, и не содержащее других столбцов, т. е.

55*

Произведение двух (или п) структурных чисел А и В равно структурному числу С, столбцы которого представляют собой суммы (в теоретико-множественном смысле) всех возможных комби­ наций столбцов чисел А и В, за исключением наибольшего четного числа одинаковых столбцов и таких столбцов, в которых какойлибо элемент повторяется

где S4k — одноэлементное структурное число. Структурное число А всегда можно представить в виде

л = 2 Ш . « .

кг

Вметоде структурных чисел используются также частично упорядоченные множества, названные производными структурного числа.

Прямой или алгебраической производной структурного числа по элементу а, которую будем обозначать символом дА/д а, называется структурное число, в котором удалены все столбцы, не содержащие элемента а, а в остальных столбцах этот элемент вычеркнут.

дА1да = {Ьк \Ьк = ак — {а), а.£ак, ак £А).

Обратной производной структурного числа по элементу а, которую будем обозначать оА/оа, называется структурное число, в котором вычеркнуты все столбцы, содержащие элемент а.

оЛ/За = {ак | а (£ак, ак £А).

Аналогично с матричным исчислением на множестве структур­ ных чисел можно определить различные функции, например, детерминантную функцию и функцию совпадения.

56

ik

ат1ат2 ***ашг

где Y — заданное множество комплексных чисел y4ki т. е. для определения детерминантной функции нужно перемножить комп-

сч С1

Р и с.

лексные числа, поставленные в соответствии индексам столбцов, и просуммировать полученные выражения, соответствующие столбцам. Эта функция может быть по аналогии названа опреде­ лителем или детерминантом структурного числа.

Функция совпадения структурного числа А обозначается сим­ волом

и представляет собой линейную комбинацию одинаковых членов в функциях

det дА/да и detdAjd&.

Y Y

Метод структурных чисел применим для анализа линейных динамических систем, т. е. систем, вес и расположение элементов которых не изменяются в рассматриваемый отрезок времени. Следовательно, он полностью применим для анализа малых коле­ баний механических систем, отображаемых линейными моделями,.

57

свойства которых не зависят от времени и уровня переменных (сил и перемещений).

Начальный этап анализа системы заключается в составлении теоретико-множественной модели в виде структурного числа. Структурные числа составляются непосредственно по механиче­ ской модели анализируемой системы или по ее топологической модели.

Структурное число А (т. е. все деревья графа) можно получить, перемножая однострочные структурные сомножители Рг, Р2, . . .

. . ., Рп_х с элементами, соответствующими ветвям, сходящимся к (п—1) произвольно выбранным вершинам его геометрического изображения.

В качестве примера использования алгебры структурных чисел для анализа механических колебательных систем получим характеристическое уравнение и передаточные функции машины для испытания на усталость с эластичным косвенным возбуждением.

Динамическая схема машины [4] и ее граф приведены на рис. 1. После структурных преобразовании, заключающихся в замене параллельных

'13311333'

А= 22255555 41424124

+ ГП2>т ±С$\ — w2 ( с4 [С1 ( т 1 ~f т 3 + т ±) + с 2 i m l “Ь т 4) с3^з] ~Ь

+ с 1 ^ 1 ( с 1 с 2 + С2 С3 4 " с 1 с з ) } ~\г с 4 ( с 1 с 2 “Ь С2С3 + с 1 с з ) = О

■с точностью до обозначений совпадает с характеристическим уравнением,

58

TUr; -^)=^+^'

/ г)Л дА \

Подставив значения функции совпадения в формулу (1), получим вьк. ражения для перемещений масс т х, т 2 и я?3, совпадающие с приведенными в работе [4].

Выводы

1. Метод структурных чисел позволяет обойтись без записи дифференциальных уравнений системы и их решения. Все опера­ ции достаточно просты и производятся над индексами ребер графа, благодаря чему в ходе расчета получается сжатая форма записи всех промежуточных формул. Метод дает возможность записать все интересующие зависимости по известному рассчи­ танному структурному числу и нескольким его алгебраическим

иобратным производным.

2.Высокая степень формализации метода делает его непосред­ ственно применимым для программирования задач анализа в сим­ волическом (буквенном) и численном виде на ЭЦВМ, т. е. для по­ лучения коэффициентов исследуемой функции системы в числен­ ной или символической форме. В символической форме каждый из коэффициентов исследуемой функции представляется некото­ рым алгебраическим многочленом, выраженным через параметры системы в буквенном или закодированном виде. Численные зна­ чения коэффициентов получаются после подстановки конкретных значений параметров и выполнения соответствующих операций. При этом устраняются трудности, связанные с накоплением оши­ бок, и результат всегда может быть получен с заданной степенью точности. Кроме того, оставляя некоторые из параметров в симво­ лическом виде, можно получить смешанную форму представления коэффициентов полиномов, позволяющую судить о зависимости исследуемой функции системы от значений интересующих пара­ метров.

3.Составление расчетных формул на ЭЦВМ сводится к по-- строению совокупности структурных чисел, определяемой решае­ мой задачей и являющейся искомой формулой на языке структур­ ных чисел. Для перехода к обычной алгебраической записи или численного решения достаточно ввести в ЭЦВМ программу, ставя­ щую в соответствие элементам структурного числа изоморфные им обычные алгебраические символы (при выводе на алфавитноцифровое печатающее устройство) или численные значения, соот­ ветствующие этим символам.

4.Простота записи операций и формальность метода значив тельно упрощает анализ линейных систем без применения ЭЦВМ.

59