книги из ГПНТБ / Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Д. С. Борисов, Б, И. Павлов, И. Т. Чернявский

Вработе [1J построена дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержней постоянного сечения, пред­ ставляющая цепочку одинаковых масс и пружин. Поведение каж­ дой из масс этой модели описывается уравнением

d^y• . 4EI , , ч , Ч1

+ -фГ КUi — У,-1) — (Ут — ;/,•)] —

( 1)

где р и к — соответственно плотность и длина отдельных участков, на которые разбивается стержень. Учитывая, что рк=т, где т — масса участка стержня длиной к, уравнение (1) можно переписать в виде

Различным граничным условиям закрепления стержня соот­ ветствуют определенные законы движения двух крайних масс системы (2). С увеличением числа масс дискретной модели ее соб­ ственные частоты приближаются к собственным частотам стержня как распределенной системы [2]. С помощью дискретной мо­ дели (2) удалось вскрыть ряд характерных особенностей, связан­ ных с поведением стержней при продольном изгибе [3], и полу­ чить новое уравнение, описывающее поперечные колебания стержня с учетом внутреннего демпфирования [4].

В данной работе приводится дискретная динамическая мо­ дель поперечных колебаний стержней переменного сечения, позволяющая с помощью ЭЦВМ с достаточно высокой точностью определять собственные частоты и собственные формы колебаний стержней произвольного поперечного сечения и производить рас­ чет вынужденных колебаний и переходных процессов в подобных системах.

Построение модели. Имеем стержень, поперечное сечение которого по длине изменяется по произвольному закону (рис. 1 , а). Для построения дискретной динамической модели подобного стержня поступаем следующим образом.

1. Разбиваем весь стержень по длине на п одинаковых участ ков; считаем, что на каждом из участков длиною Ип стержень имеет постоянное сечение, равное сечению в середине каждого участка, а его жесткость принимаем равной EI

20

2. Полагаем, что масса т{ каждого участка с постоянным поперечным сечением сосредоточена в середине этого участка.

3.Для построения системы уравнений, подобной (2), прини­ маем характеристику упругой восстанавливающей силы, дейст­ вующей между двумя соседними массами дискретной модели, равной полусумме жесткостей рассматриваемых участков.

4.Характеристика антивосстанавливающей упругой связи [3], действующей между каждой i-й и (£+2)-й массами дискретной модели, принимается равной жесткости (t-(-l)-ro участка стержня.

Используя указанную выше методику, стержню с произволь­ ным поперечным сечением (рис. 1, а) может быть поставлена в соответствие дискретная динамическая модель (рис. 1, б), по­ ведение каждой массы которой будет описываться уравнениями

и уравнения (3) преобразуются в уравнения (2).

Граничные ' условия. Различным граничным условиям за­ крепления концов стержня соответствуют определенные законы

21

движения двух первых и двух последних масс дискретной модели стержня (3).

В случае свободного, например, первого конца стержня движе­ ние двух крайних масс дискретной модели подчиняется урав­

При шарнирном закреплении, например, левого конца стержня крайняя левая масса дискретной модели (обозначим ее т0) будет жестко закреплена, т. е.

Поведение соседней массы пг1будет описываться уравнением

Случаю жесткой заделки конца стрежня соответствуют сле­ дующие законы движения двух крайних масс дискретной мо­ дели:

Уравнения, аналогичные (4), (5) и (6), можно записать и для других граничных условий поперечных колебаний стержня.

Поведение любой из масс дискретной модели (3) с использова­ нием уравнений, описывающих поведение двух крайних масс, полностью определено.

Дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержня (3) позволяет свести анализ динамики стержня к ис­ следованию на ЭВМ системы обыкновенных линейных дифферен­ циальных уравнений с постоянными коэффициентами, что даже для систем высокого порядка достигается значительно проще, чем решение одного уравнения в частных производных.

Расчет собственных частот и собственных форм колебаний конического стержня. Рассмотрим поперечные колебания консольно закрепленного конического стержня (рис. 2, а). Для собственных частот такого стержня известны точные выражения [5], полученные с помощью функций Бесселя

22

где г и I — радиус основания и длина (высота) конуса, р и Е — плотность и модуль упругости конического стержня. Для первых собственных частот поперечных колебаний конуса коэффициент

цепочку масс и пружин (рис. 2, б), поведение каждой массы кото­ рой описывается уравнениями (3) с учетом выражений (4) и (6).

В случае Е = о = к = 1 и г = 21 система уравнений, описы­

+ 40000 (!/4 — уг) = 0, 708у3 + 212000 (у3— у2) — 124800 (у4 — у3) — 66000 (у3 — г/,) +

+ 22400 (у5— у3) = 0, 530у4+124800 (у4— у3) — 68700 (у6— у4) — 40000 (у4— у3) +

78,7j78 —f-4760(ys — г/,) — 1107 (уя — ys) — 1890(г/8 — г/6) + + 63,5 (ую— г/8) = 0,

28,3^+1107 (уд — у3) — 127 (г/10 — уя) — 490 (у3 — у7) = 0,

ЗД4j/10 + 127 (у10 — ув) — 63,5 (уп — у3)= 0.

Разделив каждое из слагаемых в уравнениях (8) на коэффициенты при соответствующих вторых производных, получим квадратную (10 X10) пятидиагональную матрицу

23

Собственные числа и собственные формы матрицы (9) характери­ зуют собственные частоты и формы колебаний дискретной модели конуса (8). Была составлена программа для расчета на ЭЦВМ «Минск-32» собственных чисел и форм пятидиагональных матриц вида (9) произвольного (до восьмидесятого) порядка. На расчет собственных чисел и форм матрицы (9) было затрачено 2,5 мин машинного времени. В таблице приведены пять первых собствен­

Сравнительный анализ собственных частот дискретной десяти­ массовой модели и конуса как распределенной системы показы­ вает, что с помощью десятимассовой модели первые три собствен­ ные частоты определены с точностью до пяти процентов, причем численные расчеты по указанной выше методике дают несколько заниженные значения собственных частот в противоположность приближенным методам Рэлея—Ритца, дающим завышенные зна­ чения собственных частот. Относительно большая погрешность значения первой собственной частоты обусловлена погрешностями, которые имели место при составлении матрицы (9). Числа этой матрицы были получены с помощью логарифмической линейки.

На рис. 3 приведены графики первых трех собственных форм (At., i = 1, 2, 3, у{ = A i sin р£) десятимассовой модели конуса. Аналогичные результаты были получены и при анализе собствен­ ных частот и форм колебаний для консольно заделанного стержня в виде клина. С помощью десятимассовой дискретной модели клина было найдено, что отношение первых трех собственных частот консольного стержня имеет вид: 1 : 2,61 : 5,11. Напом­ ним, что отношение первых трех собственных частот консольного стержня постоянного сечения равно: 1:6,29:17,7.

Используя указанную выше методику, можно производить расчет собственных частот и форм поперечных колебаний стержня любой конфигурации.

Анализ результатов расчетов, выполненных по разработан­ ной методике, показывает, что их точность не зависит от абсолют­ ных длин участков, а определяется числом участков, на которые разбивается стержень.

25

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Д. С, Борисов, В. П. Гусев, И. Т. Чернявский. Дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержня. — Сб. «Автоматизация исследо­ ваний динамических процессов электромеханических и пневматических

3.Д . С. Борисов, В. II. Гусев, И. Т. Чернявский. Исследование статических

идинамических характеристик колебательных систем с параллельнопоследовательными упругими связями. — Сб. «Автоматизация исследо­ вания динамики машин». М., «Наука», 1973.

4.Д . С. Борисов, И. Т. Чернявский. Исследование на АВМ некоторых за­ кономерностей внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержней. — Наст, сборник.

5.С. П. Тимошенко. Колебания в инженерном деле. Физматгиз, 1963.

ИССЛЕДОВАНИЕ НА АВМ НЕКОТОРЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ВНУТРЕННЕГО ДЕМПФИРОВАНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ

Д. С. Борисов, И. Т. Чернявский

При исследовании поперечных колебаний стержней внутрен­ ние сопротивления выражаются обычно в виде зависимостей от величины и скорости деформаций, а также характера и спо­ соба нагружения.

По формуле Фохта [1], сила внутреннего сопротивления при­ нимается пропорциональной первой степени скорости деформа­ ции или скорости изменения упругой восстанавливающей силы.

В уравнении поперечных колебаний однородного стержня

а)

упругая восстанавливающая сила представлена вторым слагае­ мым. Скорость изменения восстанавливающей силы равна

Сила внутреннего сопротивления по Фохту

26

где h — постоянный коэффициент. При таком предположении относительно внутреннего сопротивления уравнение поперечных колебаний стрежня будет иметь вид

Используя метод разделения переменных, после подстановки и преобразований получаем выражение для /-й собственной час­ тоты и формы колебаний.

где Pj — номер /-й гармоники.

Формула (4) показывает, что с увеличением р . внутреннее

щ/

трение существенно влияет как на частоту шV. свободных колебаний, так и на декремент Ь.. Однако она не подтверждается экспе-

риментально и представляет теоретический интерес.

Пытаясь примирить теорию Фохта и результаты эксперимен­ тов, Бокк |2] предложил считать коэффициент трения X, входя­

Формулы (6) достаточно хорошо согласуются с эксперимен­ тальными исследованиями как свободных, так и вынужденных поперечных колебаний стержней [3], однако дискретный (по Бокку) характер изменения коэффициента трения существенно затруд^ няет анализ динамики подобных систем при полигармоническом возбуждении и не позволяет производить расчет переходных процессов.

Дальнейшее развитие теории внутреннего демпфирования при поперечных колебаниях стержней [4, 5, 6] связано с поис­ ками таких нелинейных зависимостей для коэффициента трения, которые позволили бы получить зависимости (6), не прибегая

кдискретному изменению коэффициента трения.

Встатье приводятся некоторые положения линейной теории внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержней, свободной от недостатков теорий Фохта и Бокка, разработан^ ной с помощью дискретной динамической модели.

27

Построение модели. В консервативном случае, т. е. без учета трения, поведение каждой массы т дискретной модели попереч­ ных колебаний стержней [7] описывается уравнением

соединяющих отдельные массы дискретной модели (к — расстоя­ ние между двумя соседними массами).

Индексы при переменных у выбраны исходя из следующего физического смысла. На любую из масс дискретной модели оказы­ вают влияние упругие восстанавливающие силы пружин, сое­ диняющих ее с двумя соседними массами, а также антивосстанав­ ливающие силы, представляющие влияние масс, отстоящих на два интервала до и после рассматриваемой массы. Исходя из этого, в уравнении движения для i-массы (i = 1, 2, 3, . . ., п, где п — число масс, на которые разбивается стержень) ее перемещение обозначено через у{, перемещения оказывающих на нее влияние соседних масс, отстоящих на расстоянии к до и после i-й, — через у{_к и yi+k, а отстоящих на 2к — соответственно через у{_2к

И У{+2к•

Различным граничным условиям закрепления стержня соот­ ветствуют определенные условия, накладываемые на движение двух крайних масс дискретной модели. Так, случаю жесткой

Аналогичные условия могут быть заданы и для любых других условий закрепления концов стержня [8].

Характерной особенностью дискретной модели поперечных колебаний стержня является наличие антивосстанавливающих упругих взаимодействий между любой i-й и (£+2)-й массами модели, которые описываются двумя последними слагаемыми в выражении (7). Если эти слагаемые положить равными нулю, то придем к обычной цепочке масс и пружин, которая может рас­ сматриваться как дискретная модель поперечных колебаний струны или продольных колебаний стержня [9].

На рис. 1 построены графики, характеризующие статическую деформацию пятимассовых дискретных моделей, обусловленную одной и той же постоянной силой, действующей на пятую массу модели. Кривая а соответствует дискретной модели стержня с шар­ нирными опорами, b — модели поперечных колебаний струны. 'Сравнение этих графиков вскрывает роль антивосстанавливаю­

28

щих упругих взаимодействий при рассмотрении дискретной мо­ дели поперечных колебаний стержня.

На основе дискретной модели (7) можно довольно просто построить дискретную модель поперечных колебаний стержня с учетом внутреннего демпфирования. Как и обычно для диск­ ретных систем, будем считать, что внутреннее демпфирование пропорционально относительной скорости движения каждой

На ABM А-110 с целью выяснения влияния внутреннего и внешнего трения на величину декремента для различных форм свободных колебаний было проведено моделирование четырех­ массовых дискретных моделей стержней, изображенных на рис. 2, а и в, где прямыми линиями, связывающими каждые две сосед­ ние массы дискретной модели (рис. 2, б и г) обозначены упругие восстанавливающие связи, соответствующие второму и третьему слагаемым в выражении (7). Линиями в виде дуг обозначены упру­ гие антивосстанавливающие связи. В качестве дискретной модели шарнирноопертого стержня моделировались уравнения

Уг “Ь '-'Вт'Л + "Ш! (2/2 --- 2/l) --- ’ВЛ(2/з --- 2/г) 4"

+ 4ъ (у2— уг) — Ab (у3— у2) — by2 + b (yi — у2) = 0;

} ( 10)

Уз “Г 4 т2/з 4~ ’ни(Уз — 2/г) — ’ви (2/4— 2/з) 4" 46 (у3— 2/г) —

— 4Ъ(г/4 — у3) — Ь (у3 — г/j) — Ьг/3 = 0;

2/4 4" 4 т2/4 4" ’ви (2/4— 2/з) 4 - 4 п2/4 4" 46 (г/4 — ?/3) +

4- 26г/4 — 6 (г/4 — г/2) = 0,

29