книги из ГПНТБ / Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов

En — коэффициенты разложения начального распреде­ ления температуры в ряд по функциям W0(|W i) [Л.-3-3].

Практическое использование соотношения (3-77) для расчета нагрева активных элементов возможно в кон­ кретных случаях, когда известны корни характеристи­ ческого уравнения (3-78). Рассмотрим частные случаи уравнения (3-77), которые с известной степенью идеали­ зации могут быть полезны при анализе теплового ре­ жима активных элементов.

1. Активный элемент эффективно охлаждается по внешней и внутренней поверхностям (ВО— >-оо, Ві2— мх>). Граничные условия третьего рода переходят в гранич­

Корни этого уравнения приведены в {Л. 3-3, 3-39].

2. Внешняя поверхность активного элемента тепло­

4.В общем случае, когда теплообмен на внутренней

ивнешней поверхностях соответствует граничным усло­ виям третьего рода, для нагрева активных элементов необходимо знать корни уравнения (3-77). В [Л. 3-40]

приведены численные значения цп, рассчитанные по методу, изложенному в {Л. 3-45], для А=1,5; 2; 3; 4; 5; Віі= 1 +50; Ві2= l-ä-100.

3-3. В Л И Я Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О С Т И Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я И С Т О Ч Н И К О В Т Е П Л О В Ы Д Е Л Е Н И Я

Н А Т Е М П Е Р А Т У Р Н Ы Е П О Л Я А К Т И В Н Ы Х Э Л Е М Е Н Т О В Ч А С Т О Т Н Ы Х о к г

В предыдущем параграфе рассматривался тепло­ вой режим активных элементов при однородном по объему тепловыделении. Однако вследствие перавно-

70

мерности распределения радиации накачки мощность источников тепловыделения также неравномерна. Ха­ рактер распределения мощности тепловыделения опре­ деляется в основном теми же факторами, что и распре­ деление радиации накачки [Л. 3-31, 3-46].

-В данном параграфе рассматривается влияние неод­ нородности распределения источников тепла по сечению активного элемента цилиндрической формы при изо­ тропной накачке, обеспечивающей осесимметричное теп­ ловыделение, на температурные ноля активных элемен­ тов частотных ОКГ [Л. 3-26, 3-29, 3-30., 3-46, 3-47].

Температурное поле активного элемента цилиндри­ ческой формы в m-м периоде накачки и т-м периоде охлаждения при произвольной радиальной зависимости мощности тепловыделения q(r) определяется следующи­ ми соотношениями:

Выражения (3-82) и (3-83) преобразуем к следующему виду:

Тат (г„ Fo) = TBm(r„Fo,g*) +

71

где

ҢК

q'n= ^ rJ0 (V n lf)J r' (q.r' — q*)dr' dr.

Первые слагаемые в (3-85) и (3-86) описывают на­ грев в предположении равномерного тепловыделения с усредненной по объему мощностью qR. Вторые слага­ емые учитывают влияние неоднородности распределе­ ния источников тепловыделения.

где д (0 )— мощность тепловыделения в центре стержня; b= q(0)lq(l).

Ріеоднородность распределения источников тепловы­ деления по сечению активного элемента не описывается параболическим законом. Однако приближенное анали­ тическое задание <?(гі) позволяет оценить степень влия­ ния радиального распределения мощности тепловыделе­ ния на температурные поля в зависимости от интенсив­ ности теплообмена.

ЬА-\

Результаты численного расчета отношения 8 — 9^ _ ^ х

разница между истинной температурой и рассчитанной при усредненном тепловыделении будет значительной. С увеличением времени работы генератора включение процесса теплопроводности приводит к уменьшению

72

отношения б, которое достигает минимального значения в квазистационарном режиме. Величина б зависит от значения критерия Био. При малых значениях Ві возра­

С увеличением критерия Био значение б возрастает, до­ стигая величины 0,3 при Ві— *~оо.

Практически перепад тепловыделения между цент­ ром и боковой поверхностью ие превышает 6= 3. Тогда ошибка в определении максимальной температуры, дос­ тигаемой в центре стержня, исходя из равномерного ус­ редненного по объему тепловыделения достигает в ква­ зистационарном режиме для рассматриваемого случая около 3% (В і=0,2) и около 27% (Ві = 20).

При большой частоте следования импульсов расчет температуры в квазистационарном режиме можно про­ водить в предположении квазинепрерывного тепловыде­

73

ближенного расчета влияния неравномерности тепловы­

боковой поверхности температура не зависит от харак­

ния источников тепловыделения рассмотрим нагрев рубиновых стержней. В приближении квазистационарного тепловыделения распределение температуры по сече­ нию стержня с учетом распределения мощности тепло­ выделения имеет вид:

(3-90)

74

ностью распределения накачки (см. гл. 1).

На рис. 3-19 сплошными линиями изображены темпе­ ратурные поля, рассчитанные по формуле (3-90), штри­ ховыми дано параболическое приближение, штрих-пунк­ тирными— распределение температуры, соответствую­ щее усредненной по объему -мощности тепловыделения

пределения источников тепловыделения наиболее замет­ но при больших значениях числа Био в центральной об­ ласти стержня. При реальных перепадах мощности теп­ ловыделения максимальная величина ATnca/{Tnoo(qR) — —Гс] не превышает 20—30%■ Уменьшение Ві и увеличе­ ние /п приводят к существенному снижению влияния не­ однородности распределения q(ri) на температурные поля.

75

Глава четвертая

ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Применение классических методов решения диф­ ференциальных уравнений, формулирующих задачи о температурном поле в активных элементах ОКГ, огра­ ничено кругом вопросов, когда активные тела выполне­ ны в форме кругового цилиндра и пластины. Однако по­ иски путей повышения эффективности систем на базе ОКГ. приводят к исследованию элементов с формой, отличной от указанных, например с поперечным сечени­ ем в виде кольца, прямоугольника, шестигранника, или конструкций, в которых эффективность охлаждения рез­ ко меняется по поверхности образца (контактное охлаж­ дение) . Очевидно, что методы получения точных реше­ ний становятся весьма сложными fr позволяют анализи­ ровать особенности теплового режима при значительных затратах вычислительных средств. Если при этом учесть, что исходные данные, такие как функция тепловыделе­ ния, теплофизическис характеристики активных мате­ риалов, коэффициент теплообмена, определены прибли­ женно, то широкое применение точных решений иногда становится неоправданным. В этом случае их следует рассматривать как эталонные для оценки точности пред­ лагаемых приближенных решений {Л. 4-1].

Ниже излагается приближенный метод решения урав­ нения теплопроводности, позволяющий рассмотреть тем­ пературный режим активных элементов ОКГ произволь­ ной конфигурации.

с охлаждающей средой с эффективностью, определяемой коэффициентами теплообмена а;,. Внутри тела действу­ ют источники тепла с мощностью q (Xi, х2, х3, Fo). Тогда задача о температурном поле в активном теле произ­ вольной формы в период импульса накачки формулиру-

76

ется с помощью следующей системы уравнений:

Как правило, величина Тт является исходной при анали­ зе теплового режима активного элемента ОКГ. Введение ее в качестве масштаба при определении -относительной температуры ограничивает пределы изменения темпера­ туры числовым интервалом [0; 1]. Это упрощает вычис­ лительные операции и позволяет строить наглядные за­ висимости. Ki = qL2/X(Tm—Tc) — число Кнрпичева, без­ размерный комплекс, представляющий в расчетах действие -внутренних источников тепла; L — характер­ ный размер активного тела, используя приближенные

значение параметра вычисляется на границе активное тело — охлаждающая среда). Решение системы (4-1) — (4-3) в общем случае связано с определенными трудно­ стями. Тем не менее достаточно просто молено получить ее приближенное решение, используя вариационные ме­ тоды. Впервые приближенныеметоды исследования теплового режима активных элементов были предложены и рассмотрены Л. И. Кудряшевым.

Следуя идеям метода Л. С. Лейбензона [Л. 4-2], про­ интегрируем по объему уравнение' (4-1). Применяя за-

77

на вычислением градиентов температурных полей. Ука­

Выражение (4-5) назовем обобщенным интеграль­ ным соотношением теплопроводности, так как оно запи­ сано для тела с внутренними источниками тепла. С по­ мощью соотношения (4-5) удается приближенно полу­ чить интеграл уравнения (4-1) в конечной форме. Для этого прежде всего следует задать вид решения. Вид приближенного решения может определяться различны­ ми способами. Прежде всего его можно найти путем сравнения точного решения задачи, если таковое имеет­ ся, с приближенным. Указанный прием наиболее распро­ странен [Л. 4-4]. Кроме того, приближенное решение можно отыскивать по результатам аппроксимации соот­ ветствующих экспериментальных данных (см., например, [Л. 4-5]). Наконец, можно прибегнуть к общему теоре­ тическому анализу явления. При этом исходят из основ­ ных законов теплопроводности и на основе грубой схе­ матизации явления получают вид приближенного реше­ ния [Л. 4-4]. Такой прием будет использован ниже при

определении температурного поля в активных элементах

окг.

Температурное поле будем искать в форме

78

где D (Xi, x2, x3) —полином вида

D(x3, x2, x3) — —{—-ß2^1 —

Коэффициенты этого полинома находятся из условия (4-3). Подставляя (4-6) в (4-4), приходим к дифферен­ циальному уравнению относительно C(Fo)

Постоянную интегрирования Со находим из условия минимума функционала, составленного по среднеквад­ ратичным отклонениям искомой функции от величины Ѳ0(хі, х2, Хз) для момента времени Fo = 0

xit X , ) — CaD (je,, xv О 1 Ж = 0. (4-11)

79