книги из ГПНТБ / Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов

Для получения распределения температур по сече­

=[ Ві,[0(л-„ x„, x3, Fo)],„|(tdFI( k = \ , 2...). (5-40)

Указанную систему можно линеаризировать тем же путём, что и систему (5-16)'—(5-18). Для этого восполь­ зуемся соотношениями (5-1) и связью (5-28). В резуль­ тате получим следующую линейную систему дифферен­ циальных уравнений:

l,fc

Если отыскивать решение в виде (5-30), то найден­ ные значения коэффициентов полинома D(xi, х2, х3) при 120

преобразований и соответствующего выбора вида новой переменной удается линеаризировать задачу, то для этой новой переменной применение принципа суперпози­ ции температурных полей будет оправдано. Учитывая это замечание, при рассмотрении вопроса о температур­ ном поле в произвольном т-м цикле будем определять не температуру Ѳ(хі, хі, Л'3> Fo), а ее интегральный ана­ лог Ѳф (хі, кг, Хз, Fo), введенный по соотношению (5-1).

Распределение Ѳф (л',, х,, х3, Fo) в течение т-то

периода накачки определяется решением уравнения (5-19) с граничным (5-20) и следующим начальным условием:

Ѳ*т С*.. х„ х„ 0) = ѲоФж_іг(х„ хѵ x lt Fo0); Fo = 0.

(5-47)

Проводя вычисления, аналогичные выполненным при решении системы (5-19) — (5-21), получаем:

Систему уравнений, формулирующую задачу для последующего периода охлаждения, представляет собой система (5-41) — (5-43), в которой начальное условие (5-42) записывается в форме

I, х ѵ х3, О) = 0Фт (л:„ х„ xt, FoH); Fo = 0; (5-50)

где ѲФт (х,, л:2, ха, Fo4) определяется выражением (5-48) при Fo=FoH,

Опуская промежуточные выкладки, запишем ре­ зультат

$ Ѳнш (*1. *2, х 3’ F°n) D (xu X t , X 3) dVl

ют убывающую геометрическую прогрессию, что позво­ ляет выражения (5-48) и (5-51) полностью определить через параметры первого цикла:

^ (XJ , х 2 , х 3) D {хj, х2, хэ) dV,

123

С помощью полученных выражении удается просле­ дить развитие температурного поля от 1-го до т-го цик­ ла работы ОКГ.

С увеличением т распределение öm стремится

к квазистационариому. Температурное поле в квазистационарном режиме не зависит от номера цикла, причем влияние начального распределения Ѳ0(.ѵ'ь хг, *з) на про­ филь температурного поля и на его уровень не проявля­ ется. Выражения (5-52) и (5-53) для квазистационарного режима принимают вид:

Для нахождения истинного распределения темпера­ туры следует воспользоваться (5-9).

Изложенное выше позволяет проанализировать ре­ жим работы ОКГ сериями. Используя соотношения вы­ веденные для произвольного цикла квазинепрерывного режима работы, получаем для т—1-п серии при Fö = Foc

154

В К Ё З з и с т й ц и о й а р н о м р е ж и м е при Fo = Foc

где

exp ( _ ^ L /('F o u).

£

(5-58)

Таким образом, и здесь можно показать возмож­ ность установления квазистационарного режима, при котором температура в каждой точке образца колеблет­ ся в определенных пределах и воспроизводится через время, равное Fo0. Параметры такого режима пол­ ностью определяются через характеристики первой се­ рии. Чтобы определить температурное поле в t-м цикле т-й серии, достаточно воспользоваться соотношениями

переход (5-9).

Если теплофизические характеристики активных эле­ ментов не зависят от температуры, то полученные здесь соотношения переходят в соответствующие им формулы, приведенные в гл. 4.

5-2. КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР

Изложенный в предыдущем параграфе материал проиллюстрируем на примере расчета теплового режи­ ма активного элемента в форме длинного кругового цилиндра. Если теплофизические характеристики актив­ ного вещества не зависят от температуры, то при одно­ родной по объему накачке в условиях адиабатического нагрева увеличение температуры составит величину Ѳішп. С учетом зависимости теплофизических характеристик от температуры величина температурного скачка Ѳ'тш будет:

125

или

Введем корректирующий коэффициент, характери­ зующий влияние температурной зависимости ЦѲ) и с(Ѳ) по соотношению

сьг

представлены на рис. 5-1. Как следует из рисунка, ре-

Рис. 5-1. Корректирующий коэффициент

импульсного ОКГ за период накачки.

шение линейной задачи может давать значительные от­ ступления от действительной картины протекания про­ цесса. Рассмотрим конкретный пример. Активное тело —

126

кристалл рубина — помещается в среду переохлажден­ ного жидкого азота с 7'с= 65 К. В этих условиях удель­ ная теплоемкость рубина с равна 0,045 дж/(г- К). Пусть плотность объемного тепловыделения в активном теле составляет 24 дж/см3. Если безразмерные температуры определять в масштабе АТтт, т. е. ѲИмп=1, то йс=Ю и действительное увеличение температуры составит лишь 0,34Ѳиміг, т. е. Д7'имп= 44°С. Таким образом, данные по нагреву, рассчитанные с учетом и без учета зависимо­ сти с(Ѳ) различаются примерно в 3 раза.

Для диапазона температур 300—400 К величина kc значительно меньше указанной и значения Ѳ'цМп и Ѳимп практически совпадают: для рубина 8Ѳ=0,95 (ѲцМп = 0,5;

&с = 0,174), для стекла 8Ѳ= 0,99 (ѲцМп = 0,5; /гс= 0,04).

Ч а с т о т н ы й режим. В частотном режиме посыл­ ки импульсов расхождения между результатами расчета по данным линейной и нелинейной задач также могут оказаться заметными; при этом существенную роль играют длительность цикла и эффективность системы охлаждения активного образца. При учете температур­ ной зависимости теплофизических характеристик рас­ пределение температуры перед очередным периодом на­ качки в квазиетационариом режиме определяется сле­ дующим соотношением:

в ранее полученные соотношения для линейной задачи (4-45), (4-64). Представляет интерес сравнить эти фор-

127

мулы. Введем корректирующий коэффициент

на ЦВМ «Минск-22» для трех случаев, исходные данные

которых приведены в табл. 5-1.

Т а б л и ц а 5-1

Коэффициенты для определения температурного поля в активном элементе ОКГ при зависимости его теплофизических характеристик от температуры

Рис. 5-2. Корректирующий

коэффициент б» для учета за­ писимости теплофизических свойств активного вещества от температуры при определении средиеобъемпой температуры рабочего элемента импульсно­ го ОКГ при Ѳіімп —0,1 и Fo = = Fou в квазистацнонарном режиме.

128

по сравнению с данными, полученными с помощью со­ отношения (5-62). Указанное расхождение увеличивает­ ся с расширением допускаемого интервала рабочих температур.

Для стеклянных ОКГ в интервале 300—400 К ре­ зультаты расчета по формулам линейной задачи могут оказаться несколько завышенными (бп = 0,95). С ростом эффективности охлаждения величина бп несколько уве­ личивается. Аналогичный расчет проводился и для

Ѳ Им п = 0 ,5 ; при этом результаты практически совпали

с приведенными выше.

Характер поправок к линейным решениям сохраняет­ ся при определении других характеристик температур­ ного режима импульсного ОКГ. На рис. 5-3 приведены

С увеличением частоты следования импульсов вели­ чина б; приближается к значению, соответствующему непрерывной накачке. Естественно, что с уменьшением частоты следования импульсов характеристики темпе-- ратурного режима активного тела приближаются к со­ ответствующим характеристикам режима одиночных импульсов. При переходе в режим одиночных импуль­ сов перед очередным импульсом накачки по сечению образца устанавливается однородное поле температур, равное Тс, и-, следовательно, результаты решения линей­ ной и нелинейной задач совпадают. В этой связи пред-