книги из ГПНТБ / Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов

В этом случае радиальное перемещение равно:

Г(1-Зѵ) Г-+ (1+ѵ) R.2

Соответствующие выражения, описывающие напряженное состоя­ ние оплошного цилиндрического стержня, легко получить, полагая Ri=Q в соотношениях (6-14) —(6-19). В частности, для плоскодеформированного состояния при свободных от нагрузок торцах ци­ линдрического стержня радиуса R имеем:

ат£

и г — aTz T R .

где

Г

f = ^ T (r )r d r .

о

Ha основании приведенных выше соотношении и. результатов анализа теплового режима, изложенных в гл. 2—4-, можно исследо­ вать характер напряжений, деформаций и перемещений, возникаю­ щих в. активных элементах твердотельных ОКГ. \

В последующих § 6-2 и 6-3 анализируется напряженное состоя­ ние активных элементов {Л. 6-6—6 -8] на примере цилиндрического стержня при осесимметричном распределении источников тепла.

6-2. РЕЖИМ ОДИНОЧНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Для цилиндрического стержня, торцы которого свободны от нагрузок, во время действия импульса накачки компоненты напря­ жений в приближении плоской деформации определяются следую-

140

где qn определяется соотношением [3-84].

При адиабатическом нагреве распределение температуры тіо сечению активного элемента совпадает с распределением мощности тепловыделения q{r{) (см. гл. 3). Тогда соотношения (6-23) упро­ щаются:

J41

где A f — усредненный по объему нагрев к моменту времени t, qr =

Г

= 7Г j Q(0 rdr-

О

При параболическом распределении источников тепловыделения

радиальная зависимость напряжений определяется следующими соот­ ношениями:

между центром и боковой поверхностью. Характер распределения температурных напряжений (6-27) по сечению -цилиндрического стержня при Ь>\ иллюстрируется рис. 6-2.

Как следует из (6-27), тангенциальная и осевая составляющие напряжений изменяют знак в точках r = R lV 3 и r=RlV~2 соответственно. В области 0 ^ r < R / V 2 при b> 1 стержень подвергнут про­

дольному сжатию, а при R /}f 2< r^.R — продольному растяжению. Радиальное напряжение сжимающее во всей области 0^г=£:£. Мак­ симальное по абсолютной величине значение напряжений равно;

агЕ ■ _ b — 1 °ыакс = 1 — V ДГ b + 1 ’

Проведем численную оценку возникающих напряжений для стек­ лянных стержней а т—1,02- ІО“ 5 К-1; £=6,98ІО5 кгс-см~г, ѵ=0,225. При трехкратном перепаде мощности тепловыделения (Ь=3; 0,33) и усредненном по объему адиабатическом нагреве АТ—7 К величина Омане составляет 32 кгс-см~г.

■Величина термоупругих напряжений, возникающих в активных элементах, оценивалась по экспериментально определяемому градиен­ ту температуры в работах [Л. 6-9, 6-10]. По данным [Л. 6-10] в руби­ новых стержнях температурный градиент 10 К -ел -1 вызывает на­ пряжения 100 кге • см~г. В работе {Л. 6-9] приведены 'следующие зна­ чения возникающих напряжений; 120 кге-см~г для рубина и 25 кге ■см~2 для стекла.

Как следует из (6-24), величина максимальных напряжений при заданной зависимости q(r) пропорциональна наибольшему значению lqR—q(r)] и не зависит от размеров стержня. На примере парабо­ лического распределения видно, что напряжения одинаковы в стерж­ нях различного диаметра при условии постоянства усредненного

142

перепада мощности тепловыделения но сечению. Так как характер распределения накачки зависит от радиуса стержня, влияние раз­ мера поперечного сечения при прочих равных условиях существенно для величины и распределения возникающих напряжений. На рис. 6-3 приведено радиальное распределение осевых напряжений в полиро­ ванных цилиндрических стержнях из рубина с концентрацией ионов хрома 0,03%. Расчет напряжений проводился на основании данных по радиальной зависимости мощности тепловыделения при изотроп-

•»

ной накачке (см. § 1-1). Из данных рис. 6-3 следует, что максималь­ ные температурные напряжения в стержне радиусом 0,28 см при­ мерно в 3 раза выше, чем у стержней радиусом R —1 с и і. Уменьше­ ние напряжений с увеличением радиуса стержня связано с более однородным распределением источников тепловыделения.

6-3. ЧАСТОТНЫЙ РЕЖИМ

В частотном режиме существенное влияние на величину темпе­ ратурных напряжений оказывают процессы теплообмена и теплопро­ водности. Для цилиндрических стержней радиальные и тангенциаль­ ные напряжения в плоском деформированном состоянии для ш-го цикла при произвольном распределении источников тепловыделения определяются следующими соотношениями [Л. 6-6—6-8]:

Л = 1

00

1+ Т - Х

г1

(6-29)

143

n=1

Аналогичным образом определяются компоненты деформаций:

n = 1

При адиабатическом нагреве за импульс накачки и равномерном по объему тепловыделении напряжения определяются в соответ­ ствии с (3-39) следующими соотношениями:

n=l

144

Зависимость радиального распределения напряжений в стеклян­ ном стержне (R=0,4 см; а= 4 -10 ~3 сліг -сек~1; тП= 10_3 сек; /= = 1 гц, Ві=2) от т в момент окончания действия импульса накачки при однородном тепловыделении приведена на рис. 6-4. Как следует из рис. 6-4, напряжения растут с увеличением т. Вследствие адиабатичиостн нагрева за импульс накачки формирование температур­ ного поля происходит во время между импульсами. В течение пер-

Рнс. 6-4. Зависимость величины напряжений от т.

вых периодов работы генератора температурный градиент относи­ тельно мал. С увеличением т температурный градиент возрастает, достигая максимального значения в квазистациоиарном режиме. В это-м случае

P'nfl — e 4

145

Как указывалось выше, в режиме одиночны* вМпуЛьсой в е л и ­ чина напряжений определяется в. основном характером распределе­ ния источников тепла. В частотном режиме профиль температурыпо сечению активного элемента зависит не только от распределения источников тепла, но и от коэффициента теплопроводности и интен­ сивности теплообмена с окружающей средой. Поэтому величина и кинетика формирования профиля в общем случае будут зависеть от указанных выше факторов.

от т Fou (Fo4=5-10~3) .при различных значениях числа Био. Чис­ ленный расчет проводился на ЭВМ «Минск-2» в соответствии с фор­ мулами (6-34), (6-35), (6-37) и (6-38). При расчетах суммировались

146

ряды с учетом первых 30 членов. Из приведенных данных следует, что при би^г0,5 величина б'1 практически не зависит от щ, т. е. к этому времени (зависящему от Ві) устанавливается профиль тем­ пературных напряжений, 'соответствующий »вазистационарному теп­ ловому режиму.

При малых значениях m.Fon величина напряжении достаточно сильно зависит от значения Ві. В частности, уменьшение Ві от 10 до 0,5 приводит при т Fo4=0,l к уменьшению величины напряжений примерно ів 7 раз. Поэтому при работе. ОКГ в режиме посылки им­ пульсов сериями в ряде случаев может оказаться полезным для снижения напряжений переход от жидкостного к воздушному охлаж­ дению активных элементов.

При малых частотах следования импульсов величина напряжений в квазистационарном режиме (6-37), (6-38) является сложной функ­ цией радиуса стержня, коэффициента теплопроводности и теплоемко­ сти вещества, частоты следования импульсов и коэффициента тепло­ обмена. В табл. 6-2 приведены данные численного расчета зависи­

Как видно из табл. 6-2, в области -малых частот f (больших значений Fo,t) величина напряжений существенно зависит от Ві. С увеличением Ві величина напряжений уменьшается вследствие понижения уровня нагрева активных элементов. При увеличении частоты / зависимость ст11" от Ві становится менее заметной и при Foa=0,l ее можно не учитывать. Независимость а11" от Ві является следствием того, что при больших частотах f распределение темпе­ ратуры по сечению стержня описывается соотношением '(3-56). По-

этому расчет напряжений можно проводить в этом случае по еледующим формулам {Л. 3-38]:

147

Как следует из (6-40) —(6-42), величина напряжений растет ли­ нейно с частотой следования импульсов f, площадью поперечного се­ чения и уменьшается обратно пропорционально коэффициенту тепло-,

относительно слабой зависимости напряжений от характера распре­

148

значениях АТнмк, Я и f значения напряжении для стекла примерно ка порядок превышают напряжения для рубина. В частности, при /?=0,4 см, Aynм ц=1 К, f=40 гц (Тмине составляет 440 кгс-см-2 для стекла и 45 кгс• с.и~2 для рубина.

В соответствии с (6-46) соотношение для максимальных напря­ жении может быть записано в следующем виде:

щие напряжения могут приводить к разрушению активных элемен­ тов из материалов с невысокой механической прочностью (в частно­ сти, из стекла) [Л. 6-6, 6-T1J. Из (6-47) следует допустимый перепад температуры между центром и боковой поверхностью стержня, рав­ ный

определяется механическими свойствами материала. Так, например, при 0 прод=4ОО'7сгс• см~2 напряжения не вызывают разрушения стек­

Допустимые частоты повторения импульсов накачки, не вызы­ вающие разрушения стержня вследствие возникающих напряжений, определяются следующим соотношением:

Проведем оценку для стеклянного стержня радиусом Д=0,2 см при ДТимп—1 К- Полагая 0Пред=4ОО кгс-см~2, получаем f<37 гц.

6-4. ТЕРМИЧЕСКИЕ ИСКАЖЕНИЯ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Термические искажения (изменения оптических свойств и гео­ метрических размеров) активных элементов, возникающие в процес­ се работы ОКГ, как указывалось выше, обусловлены нагревом и температур11ы-ми напряженпями.

Оптические свойства вещества в общем случае описываются ин­ дикатрисой, имеющей форму эллипсоида, оси которого направлены