Глава 2. Случайные величины §4. Дискретная случайная величина Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Определение 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение 2. Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение 3. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.:

x	x1	x2	х3	…	хn
p	р1	р2	р3	...	рn

где р₁+ р₂+…+ р_n = 1.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р₁+ р₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i)=φ(x_i),i =1,2,3…n.

Задача 4.1. Вероятности того, что студент сдаст экзамены в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х  числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x₁=0, x₂=1, х₃=2.

Найдем вероятности этих значений. Обозначим события:

–студент сдаст экзамен по математическому анализу;

–студент не сдаст экзамен по математическому анализу;

–студент сдаст экзамен по органической химии;

–студент не сдаст экзамен по органической химии.

По условию:

= 0,7 =>) = 1 –= 0,3;

= 0,8 =>= 1 –

Тогда:

P(x=0) =) == 0,30,2 = 0,06.

P(x=1) =)== 0,70,2 + 0,30,8 = 0,38

P(x=1) =0,70,8 = 0,56.

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

x	0	1	2
p	0,06	0,38	0,56

Контроль: 0,06+0,38+0,56=1.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение 4. Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x) = Р(Х< х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.