- •Оглавление
- •Задачи с решениями
- •§2. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей Случайные события
- •Вероятность события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи с решениями
- •§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли Формула полной вероятности
- •Повторные испытания. Формула Бернулли
- •Формулы Лапласа
- •Формула Пуассона
- •Задачи с решениями
- •Глава 2. Случайные величины §4. Дискретная случайная величина Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Фунция распределения
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Некоторые законы распределения дискретной случайной величины
- •§5. Непрерывная случайная величина Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Функция плотности распределения вероятностей
- •Свойства функции плотности распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •§6. Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •Нормальный закон распределения
- •"Правило трех сигм"
- •Глава 3. Элементы математической статистики §7. Статистическое распределение выборки Задачи математической статистики
- •Генеральная и выборочная совокупности
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •Свойства функции (х)
- •Задачи с решениями
- •§8. Статистические оценки параметров Точечные статистические оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения
- •Задачи с решениями
- •§9. Проверка статистических гипотез Статистические гипотезы
- •Проверка гипотез
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи с решениями
- •§10. Критерий согласия Пирсона Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Задачи с решениями
- •§11. Элементы теории корреляции
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Линейная корреляция. Уравнение регрессии
- •Ранговая корреляция
- •Правило проверки наличия связи между качественными признаками
- •Приложение 1 Контрольные работы и контрольные вопросы по теории
- •Элементы теории вероятностей
- •Элементы математической статистики
- •3. Контрольные вопросы по теории
- •Приложение 2 Вероятностные таблицы
- •Значения функции
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера – Снедекора
§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии наступления одного из несовместных событий ,, …, которые образуют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий (гипотез) и условные вероятности событияА при условии наступления каждого из них. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.
Теорема 1 (формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии наступления одного из попарно несовместных событий ,, …, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность событияА:
Замечание 1. Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса (по имени английского математика, который её вывел; опубликована в 1764 г.). Она позволяет переоценить вероятность гипотезы , принятую до опыта, по результатам уже проведённого опыта, т.е. вычислить условную вероятность гипотезыпри условии наступления событияА.
Теорема 2 (формула Байеса или теорема гипотез). Пусть попарно несовместные события ,, …образуют полную группу. Тогда условная вероятность события(i = ) при условии, что событиеА наступило, задаётся формулой:
() ==.
Повторные испытания. Формула Бернулли
Если производится несколько испытаний, причём вероятность наступления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Мы будем рассматривать такие независимые испытания, в которых события А имеют одну и ту же вероятность.
Теорема 3 (формула Бернулли). Пусть в серии из n одинаковых независимых испытаний в каждом испытании может наступить либо событие А с вероятностью p, либо событие с вероятностьюq = 1 – p. Тогда вероятность (m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно m раз (m ≤ n), вычисляется по формуле Бернулли:
(m) = ∙∙, где=
Формулы Лапласа
Эти формулы дают приближенное значение вероятности наступления события А определённое число раз в серии из n независимых испытаний, если число n достаточно велико. Пусть p (0 <p< 1) – вероятность события А в каждом испытании, q = 1 – p – вероятность события .
Теорема 4 (локальная формула Лапласа). Вероятность наступления события А ровно m раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа:
(m) ∙,
где ∙.
Замечание 2. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции =∙(в приложении 2 табл. П 2.1), соответствующие положительным значениям аргументаx. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция φ(x) является чётной, т.е. φ(x) = φ(x).
Замечание 3. Формула Лапласа тем точнее приближает формулу Бернулли, чем больше число n (более нескольких десятков) и n∙p > 10.
Теорема 5 (интегральная формула Лапласа). Вероятность того, что событиеА наступит от дораз в серии изn одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа: (,)Ф () –Ф(),
где Ф(х) = ∙dt.
Замечание 4. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции Ф(х) при 0 ≤ х ≤ 5 ( в приложении 2 табл. П 2.2). При х < 0 пользуются теми же таблицами, так как функция Ф(х) является нечётной, т.е. Ф( х) = = Ф(х). Для х > 5 можно считать Ф(х) = 0,5.