- •Оглавление
- •Задачи с решениями
- •§2. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей Случайные события
- •Вероятность события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи с решениями
- •§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли Формула полной вероятности
- •Повторные испытания. Формула Бернулли
- •Формулы Лапласа
- •Формула Пуассона
- •Задачи с решениями
- •Глава 2. Случайные величины §4. Дискретная случайная величина Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Фунция распределения
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Некоторые законы распределения дискретной случайной величины
- •§5. Непрерывная случайная величина Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Функция плотности распределения вероятностей
- •Свойства функции плотности распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •§6. Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •Нормальный закон распределения
- •"Правило трех сигм"
- •Глава 3. Элементы математической статистики §7. Статистическое распределение выборки Задачи математической статистики
- •Генеральная и выборочная совокупности
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •Свойства функции (х)
- •Задачи с решениями
- •§8. Статистические оценки параметров Точечные статистические оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения
- •Задачи с решениями
- •§9. Проверка статистических гипотез Статистические гипотезы
- •Проверка гипотез
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи с решениями
- •§10. Критерий согласия Пирсона Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Задачи с решениями
- •§11. Элементы теории корреляции
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Линейная корреляция. Уравнение регрессии
- •Ранговая корреляция
- •Правило проверки наличия связи между качественными признаками
- •Приложение 1 Контрольные работы и контрольные вопросы по теории
- •Элементы теории вероятностей
- •Элементы математической статистики
- •3. Контрольные вопросы по теории
- •Приложение 2 Вероятностные таблицы
- •Значения функции
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера – Снедекора
Приложение 1 Контрольные работы и контрольные вопросы по теории
Элементы теории вероятностей
Задача П 1.1. На полке стоят 10 книг, из них 3 словаря, 4 справочника и 3 учебника. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых книг окажется 2 словаря, 2 справочника и один учебник?
Решение. В данном случае общее число книг равно 10. Из них 5 книг можно выбрать n различными способами, где
Найдем число m событий, благоприятствующих выбору 2-х словарей (из 3-х имеющихся), 2-х справочников (из 4-х имеющихся) и одного учебника (из 3-х имеющихся). Получим
Следовательно, искомая вероятность вычисляется по формуле:
Ответ:
Задача П 1.2. Баскетболист бросает мяч пять раз. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет в корзину: а) три раза; б) менее трех раз; в) более трех раз.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:
где n – число выполненных бросков; m – число попаданий мяча из этих n бросков; p – вероятность попадания при одном броске.
В данной задаче n=5, p=0,7.
а) m=3. Следовательно,
б) m<3 илиm=1, или m=2. Следовательно, получаем:
в) m>3 илиm=5. Следовательно, получаем:
=
Ответ: а) 0,3087; б) 0,16308; в) 0,52822.
Задача П 1.3. В первой урне лежат 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили какой-то один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
Решение. После того, как из второй урны в первую был переложен шар, в первой урне оказалось 16 шаров:
или 6 белых и 10 черных, если добавленный шар был белым (одним из тех 3-х, что лежали во второй урне);
или 5 белых и 11 черных, если добавленный шар был черным (одним их тех семи, что лежали во второй урне).
Обозначим события: H1 взяли из второй урны белый шар, H2 взяли из второй урны черный шар.
H1 и H2 предшествуют событию А. Они являются попарно несовместными и H1 + H2 = Е, т.е. образуют полную группу. Вычислим:
Поэтому по формуле полной вероятности находим:
Ответ:
Задача П 1.4. В партии из 10 деталей имеется 8 новых и две бывших в употреблении. Наудачу отобраны две детали.
а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа новых деталей среди отобранных.
б) Вычислить числовые характеристики случайной величины Х.
Решение. а) X – дискретная случайная величина. Она имеет следующие возможные значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 =2. Вероятность этих значений вычислим по формуле:
где s =10 – общее число деталей в партии; n = 8 – число новых деталей в партии; m = 2 – число отобранных деталей; k – число новых деталей среди отобранных.
Тогда получаем:
Контроль: = 1.
Следовательно, искомый закон распределения случайной величины X задается табл. П 1.1:
Таблица П 1.1
X |
0 |
1 |
2 |
p |
б) По определению:
Тогда, пользуясь табл. П 1.1, вычисляем:
Ответ: а) табл. П 1.1; б)
Задача П 1.5. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
Найти: а) плотность распределения вероятностей
б) числовые характеристики случайной величины X;
в) вероятность попадания величины X в интервал [1; 2,5).
Решение. Рассматриваемая случайная величина X является непрерывной, так как функция F(x) непрерывна на (
Её график изображен на рис. П 1.1.
Рис. П 1.1
а) Так как функция и F(x) связаны равенством
То получаем:
(1)
График функции изображен на рис. П 1.2.
Рис. П 1.2
б) Вычисляем:
в)
Ответ: а) формула (1); б) ; в)