§9. Проверка статистических гипотез Статистические гипотезы

Определение 1. Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения, о параметрах известных распределений.

Определение 2. Выдвинутая гипотеза называется нулевой (или основной) и обозначается H₀.

Определение 3. Гипотеза, которая противоречит нулевой, называется конкурирующей гипотезой (или альтернативной гипотезой) и обозначается H₁.

Определение 4. Гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение.

Определение 5. Гипотеза называется сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа предположений.

Проверка гипотез

Определение 6. Сопоставление выдвинутой гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотезы.

Определение 7. Правосторонней критической областью для проверки нулевой гипотезы с уровнем значимости α называется совокупность значений критерия проверки Z, для которых выполняется равенство:

P (Z > Z_крит) = α .

При этом число Z_крит называется границей критической области.

Замечание 1. Различают право , лево , двустороннюю критические области.

Правосторонняя критическая область определяется неравенством:

Z > Z_крит .

Левосторонняя критическая область определяется неравенством:

Z <  Z_крит .

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами:

Z < Z_{1 крит} и Z > Z_{2 крит} .

Схема проверки гипотезы

а) Формирование нулевой гипотезы H₀, которая выдвигается на основе начального анализа выборочных данных, и конкурирующей гипотезы H₁;

б) Выбор некоторой вероятности α, называемой уровнем значимости нулевой гипотезы H₀;

в) Подбор по выборочным данным случайной величины Z, распределение которой называется критерием для проверки нулевой гипотезы;

г) Определение границы Z_крит критической области для проверки нулевой гипотезы с уровнем значимости α;

д) Вычисление по данным выборки числа Z_{наблюдаемое} (или Z_набл.).

Если оно попадает в критическую область нулевой гипотезы, т.е.

Z_набл > Z_крит ,

то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁. Если же

Z_набл < Z_крит ,

то нет основания отвергать нулевую гипотезу.

Замечание 2. Если гипотеза принята, то не стоит думать, что она доказана. На практике для большей уверенности принятия гипотезы ее проверяют, повторяя эксперимент, увеличив объем выборки.

Определение 8. Ошибкой первого рода называется решение отвергнуть нулевую гипотезу H₀ и принять конкурирующую гипотезу H₁, если на самом деле гипотеза H₀ верна.

Замечание 3. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости α.

Определение 9. Ошибкой второго рода называется решение принять нулевую гипотезу H₀ , то есть отвергнуть конкурирующую гипотезу H₁ , если на самом деле гипотеза H₁ верна.

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть по двум независимым выборкам, объемы которых равны n₁ и n₂ соответственно, полученным из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y , найдены исправленные выборочные дисперсии s и s. Требуется сравнить дисперсии генеральных совокупностей.

Схема сравнения D(X) и D(Y)

1. Выдвинуть нулевую гипотезу: H₀: D(X)=D(Y). Тогда конкурирующей гипотезой будет H₁ : D(X)> D(Y);

2. Задать число α – уровень значимости нулевой гипотезы;

3. Найти из табл. П 2.7 распределения Фишера (см. приложение 2) значение F_крит по заданному α и числам степеней свободы

k₁ = n₁ – 1 , k₂ = n₂ – 1,

где k₁  число степеней свободы большей дисперсии, k₂  число степеней свободы меньшей дисперсии.

4. Найти число

,

равное отношению большей из двух исправленных выборочных дисперсий s и s к меньшей;

5. Сравнить числа F_крит и F_набл :

• если F_набл > F_крит, то отвергнуть гипотезу H₀ и принять гипотезу H₁ ;

• если F_набл <F_крит, то нет основания отвергать гипотезу H₀.

Замечание 4. Если для нулевой гипотезы H₀ : D(X)=D(Y) в качестве конкурирующей гипотезы выбрана H₁ D(X)≠D(Y), то строят двустороннюю критическую область. Для этого по табл. П 2.7 (см. приложение 2) вычисляют правую границу F_{2 крит} критической области по уровню значимости и числам степеней свободыk₁ = n₁ – 1 , k₂ = n₂ – 1. Тогда, если F_набл > F_{2 крит} , то гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁; если F_набл < F_{2 крит} , то нет основания отвергать гипотезу H₀ .