- •Оглавление
- •Задачи с решениями
- •§2. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей Случайные события
- •Вероятность события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи с решениями
- •§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли Формула полной вероятности
- •Повторные испытания. Формула Бернулли
- •Формулы Лапласа
- •Формула Пуассона
- •Задачи с решениями
- •Глава 2. Случайные величины §4. Дискретная случайная величина Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Фунция распределения
- •Свойства функции распределения
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Некоторые законы распределения дискретной случайной величины
- •§5. Непрерывная случайная величина Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Функция плотности распределения вероятностей
- •Свойства функции плотности распределения вероятностей
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •§6. Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •Нормальный закон распределения
- •"Правило трех сигм"
- •Глава 3. Элементы математической статистики §7. Статистическое распределение выборки Задачи математической статистики
- •Генеральная и выборочная совокупности
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •Свойства функции (х)
- •Задачи с решениями
- •§8. Статистические оценки параметров Точечные статистические оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения
- •Задачи с решениями
- •§9. Проверка статистических гипотез Статистические гипотезы
- •Проверка гипотез
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи с решениями
- •§10. Критерий согласия Пирсона Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Задачи с решениями
- •§11. Элементы теории корреляции
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Линейная корреляция. Уравнение регрессии
- •Ранговая корреляция
- •Правило проверки наличия связи между качественными признаками
- •Приложение 1 Контрольные работы и контрольные вопросы по теории
- •Элементы теории вероятностей
- •Элементы математической статистики
- •3. Контрольные вопросы по теории
- •Приложение 2 Вероятностные таблицы
- •Значения функции
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера – Снедекора
Элементы математической статистики
Задача П 1.6. Дана выборка объема n=30:
42 |
51 |
36 |
43 |
52 |
37 |
45 |
49 |
42 |
51 |
45 |
43 |
45 |
48 |
44 |
40 |
45 |
46 |
44 |
43 |
47 |
38 |
47 |
48 |
46 |
40 |
44 |
37 |
39 |
46. |
|
|
Требуется:
Найти статистический ряд и построить полигон частот;
Составить интервальный статистический ряд, взяв 710 интервалов, и построить гистограмму частот;
Найти оценки математического ожидания , выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсиюS2, выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленное среднее квадратическое отклонениеS;
С доверительной вероятностью найти доверительный интервал
а) для математического ожидания M(X) в случае известной дисперсии, предполагая D(X)= S2,
б) для математического ожидания M(X) в случае неизвестной дисперсии,
в) для среднего квадратического отклонения
Проверить критерий Пирсона о нормальном распределении наблюдаемой случайной величины X при уровне значимости
Решение. 1) По данной выборке находим:
Строим статистический ряд:
Нанесем на плоскости Oxy точки
где i – порядковый номер варианты Соединив эти точки последовательно, получим ломаную линию – полигон частот задачи (рис. П 1.3).
Найдем «размах» выборки: Поэтому для составления интервального статистического ряда выберем число интервалов из условия:
Таблица П 1.2
№ |
xi |
mi |
mi /n |
1 |
36 |
1 |
1/30 |
2 |
37 |
2 |
1/15 |
3 |
38 |
1 |
1/30 |
4 |
39 |
1 |
1/30 |
5 |
40 |
2 |
1/15 |
6 |
42 |
2 |
1/15 |
7 |
43 |
3 |
1/10 |
8 |
44 |
3 |
1/10 |
9 |
45 |
4 |
2/15 |
10 |
46 |
3 |
1/10 |
11 |
47 |
2 |
1/15 |
12 |
48 |
2 |
1/15 |
13 |
49 |
1 |
1/30 |
14 |
51 |
2 |
1/15 |
15 |
52 |
1 |
1/30 |
∑ |
|
30 |
1 |
Рис. П 1.3
где l – длина интервала. Отсюда находим:
Следовательно, выберем l = 2, тогда число интервалов будет равно 8.
Интервальный статистический ряд указан в табл. П 1.2.
Таблица П 1.2
№ |
[ai ; ai+1) |
mi |
1 |
[36;38) |
3 |
2 |
[38;40) |
2 |
3 |
[40;42) |
2 |
4 |
[42;44) |
5 |
5 |
[44;46) |
7 |
6 |
[46;48) |
5 |
7 |
[48;50) |
3 |
8 |
[50;52] |
3 |
В системе координат Oxy на оси Ox отложим точки a1,…,a9.
Построим прямоугольники с основанием [ai ; ai+1) и высотой ,
где i = 1,…,8. Построенное ступенчатое тело – гистограмма частот задачи (рис. П 1.4).
Рис. П 1.4
Для нахождения оценок параметров выборки составим по интервальному статистическому ряду расчетную табл. П 1.3, заменив в ней каждый интервал его средним значением .
Таблица П 1.3
№ |
[ai ; ai+1) |
xi |
mi |
xi mi | ||
1 |
[36;38) |
37 |
3 |
111 |
1369 |
4107 |
2 |
[38;40) |
39 |
2 |
78 |
1521 |
3042 |
3 |
[40;42) |
41 |
2 |
82 |
1681 |
3362 |
4 |
[42;44) |
43 |
5 |
215 |
1849 |
9245 |
5 |
[44;46) |
45 |
7 |
315 |
2025 |
14175 |
6 |
[46;48) |
47 |
5 |
235 |
2209 |
11045 |
7 |
[48;50) |
49 |
3 |
147 |
2401 |
7203 |
8 |
[50;52] |
51 |
3 |
153 |
2601 |
7803 |
∑ |
|
|
30 |
1336 |
|
59982 |
Тогда получаем:
а) При построении доверительного интервала для математического ожидания M(X)=m с известной дисперсией D(X)=s2=19,81 воспользуемся формулой:
где находим с помощью табл. П 2.2 (приложение 2) из уравнения:
Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:
т.е.
б) При построении доверительного интервала для математического ожидания M(X)=m с неизвестной дисперсией воспользуемся формулой:
где находим с помощью табл. П 2.3 (приложение 2) при
Следовательно, искомый интервал имеет вид:
т.е.
в) При построении доверительного интервала среднего квадратического отклонения воспользуемся формулой:
где s = 4,45 – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, = 0,43 – число, которое находим с помощью табл. П 2.4 (приложение 2) при
Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:
т.е.
Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой взята данная в примере выборка, составим расчетную таблицу, используя интервальный статистический ряд (табл. П 1.4).
Для нахождения чисел воспользуемся формулой:
где
причем
Таблица П 1.4
№ |
[ai ; ai+1) |
mi | ||||
1 |
[36;38) |
3 |
|
1,46 |
2,16 |
0,33 |
2 |
[38;40) |
2 |
1,46 |
1,01 |
2,52 |
0,11 |
3 |
[40;42) |
2 |
1,01 |
0,56 |
3,94 |
0,96 |
4 |
[42;44) |
5 |
0,56 |
0,11 |
5,06 |
0,001 |
5 |
[44;46) |
7 |
0,11 |
0,34 |
5,31 |
0,54 |
6 |
[46;48) |
5 |
0,34 |
0,79 |
4,56 |
0,04 |
7 |
[48;50) |
3 |
0,79 |
1,24 |
3,23 |
0,02 |
8 |
[50;52) |
3 |
1,24 |
+ |
3,22 |
0,02 |
∑ |
|
30 |
|
|
30 |
2,02 |
Следовательно,
Число находим из табл. П 2.5 (приложение 2) по уровню значимостии числу степеней свободы
Сравним числа:
Так как
и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
Ответ: 1) табл. П 1.2 и рис. П 1.3;
2) табл. П 1.3 и рис. П 1.4;
3) =44,5 ,
4) a)
б)
в)
5) генеральная совокупность распределяется нормально.
Задача П 1.7. Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения линейных регрессий Y на X и X на Y по данным выборки для величин X и Y, сведенным в корреляционную таблицу:
Y X |
15 |
16 |
18 |
19 |
21 |
my |
12 |
2 |
7 |
|
|
|
9 |
20 |
1 |
5 |
12 |
2 |
3 |
23 |
28 |
|
|
6 |
10 |
2 |
18 |
mx |
3 |
12 |
18 |
12 |
5 |
50 |
Решение. Для данной в примере выборки объема n=50 вычислим выборочные параметры:
Запишем выборочное линейное уравнение регрессии Y на X:
Запишем выборочное линейное уравнение регрессии X на Y:
Ответ: выборочный коэффициент корреляции:
выборочное линейное уравнение регрессии Y на X:
выборочное линейное уравнение регрессии X на Y: